【優(yōu)化方案】2020高中數(shù)學(xué) 第2章1.1知能優(yōu)化訓(xùn)練 蘇教版選修1-2

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1、 1．下列說(shuō)法中正確的是________． ①合情推理就是正確的推理； ②合情推理就是類比推理； ③歸納推理是從一般到特殊的推理過(guò)程； ④類比推理是從特殊到特殊的推理過(guò)程． 解析：①錯(cuò)誤，合情推理僅是指前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真的推理，不一定正確，而是可能正確；②錯(cuò)誤，合情推理可分為歸納推理和類比推理；③錯(cuò)誤，歸納推理是從特殊到一般的推理過(guò)程．從一般到特殊的推理過(guò)程是演繹推理． 答案：④ 2．經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)下列不等式：＋<2，＋<2，＋<2，…，根據(jù)以上不等式的規(guī)律，試寫出一個(gè)對(duì)正實(shí)數(shù)a，b都成立的條件不等式：________________. 解析：各不等式右邊相同，左邊兩根

2、號(hào)內(nèi)的數(shù)之和等于20. 答案：當(dāng)a＋b＝20時(shí)，有＋≤2，a，b∈(0，＋∞)． 3．由“等腰三角形的兩底角相等，兩腰相等”可以類比推出正棱錐的類似屬性是________． 解析：等腰三角形的底與腰可分別與正棱錐的底面與側(cè)面類比． 答案：各側(cè)面與底面所成二面角相等，各側(cè)面都是全等的三角形或各側(cè)棱相等 4．一同學(xué)在電腦中打出如圖所示的一串圓(○表示空心圓，●表示實(shí)心圓)： ○●○○●○○○●○○○○ 若將此若干個(gè)圓依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，那么前2020個(gè)圓中實(shí)心圓有________個(gè)． 解析：將這些圓分段處理，第一段兩個(gè)圓、第二段三個(gè)圓、第三段四個(gè)圓，…，可以看出每一段

3、的最后一個(gè)圓都是實(shí)心圓，由于本題求前2020個(gè)圓中有多少個(gè)實(shí)心圓，因此，找到第2020個(gè)圓所在的段數(shù)很重要．由2＋3＋…＋62＝×61＝1952<2020，而2＋3＋…＋63＝×62＝2020>2020可知，共有61個(gè)實(shí)心圓． 答案：61 一、填空題 1．下面使用類比推理恰當(dāng)?shù)氖莀_______． ①“若a·3＝b·3，則a＝b”類比推出“若a·0＝b·0，則a＝b”； ②“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a·b)c＝ac·bc”； ③“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“＝＋(c≠0)”； ④“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn”． 解析：由實(shí)

4、數(shù)運(yùn)算的知識(shí)易得③正確． 答案：③ 2．定義A*B、B*C、C*D、D*B分別對(duì)應(yīng)下列圖形 那么下列圖表中， 可以表示A*D、A*C的分別是________，________. 解析：注意觀察、分析、辨別，找到A，B，C，D分別對(duì)應(yīng)的圖形，A為豎線，B為大正方形，C為橫線，D為小正方形． 答案：(2)　(4) 3．(2020年高考陜西卷)觀察下列等式 1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為_(kāi)_______． 解析：∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52， 4＋5

5、＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，∴第五個(gè)等式為 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81. 答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81 4．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可知正四面體的下列性質(zhì)，比較恰當(dāng)?shù)挠衉_______． ①各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，任意相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等． 解析：由平面圖形和空間圖形常見(jiàn)的類比方式知①②③均正確． 答案：①②③ 5．如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形的每條邊三等分，以

6、中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖(2)，如此繼續(xù)下去，得圖(3)． 試用n表示出第n個(gè)圖形的邊數(shù)an＝______. 解析：注意后面的圖形是在上一個(gè)圖形的基礎(chǔ)上變化得到的．(2)中的邊數(shù)是在(1)中每條邊的基礎(chǔ)上變?yōu)樵瓉?lái)的4倍．而(3)也是在(2)的基礎(chǔ)上變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，構(gòu)成以3為首項(xiàng)、以4為公比的等比數(shù)列，∴邊數(shù)為an＝3×4n－1. 答案：3×4n－1 6．設(shè)f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，則f2020(x)＝________. 解析：f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，f3(x)＝－c

7、osx， f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝－sinx，…. 易知fn(x)每4項(xiàng)一重復(fù)，而2020＝501×4＋3. 所以f2020(x)＝f3(x)＝－cosx. 答案：－cosx 7．我們把1,4,9,16,25，…這些數(shù)稱為正方形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正方形，如圖所示，則第n個(gè)正方形點(diǎn)數(shù)是________． 解析：1,4,9,16,25分別為序號(hào)的平方，所以第n個(gè)正方形點(diǎn)數(shù)為n2. 答案：n2 8．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且對(duì)任意的m，n∈N*都有①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，②f(m＋1

8、,1)＝2f(m,1)，則f(2020,2020)的值為_(kāi)_______． 解析：由f(1,1)＝1，f(m＋1,1)＝2f(m,1)，知f(2,1)＝2f(1,1)＝2，f(3,1)＝2f(2,1)＝22，f(4,1)＝2f(3,1)＝2×22＝23，…，從而有f(2020,1)＝22020. 由f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，知f(2020,2)＝f(2020,1)＋2＝22020＋2，f(2020,3)＝f(2020,2)＋2＝22020＋2＋2＝22020＋2×2，…，則f(2020,2020)＝22020＋2×2020＝22020＋4022. 答案：22020＋4022

9、9．(2020年高考江西卷改編)觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72020的末兩位數(shù)字為_(kāi)_______． 解析：因?yàn)?1＝7,72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649，…，所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T＝4.又因?yàn)?020＝4×502＋3，所以72020的末兩位數(shù)字與73的末兩位數(shù)字相同． 答案：43 二、解答題 10．用推理的形式表示等差數(shù)列1,3,5，…，(2n－1)…前n項(xiàng)和Sn的歸納過(guò)程． 解：對(duì)等差數(shù)列1,3,5，…，(2n－1)，…的前1,2,3,4,5,6項(xiàng)的和分別進(jìn)行計(jì)算： S1＝1

10、＝12； S2＝1＋3＝4＝22； S3＝1＋3＋5＝9＝32； S4＝1＋3＋5＋7＝16＝42； S5＝1＋3＋5＋7＋9＝25＝52； S6＝1＋3＋5＋7＋9＋11＝36＝62…… 觀察可得前n項(xiàng)和等于序號(hào)n的平方，由此可猜想Sn＝n2. 11．平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，若f(n)表示這n個(gè)圓把平面分割成的區(qū)域數(shù)，試求f(n)． 解：∵f(n)表示n個(gè)圓把平面分割成的區(qū)域數(shù)，如果再有一個(gè)圓和這n個(gè)圓相交，則增加2n個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)將增加的這個(gè)圓分成2n段弧，且每段弧又將原來(lái)的平面區(qū)域一分為二，因此，增加一個(gè)圓后，平面被分成的區(qū)

11、域數(shù)增加2n個(gè)，即f(n＋1)＝f(n)＋2n， ∴f(n＋1)－f(n)＝2n. 又f(1)＝2，由遞推公式得： f(2)－f(1)＝2×1， f(3)－f(2)＝2×2， f(4)－f(3)＝2×3， …，f(n)－f(n－1)＝2×(n－1)． 將以上n－1個(gè)等式累加， 得f(n)＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n2－n＋2. 12．蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖，其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n個(gè)圖的蜂巢總數(shù)． 試給出f

12、(4)，f(5)的值，并求f(n)的表達(dá)式．(不要求證明)． 解：f(4)＝37，f(5)＝61. 因?yàn)閒(2)－f(1)＝7－1＝6， f(3)－f(2)＝19－7＝2×6， f(4)－f(3)＝37－19＝3×6， f(5)－f(4)＝61－37＝4×6， … 所以當(dāng)n≥2時(shí)，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)． 所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1) ＝[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]×6＋1 ＝3n2－3n＋1. 又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.