【第一方案】高三數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù)、解三角形第七節(jié) 解三角形的應用舉例練習

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1、第4章 第7節(jié)三角函數(shù)、解三角形第二節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 一、選擇題(6×5分＝30分) 1．在200米高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底俯角分別為30°，60°，則塔高為(　　) A.米 B.米 C.米 D.米 解析：如圖，BE＝AC＝DC·tan(90°－60°)＝， ∴DE＝ ＝＝. ∴塔高AB＝200－＝(米)． 答案：A 2．如圖，為了測量隧道AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)無法求出AB長度的是(　　) A．α，a，b B．α，β，a C．a(chǎn)，b，γ D．α，β，γ 解析：利用余弦定理，可由a，b，γ或α，a，b求出AB；

2、 利用正弦定理，可由a，α，β求出AB. 當只知α、β、γ時，無法計算AB. 答案：D 3．(2020·天星教育)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿東偏南50°方向直線航行，30分鐘后到達B處．在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是東偏南20°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B、C兩點間的距離是(　　) A．10 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．20 海里 解析：如圖，由已知可得， ∠BAC＝30°，∠ABC＝105°， AB＝20，從而∠ACB＝45°. 在△ABC中，由正弦定理， 得BC＝·sin30°＝10.故選A.

3、 答案：A 4．如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后，又測得它在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為(　　) A．20(＋)海里/小時 B．20(－)海里/小時 C．20(＋)海里/小時 D．20(－)海里/小時 解析：由題意知 ∠NMS＝15°＋30°＝45°， ∠MNS＝60°＋45°＝105°， 由正弦定理得 ＝， ∴MN＝＝＝10(－)， ∴貨輪的速度為＝20(－)(海里/小時)． 答案：B 5．(2020·泰州模擬)如圖，在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為θ，沿BE方向前

4、進30米至C處測得頂端A的仰角為2θ，再繼續(xù)前進10米至D處，測得頂端A的仰角為4θ，則θ的值為(　　) A．15° B．10° C．5° D．20° 解析：由條件知△ADC中， ∠ACD＝2θ，∠ADC＝180°－4θ， AC＝BC＝30，AD＝CD＝10， 則由正弦定理得 ＝，∴＝， ∴cos2θ＝.∵2θ為銳角，∴2θ＝30°，∴θ＝15°. 答案：A 6．甲船在島B的正南A處，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，乙船自B島出發(fā)以6 km/h的速度向北偏東60°的方向駛去，當甲、乙兩船相距最近時，它們航行的時間是(　　) A. min

5、B. h C．21.5 min D．2.15 h 解析：如圖，設航行t小時后，兩船相距y km.則 y2＝ ＝ ＝28t2－20t＋100(t>0)， ∴當t＝－小時＝小時＝分鐘時兩船相距最近． 答案：A 二、填空題(3×5分＝15分) 7．(2020·濟寧模擬)如圖，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，與O相距10海里的C處，現(xiàn)甲船以30海里/小時的速度沿直線CB去營救位于中心O正東方向20海里的B處的乙船，甲船需要____小時到達B處． 解析：由題意，對于CB的長度， 由余弦定理，得 CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos120° ＝100＋40

6、0＋200＝700. ∴CB＝10，∴甲船所需時間為＝(小時)． 答案： 8．(2020·吉林模擬)地上畫了一個角∠BDA＝60°，某人從角的頂點D出發(fā)，沿角的一邊DA行走10米后，拐彎往另一方向行走14米正好到達∠BDA的另一邊BD上的一點，我們將該點記為點B，則B與D之間的距離為________米． 解析：如圖，設BD＝x cm， 則142＝102＋x2－2×10×xcos60°， ∴x2－10x－96＝0， ∴(x－16)(x＋6)＝0， ∴x＝16或x＝－6(舍)． 答案：16 9．(2020·遼源模擬)在△ABC中，BC＝1，∠B＝，當△ABC的面積等于時，t

7、anC＝________. 解析：S△ABC＝acsinB＝，∴c＝4. 由余弦定理：b2＝a2＋c2－2accosB＝13， ∴cosC＝＝－，sinC＝， ∴tanC＝－＝－2. 答案：－2 三、解答題(共37分) 10．(12分)(2020·海南，寧夏高考)為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機沿水平方向在A、B兩點進行測量，A、B、M、N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如示意圖)．飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M、N間的距離的步驟． 解析：方案一：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M、

8、N點的俯角α1、β1；B點到M、N點的俯角α2、β2；A、B的距離d(如圖所示)． ②第一步：計算AM.由正弦定理AM＝； 第二步：計算AN.由正弦定理AN＝； 第三步：計算MN.由余弦定理 MN＝ 方案二：①需要測量的數(shù)據(jù)有：A點到M、N點的俯角α1、β1；B點到M、N點的俯角α2、β2；A、B的距離d(如圖所示)． ②第一步：計算BM.由正弦定理BM＝； 第二步：計算BN.由正弦定理BN＝； 第三步：計算MN.由余弦定理 MN＝. 11．(12分)(2020·福州模擬)如圖所示，扇形AOB，圓心角AOB等于60°，半徑為2，在弧AB上有一動點P，過P引平行于OB的直

9、線和OA交于點C，設∠AOP＝θ，求△POC面積的最大值及此時θ的值． 解析：∵CP∥OB， ∴∠CPO＝∠POB＝60°－θ，∠OCP＝120°. 在△POC中，由正弦定理得＝， ∴＝，∴CP＝sinθ. 又＝， ∴OC＝sin(60°－θ)． 因此△POC的面積為 S(θ)＝CP·OCsin120° ＝·sinθ·sin(60°－θ)× ＝sinθsin(60°－θ)＝sinθ(cosθ－sinθ) ＝2sinθ·cosθ－sin2θ＝sin2θ＋cos2θ－ ＝sin(2θ＋)－ ∴θ＝時，S(θ)取得最大值為. 12．(13分)(2020·大連模擬)如圖

10、，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a經(jīng)過三個景點A、B、C.景區(qū)管委會又開發(fā)了風景優(yōu)美的景點D.經(jīng)測量景點D位于景點A的北偏東30°方向上8 km處，位于景點B的正北方向，還位于景點C的北偏西75°方向上，已知AB＝5 km. (1)景區(qū)管委會準備由景點D向景點B修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長； (2)求景點C和景點D之間的距離． 解析：(1)在△ABD中，∠ADB＝30°， AD＝8 km，AB＝5 km，設DB＝x km， 則由余弦定理得52＝82＋x2－2×8×x·cos30°， 即x2－8x＋39＝0，解得x＝4±3. ∵4＋3>8，舍去，∴x＝4－3， ∴這條公路長為(4－3)km. (2)在△ADB中，＝， ∴sin∠DAB＝ ＝＝，∴cos∠DAB＝. 在△ACD中，∠ADC＝30°＋75°＝105°， ∴sin∠ACD＝sin[180°－(∠DAC＋105°)] ＝sin(∠DAC＋105°) ＝sin∠DACcos105°＋cos∠DACsin105° ＝·＋·＝. ∴在△ACD中，＝， ∴＝，∴CD＝(km)．