歷年高考數(shù)學真題考點歸納 2020年 第七章 不等式

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1、第一節(jié) 簡單不等式及其解法 一、選擇題 1.（2020安徽卷理）下列選項中，p是q的必要不充分條件的是 A.p:＞b+d , q:＞b且c＞d B.p:a＞1,b>1 q:的圖像不過第二象限 C.p: x=1, q: D.p:a＞1, q: 在上為增函數(shù) 答案 A 解析 由＞b且c＞d＞b+d，而由＞b+d ＞b且c＞d，可舉反例。選A。 2.（2020安徽卷文）“”是“且”的 A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 答

2、案 A 解析 易得時必有.若時，則可能有，選A。 3.（2020四川卷文）已知，，，為實數(shù)，且＞.則“＞”是“－＞－”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 答案 B 解析 顯然，充分性不成立.又，若－＞－和＞都成立，則同向不等式相加得＞ 即由“－＞－”“＞” 4.（2020天津卷理）,若關(guān)于x 的不等式＞的解集中的整數(shù)恰有3個，則 A. B. C. D. 答案 C

3、5.（2020四川卷理）已知為實數(shù)，且。則“”是“”的 A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C．充要條件 D. 既不充分也不必要條件 【考點定位】本小題考查不等式的性質(zhì)、簡單邏輯，基礎題。（同文7） 答案 B 解析 推不出；但，故選擇B。 解析2：令，則；由可得，因為，則，所以。故“”是“”的必要而不充分條件。 6.（2020重慶卷理）不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 答案 A 解析 因為對任意x恒成

4、立，所以 二、填空題 7.（2020年上海卷理）若行列式中，元素4的代數(shù)余子式大于0， 則x滿足的條件是________________________ . 答案 解析 依題意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得： 三、解答題 8.（2020江蘇卷）(本小題滿分16分) 按照某學者的理論，假設一個人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元，如果他賣出該產(chǎn)品的單 價為元，則他的滿意度為；如果他買進該產(chǎn)品的單價為元，則他的滿意度 為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為和，則他對這兩種交易的綜合滿意度為.

5、 現(xiàn)假設甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元，乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的 單件成本分別為3元和20元，設產(chǎn)品A、B的單價分別為元和元，甲買進A與 賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為 (1)求和關(guān)于、的表達式；當時，求證：=； (2)設，當、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最 大的綜合滿意度為多少？ (3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適當選取、的值，使得和 同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。 解析 本小題主要考查函數(shù)的概念、基本不等式等基礎知識，考查數(shù)學建模能力、抽 象概括能力以及數(shù)學閱讀能力。滿分16分。

6、 (1) 當時，, , = （2）當時， 由， 故當即時， 甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為。 （3）（方法一）由（2）知：= 由得：， 令則，即：。 同理，由得： 另一方面， 當且僅當，即=時，取等號。 所以不能否適當選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立。 第二節(jié) 基本不等式 一、 選擇題 1.（2020天津卷理）設若的最小值為 A . 8 B . 4 C. 1 D. 考點定位 本小題考查指數(shù)式和對數(shù)式的

7、互化，以及均值不等式求最值的運用，考查了變通能力。 答案 C 解析 因為，所以， ，當且僅當即時“=”成立，故選擇C 2.（2020重慶卷文）已知，則的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D．5 答案 C 解析 因為當且僅當，且 ，即時，取“=”號。 二、填空題 3.（2020湖南卷文）若，則的最小值為 . 答案 2 解析 ，當且僅當時取等號. 三、解答題 4.（2020湖北卷文）（本小題滿分12分） 圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修）

8、，其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m,新墻的造價為180元/m,設利用的舊墻的長度為x(單位：元)。 （Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)： （Ⅱ）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用。 解：（1）如圖，設矩形的另一邊長為a m 則-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=, 所以y=225x+ (II) .當且僅當225x=時，等號成立. 即當x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元.

9、 第三節(jié) 不等式組與簡單的線性規(guī)劃 一、選擇題 x 2 2 y O -2 z=ax+by 3x-y-6=0 x-y+2=0 1. (2020山東卷理)設x，y滿足約束條件 ， 若目標函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值為12， 則的最小值為 ( ). A. B.

10、 C. D. 4 答案 A 解析 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當直線ax+by= z（a>0，b>0） 過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）時, 目標函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A. 【命題立意】:本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準確地畫出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標函數(shù)的最值,對于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進而用基本不等式解答. 2.（2020安徽卷理）若不等式組所表示的平面區(qū)

11、域被直線分為面積相等的兩部分，則的值是 A. B. C. D. 答案 B A x D y C O y=kx+ 解析 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分△ABC 由得A（1，1），又B（0，4），C（0，） ∴△ABC=，設與的 交點為D，則由知，∴ ∴選A。 3.（2020安徽卷文）不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積等于 A. B. C. D. 解析 由可得，故陰 =，選C。 答案 C 4.（2020四川卷文）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲

12、產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元。該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤是 A. 12萬元 B. 20萬元 C. 25萬元 D. 27萬元 答案 D （3，4） （0，6） O （，0） 9 13 解析 設生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸，則有關(guān)系： A原料 B原料 甲產(chǎn)品噸 3 2 乙產(chǎn)品噸

13、 3 則有： 目標函數(shù) 作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標，經(jīng)驗證知： 當＝3，＝5時可獲得最大利潤為27萬元，故選D 5.（2020寧夏海南卷理）設x,y滿足 A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，無最大值 C.有最大值3，無最小值 D.既無最小值，也無最大值 答案 B 解析 畫出可行域可知，當過點（2，0）時，，但無最大值。選B. 6.（2020寧夏海南卷文）設滿足則 A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，無最大值 C.有最大值3，無最小值 D

14、.既無最小值，也無最大值 答案 B 解析 畫出不等式表示的平面區(qū)域，如右圖，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，畫出y＝－x的圖象，當它的平行線經(jīng)過A（2,0）時，z取得最小值，最小值為：z＝2，無最大值，故選.B 7.(2020湖南卷理)已知D是由不等式組，所確定的平面區(qū)域，則圓 在區(qū)域D內(nèi) 的弧長為 [ B] A . B. C. D.

15、答案 B 解析 解析如圖示，圖中陰影部分所在圓心角所對弧長即為所求，易知圖中兩直線的斜率分別是，所以圓心角即為兩直線的所成夾角，所以，所以，而圓的半徑是2，所以弧長是，故選B現(xiàn)。 8.（2020天津卷理）設變量x，y滿足約束條件：.則目標函數(shù)z=2x+3y的最小值為 A.6 B.7 C.8 D.23 答案 B 【考點定位】本小考查簡單的線性規(guī)劃，基礎題。 解析 畫出不等式表示的可行域，如右圖， 讓目標函數(shù)表示直線在可行域上平移，知在點B自目標函數(shù)取到最小值，解方程組得，所以，故選擇B。 9.（2020四川卷理）某

16、企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B 原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸。銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得最大利潤是 A. 12萬元 B. 20萬元 C. 25萬元 D. 27萬元 答案 D 【考點定位】本小題考查簡單的線性規(guī)劃，基礎題。（同文10） 解析 設甲、乙種兩種產(chǎn)品各需生產(chǎn)、噸，可使利潤最大，故本題即 已知約束條件，求目標函數(shù)的最大

17、 值，可求出最優(yōu)解為，故，故選 擇D。 10.（2020福建卷文）在平面直角坐標系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則的值為 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3 答案 D 解析 如圖可得黃色即為滿足 的直線恒過（0，1），故看作直線繞點（0，1）旋轉(zhuǎn)，當a=-5時，則可行域不是一個封閉區(qū)域，當a=1時，面積是1；a=2時，面積是；當a=3時，面積恰好為2，故選D. 二、填空題 11.（2020浙江理）若實數(shù)滿足不等式組則的最

18、小值是 ． 答案 4 解析 通過畫出其線性規(guī)劃，可知直線過點時， 12.（2020浙江卷文）若實數(shù)滿足不等式組則的最小 是 ． 【命題意圖】此題主要是考查了線性規(guī)劃中的最值問題，此題的考查既體現(xiàn)了正確畫線性區(qū)域的要求，也體現(xiàn)了線性目標函數(shù)最值求解的要求 解析 通過畫出其線性規(guī)劃，可知直線過點時， 13.（2020北京文）若實數(shù)滿足則的最大值為 . 答案 9 解析：本題主要考查線性規(guī)劃方面的基礎知. 屬于基礎知識、基本運算的考查. 如圖，當時， 為最大值.

19、 故應填9. 14.（2020北京卷理）若實數(shù)滿足則的最小值為__________. 答案 解析 本題主要考查線性規(guī)劃方面 的基礎知. 屬于基礎知識、基本運算 的考查. 如圖，當時， 為最小值. 故應填. 15.(2020山東卷理)不等式的解集為 . 答案 解析 原不等式等價于不等式組①或② 或③不等式組①無解,由②得,由③得,綜上得,所以原不等式的解集為. 16.(2020山東卷文)某公司租賃甲、乙兩種設備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品,甲種設備每天能生產(chǎn)A類

20、產(chǎn)品5件和B類產(chǎn)品10件,乙種設備每天能生產(chǎn)A類產(chǎn)品6件和B類產(chǎn)品20件.已知設備甲每天的租賃費為200元,設備乙每天的租賃費為300元,現(xiàn)該公司至少要生產(chǎn)A類產(chǎn)品50件,B類產(chǎn)品140件,所需租賃費最少為__________元. 答案 2300 解析 設甲種設備需要生產(chǎn)天, 乙種設備需要生產(chǎn)天, 該公司所需租賃費為元,則，甲、乙兩種設備生產(chǎn)A,B兩類產(chǎn)品的情況為下表所示: 產(chǎn)品 設備 A類產(chǎn)品 (件)(≥50) B類產(chǎn)品 (件)(≥140) 租賃費 (元) 甲設備

21、 5 10 200 乙設備 6 20 300 則滿足的關(guān)系為即:, 作出不等式表示的平面區(qū)域,當對應的直線過兩直線的交點(4,5)時，目標函數(shù)取得最低為2300元. 【命題立意】:本題是線性規(guī)劃的實際應用問題,需要通過審題理解題意,找出各量之間的關(guān)系,最好是列成表格,找出線性約束條件,寫出所研究的目標函數(shù),通過數(shù)形結(jié)合解答問題.. 17.（2020上海卷文） 已知實數(shù)x、y滿足 則目標函數(shù)z=x-2y的最小值是_______. 答案 －9 解析 畫出滿足不等式組的可行域如右圖，目標函數(shù)化為：－z，畫直線及其平行線，當此直線經(jīng)過點A時，－z的值最大，z的值最小，A點坐標為（3,6），所以，z的最小值為：3－2×6＝－9。