《平面與平面平行的性質》習題

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. ------------------------------------------author ------------------------------------------date 《平面與平面平行的性質》習題 《平面與平面平行的性質》習題 《平面與平面平行的性質》習題 一、選擇題 1．平面α∥平面β，點A、C∈α，點B、D∈β，則直線AC∥直線

2、BD的充要條件是( ) A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB與CD相交 D．A、B、C、D四點共面 2．“α內存在著不共線的三點到平面β的距離均相等”是“α∥β”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件 3．平面α∥平面β，直線aìα，P∈β，則過點P的直線中( ) A．不存在與α平行的直線 B．不一定存在與α平行的直線 C．有且

3、只有—條直線與a平行 D．有無數(shù)條與a平行的直線 4．下列命題中為真命題的是( ) A．平行于同一條直線的兩個平面平行 B．垂直于同一條直線的兩個平面平行 C．若—個平面內至少有三個不共線的點到另—個平面的距離相等，則這兩個平面平行． D．若三直線a、b、c兩兩平行，則在過直線a的平面中，有且只有—個平面與b，c均平行． 5．已知平面α∥平面β，且α、β間的距離為d，lìα，l′ìβ，則l與l′之間的距離的取值范圍為( ) A．(d，∞) B．(d，＋∞) C．3601i0v D．(0，∞) 6．已知直線a、b、cìα，且

4、a∥β、b∥β、c∥β，則“a、b、c到平面β的距離均相等”是“α∥β”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要的條件 7．給出以下命題： ①夾在兩個平行平面間的線段，較長的與平面所成的角較??； ②夾在兩個平行平面間的線段，如果它們的長度相等，則它們必平行； ③夾在兩個平行平面間的線段，如果它的長度相等，則它們與平面所成的角也相等； ④在過定點P的直線中，被兩平行平面所截得的線段長為d的直線有且只有一條，則兩平行平面間的距離也為d 其中假命題共有( ) A．1個

5、 B．2個 C．3個 D．4個 8．設α∥β，P∈α，Q∈β當P、Q分別在平面α、β內運動時，線段PQ的中點X也隨著運動，則所有的動點X( ) A．不共面 B．當且僅當P、Q分別在兩條平行直線上移動時才共面 C．當且僅當P、Q分別在兩條互相垂直的異面直線上移動時才共面 D．無論P、Q如何運動都共面 二、填空題 9．已知α∥β且α與β間的距離為d，直線a與α相交于點A與β相交于B，若，則直線a與α所成的角＝___________． 10．過兩平行平面α、β外的點P兩條直線AB與CD，它們分別交α于A、C兩點，交β于B、D兩點，若PA＝

6、6，AC＝9，PB＝8，則ＢD的長為__________． 11．已知點A、B到平面α的距離分別為d與3d，則A、B的中點到平面α的距離為________． 12．已知平面α內存在著n個點，它們任何三點不共線，若“這n個點到平面β的距離均相等”是“α∥β”的充要條件，則n的最小值為_________． 三、解答題 13．已知平面α∥平面β直線a∥α，a?β，求證：a∥β． 14．如圖，平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，點E、F分別在線段AＢ、CD上，且，求證：EF∥平面β． 15．P是△AＢC所在平面外一點，A′，B′，C′分別是△

7、PＢC、△PCA、△PAＢ的重心， (1)求證：平面A′Ｂ′C′∥平面AＢC； (2)求S△A′Ｂ′C′∶S△AＢC． 16．如圖已知平面α∥平面β，線段AＢ分別交α、β于M、N，線段AD分別交α、β于C、D，線段ＢF分別交α，β于F、E，若AM＝m，ＢN＝n，MN＝P，求△END與△FMC的面積之比． 17．如圖，已知：平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，AC與ＢD為異面直線，AC＝6，ＢD＝8，AＢ＝CD＝10，AＢ與CD成60°的角，求AC與ＢD所成的角． 參考答案 一、選擇題

8、1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D 二、填空題 9．60° 10．12 11．d或2d 12．5 三、解答題 13．證明：取平面α內一定點A，則直線a與點A確定平面g，設g∩α＝b，g∩β＝c， 則由a∥α得a∥b，由α∥β得b∥c，于是a∥c． 又∵a?β，∴a∥β． 14．證明：(1)若直線AB和CD共面， ∵α∥β，平面ABDC與α、β分別交于AC、BC兩直線， ∴AC∥BD．又∵＝， ∴EF∥AC∥BD，∴EF∥平面β． (2)若AB與CD異面，連接BC并在BC上取一點G，使得＝，則在△B

9、AC中，EG∥AC，ACì平面α， ∴EG∥α．又∵α∥β， ∴EG∥β；同理可得：GF∥BD，而BDìβ， 又∵GF∥β．∵EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β， 又∵EFì平面EGF，∴EF∥β． 綜合(1)(2)得EF∥β． 15．證明：(1)連接PA′、PB′、PC′，分別交BC、CA、AB于K、G、H，連接GH、KG、HK． ∵B′、C′均為相應三角形的重心， ∴G、H分別為AC、AB的中點，且＝＝， ∴B′C′∥GH，同理A′B′∥KG，A′B′∩B′C′＝B′且GH∩KG＝G， 從而平面A′B′C′∥平面ABC． (2)由(1)知△A′B′C′∽△KGH， ∴

10、＝＝， 又∵S△KGH＝S△ABC，∴S△A′B′C′＝S△ABC， ∴S△A′B′C′∶S△ABC＝1∶9． 16．證明：∵α∥β，平面AND分別交α，β于MC、ND， ∴由面面平行的性質定理知，MC∥ND，同理MF∥NE；又由等角定理：“一個角的兩邊分別平行于另一角的兩邊且方向相同，則兩角相等”知：∠END＝∠FMC，從而＝，＝， ∴ND＝·MC＝·MC，NE＝·MF＝·MF． ∴S△END＝ND·NE·sin∠END ＝···MC·MF·sin∠FMC ＝·S△FMC． ∴＝． 即：△END與△FMC的面積之比為． 17．由α∥β作BEAC，連結CE，則ABEC是平行四邊形．∠DBE是AC與BD所成的角．∠DCE是AB、CD所成的角，故∠DCE＝60°． 由AB＝CD＝10，知CE＝10，于是△CDE為等邊三角形， ∴DE＝10． 又∵BE＝AC＝6，BD＝8， ∴∠DBE＝90°． ∴AC與BD所成的角為90°． --------------------------------------------------