江蘇省南京市建鄴高級中學高三數學第一輪復習《第3課時 函數的概念及其表示》學案

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1、第3課時 函數的概念及其表示 【考點概述】 ①理解用集合與對應的語言刻畫的函數概念; ②會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列表法、解析法）表示函數； ③了解簡單的分段函數，并能簡單應用. 【重點難點】： 在對應的基礎上理解函數的概念并能理解符號“”的含義， 函數的三種不同表示的相互間轉化，函數的解析式的表示，理解和表示分段函數；函數的作圖及如何選點作圖，映射的概念的理解． 【知識掃描】 1.函數的基本概念 （1）.函數定義 一般地，設是兩個非空的______，如果按某種對應法則，對于集合中的 元素，在集合中都有_____的元素和它對應，那么這樣的

2、對應f:Ａ→Ｂ叫做從集合到集合的一個函數，通常記為_________。 （2）函數的定義域、值域 在函數中，________叫做自變量，___________叫做函數的定義域；與的值對應的輸出值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。顯然，值域是集合的子集。 （3）函數的三要素： 、 和 （4）函數相等：如果兩個函數的 和 完全一致，則這兩個函數相等，這是判斷兩個函數相等的依據。 2.函數的表示法 表示函數的常用方法有：____________、____________、

3、______________. 3.映射的定義 設是兩個____的集合，如果按照某種對應法則，對于集合中的____元素，在集合中都有____的元素與之對應，這樣的單值對應叫做集合到集合的映射，記作：______。 4.映射函數的關系 由映射定義可看出，映射是 概念的推廣，函數是一種特殊的映射。 【熱身練習】 1．設集合，有以下四個對應法則：① ；②；③；④，其中不能構成從到的函數的是（必修一P28習題2改編） 2．已知是一次函數，且，則函數＝____________． 3．已知函數若， 則 . 4．圖中的圖象所表示的函數的解析式為

4、 . 5．已知函數分別由列表法給出： 1 2 3 1 3 1 1 2 3 3 2 1 則(1) _______；(2)的_______。 【范例透析】 【例1】試判斷以下各組函數是否表示同一函數？ （1）f（x）=，g（x）=； （2）f（x）=，g（x）= （3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）； （4）f（x）=，g（x）=； （5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1. E A D C B G H F 【例2】如圖，已知底角為450的等腰

5、梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為cm，當一條垂直于底邊BC（垂足為F）的直線從左至右移動（與梯形ABCD有公共點）時，直線把梯形分成兩部分，令，試寫出左邊部分的面積與的函數解析式。 【例3】二次函數滿足且． ⑴求的解析式； ⑵當[－1，1]時，不等式： 恒成立，求實數的范圍。 【例4】 （1） 已知 ，求; （2） 已知 ，求; （3） 已知滿足 ，求; （4） 已知是一次函數，且滿足，求; 【方法規(guī)律總結】 1、判斷兩個函數是否相同，抓住兩點：定義域和對應法則（解析式）是否相同。（注意： 解

6、析式可以化簡） 2、函數問題一定要注意定義域優(yōu)先原則； 3、建立簡單實際問題的函數式，首先要選定變量，然后尋找等量關系，求的函數解析式，寫定義域。 4、掌握求函數解析式的常見方法：換元法、待定系數法。。。。等。 【鞏固練習】 1．設為從集合A到B的映射，若，則_____。 2．已知是一次函數，且，則________。 3．已知，從到的映射， 中元素與中元素對應，則此元素為 。 4．（2020·中山市期末）函數 在閉區(qū)間上的圖象如下圖所示， 則求函數的解析式為 ． 5．已知a、b為實數，集合，

7、表示把集合中的元素映射到集合N中仍為x，則a + b= . 6．已知f(x)＝x2－2x＋1，g(x)是一次函數，且f[g(x)]＝4x2，求g(x)的解析式． 第3課時 函數的概念及其表示參考答案 【熱身練習】 1. 答案：④ 解析：由④可知，對于中的元素對應的像，所以不能構成從到的函數；其余均符合函數的定義。 2. 答案： 解析：設且，， ， 。 3. 答案：. 由，無解。 4．答案： (0≤x≤2) 解析: 當時，；當時，。(0≤x≤2) 。 5. 答案：1　2 解析： (1)g(1)＝3，f(3)＝1，

8、∴f[g(1)]＝1. (2)x＝1時，f[g(1)]＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不符合題意． x＝2時，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，符合題意f[g(x)]>g[f(x)]． x＝3時，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，不符合題意． 【范例透析】 例1解：（1）由于f（x）==|x|，g（x）=，故它們的定義域及對應法則都不相同，所以它們不是同一函數. （2）由于函數f（x）=的定義域為（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定義域為R，所以它們不是同一函數. （3）由于當n∈N*時，2n±1為奇數，∴f（x）=

9、=x，g（x）=（）2n－1=x，它們的定義域、值域及對應法則都相同，所以它們是同一函數. （4）由于函數f（x）=的定義域為{x|x≥0}，而g（x）=的定義域為{x|x≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數. （5）函數的定義域、值域和對應法則都相同，所以它們是同一函數. 例2解：過點A、D分別作，，垂足分別是； 因為ABCD是等腰梯形。底角為450。AB=cm， 所以：又所以：； （1）當點在上時，即時，； （2）當點在上時，即時，； （3）當點在上時， 即時，； 所以：函數的解析式為： E A D C B G H F

10、 例3解： (1)設f（x）＝ax2＋bx＋c，由f（0）＝1得c＝1， 故f（x）＝ax2＋bx＋1． ∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x． 即2ax＋a＋b＝2x，所以，∴f(x)＝x2－x＋1． (2)由題意得x2－x＋1>2x＋在[－1，1]上恒成立． 即x2－3x＋1－>0在[－1，1]上恒成立． 設g(x)＝ x2－3x＋1－，其圖象的對稱軸為直線x＝， 所以g(x) 在[－1，1]上遞減． 故只需g(1)>0，即12－3×1＋1－>0，解得<－1． 例4解：略 【鞏固練習】 1. 答案： 解析：由得，，解得。。 2．答案： 3．答案：(5,-1)或(-1,5) 4 ．答案： 解析：由圖象可知，當時，； 當時，，所以 5．答案： 解析：由題意可知，解得，所以。 6．解　設g(x)＝ax＋b(a≠0)， 則f[g(x)]＝(ax＋b)2－2(ax＋b)＋1＝a2x2＋(2ab－2a)x＋b2－2b＋1＝4x2. ∴解得a＝±2，b＝1. ∴g(x)＝2x＋1或g(x)＝－2x＋1.