江蘇省啟東市2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題強(qiáng)化訓(xùn)練1
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江蘇省啟東市2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題強(qiáng)化訓(xùn)練1
專題強(qiáng)化訓(xùn)練11.如圖,某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區(qū)域(以O(shè) 為圓心,AB為直徑),現(xiàn)計(jì)劃對其進(jìn)行改建在AB的延長線上取點(diǎn)D,OD80 m,在半圓上選定一點(diǎn)C,改建后的綠化區(qū)域由扇形區(qū)域AOC和三角形區(qū)域COD組成,其面積為S m2設(shè)AOCx rad(1)寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式S(x),并指出x的取值范圍; (2)試問AOC多大時(shí),改建后的綠化區(qū)域面積S取得最大值A(chǔ)BOCD(1)因?yàn)樯刃?#160;AOC的半徑為 40 m,AOCx rad,所以 扇形AOC的面積S扇形AOC800x,0x 2分在COD中,OD80,OC40,CODx,所以COD 的面積SCOD·OC·OD·sinCOD1600sin(x)1600sinx 5分從而 SSCODS扇形AOC1600sinx800x,0x 7分2. 如圖所示,某街道居委會擬在地段的居民樓正南方向的空白地段上建一個(gè)活動(dòng)中心,其中米活動(dòng)中心東西走向,與居民樓平行. 從東向西看活動(dòng)中心的截面圖的下部分是長方形,上部分是以為直徑的半圓. 為了保證居民樓住戶的采光要求,活動(dòng)中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長不超過米,其中該太陽光線與水平線的夾角滿足.(1)若設(shè)計(jì)米,米,問能否保證上述采光要求?FABEDGC南居民樓活動(dòng)中心(2)在保證上述采光要求的前提下,如何設(shè)計(jì)與的長度,可使得活動(dòng)中心的截面面積最大?(注:計(jì)算中取3) 解:如圖所示,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系(1)因?yàn)?,所以半圓的圓心為,半徑設(shè)太陽光線所在直線方程為,即, 則由,解得或(舍).故太陽光線所在直線方程為, 令,得米米.所以此時(shí)能保證上述采光要求. (2)設(shè)米,米,則半圓的圓心為,半徑為方法一:設(shè)太陽光線所在直線方程為,即,由,解得或(舍). 故太陽光線所在直線方程為, 令,得,由,得. 所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號. 所以當(dāng)米且米時(shí),可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. 方法二:欲使活動(dòng)中心內(nèi)部空間盡可能大,則影長EG恰為米,則此時(shí)點(diǎn)為,設(shè)過點(diǎn)G的上述太陽光線為,則所在直線方程為y(x30),即 由直線與半圓H相切,得而點(diǎn)H(r,h)在直線的下方,則3r4h1000,即,從而 又.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.所以當(dāng)米且米時(shí),可使得活動(dòng)中心的截面面積最大. 3.已知PQ是半徑為1的圓A的直徑,B,C為不同于P,Q的兩點(diǎn),如圖所示,記PAB=(1)若BC=,求四邊形PBCQ的面積的最大值;(2)若BC=1,求的最大值解:(1),BAC=;由PAB=得CAQ=;S四邊形PBCQ=SPAB+SABC+SCAQ=;,當(dāng)時(shí),S四邊形PBCQ取得最大值;(2)當(dāng)BC=1時(shí),BAC=,PAC=;=1=;時(shí),取得最大值LABOMLLab4.如圖,某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的位于該市的某大學(xué)與市中心的距離,且現(xiàn)要修筑一條鐵路L,L在OA上設(shè)一站,在OB上設(shè)一站B,鐵路在部分為直線段,且經(jīng)過大學(xué)其中,(1)求大學(xué)與站的距離;(2)求鐵路段的長(1)在中,且, 由余弦定理得, ,即大學(xué)與站的距離為; (2),且為銳角, 在中,由正弦定理得,, 即, , , 又, , 在中, 由正弦定理得,即,即鐵路段的長為 5.如圖是某設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)的Y型飾品的平面圖,其中支架OA,OB,OC兩兩成120°,OC=1,AB=OB+OC,且OAOB,現(xiàn)設(shè)計(jì)師在支架OB上裝點(diǎn)普通珠寶,普通珠寶的價(jià)值為M,且M與OB長成正比,比例系數(shù)為k(k為正常數(shù)):在AOC區(qū)域(陰影區(qū)域)內(nèi)鑲嵌名貴珠寶,名貴珠寶的價(jià)值為N,且N與AOC的面積成正比,比例系數(shù)為4k,設(shè)OA=x,OB=y(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;(2)求NM的最大值及相應(yīng)的x的值解:(1)OA=x,OB=y,AB=y+1,由余弦定理得x2+y22xycos120°=(y+1)2,解得y=,由x0,y0,得1x2,xy,x,得1x,OA的取值范圍是(1,)(2)M=kOB=ky,N=4kSAOC=3kx,則NM=k(3xy)=k(3x),設(shè)2x=t,則t(,1),則NM=k3(2t)=k10(4t+)k(102)=(104)k,當(dāng)且僅當(dāng)4t=,即t=,x=2時(shí),NM的最大值是)=(104)k6.在ABC中,三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知=(1)求C;(2)如圖,設(shè)半徑為R的圓O過A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)P位于劣弧上,PAB=,求四邊形APCB面積S()的解析式及最大值【考點(diǎn)】在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型;三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【分析】(1)由已知結(jié)合正弦定理可得sin2A=sin2B,再由角的范圍可得A+B=,從而求得C;(2)把三角形ABC的三邊用R表示,再由S()=SABC+SAPC,代入三角形面積公式化簡,然后由()求得四邊形APCB面積S()的最大值【解答】解:(1)由=,得=,sin2A=sin2B,2A,2B(0,2),2A=2B,或2A+2B=,即A=B或A+B=,A=B舍去,從而C=;(2)由條件得:c=2R,a=R,b=R,BAC=,CAP=,(),S()=SABC+SAPC=,(),(),當(dāng)時(shí),7.一個(gè)玩具盤由一個(gè)直徑為2米的半圓O和一個(gè)矩形ABCD構(gòu)成,AB=1米,如圖所示,小球從A點(diǎn)出發(fā)以大小為5v的速度沿半圓O軌道滾到某點(diǎn)E處,經(jīng)彈射器以6v的速度沿與點(diǎn)E切線垂直的方向彈射到落袋區(qū)BC內(nèi),落點(diǎn)記為F,設(shè)AOE=弧度,小球從A到F所需時(shí)間為T(1)試將T表示為的函數(shù)T(),并寫出定義域;(2)求時(shí)間T最短時(shí)的值解:(1)過點(diǎn)O作OGBC于G,則OG=1,OF=,EF=1+,AE=,T()=+=+,;(2)由(1)可知T()=,記cos0=,由0,可知:當(dāng)(,0)時(shí)T()0,即T()在區(qū)間(,0)上單調(diào)遞減,當(dāng)(0,)時(shí)T()0,即T()在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增,當(dāng)=時(shí)時(shí)間T最短8.如圖,O為總信號源點(diǎn),A,B,C是三個(gè)居民區(qū),已知A,B都在O的正東方向上,OA = 10 ,OB = 20 ,C在O的北偏西45° 方向上,CO =(1)求居民區(qū)A與C的距離;(2)現(xiàn)要經(jīng)過點(diǎn)O鋪設(shè)一條總光纜直線EF(E在直線OA的上方),并從A,B,C分別鋪設(shè)三條最短分光纜連接到總光纜EF假設(shè)鋪設(shè)每條分光纜的費(fèi)用與其長度的平方成正比,比例系數(shù)為m(m為常數(shù))設(shè)AOE = (0 <),鋪設(shè)三條分光纜的總費(fèi)用為w(元) 求w關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式; 求w的最小值及此時(shí)的值11.如圖,摩天輪的半徑為,點(diǎn)距地面的高度為,摩天輪作逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng),每轉(zhuǎn)一圈,摩天輪上點(diǎn)的起始位置在最低點(diǎn)處.(1)試確定在時(shí)刻()時(shí)點(diǎn)距離地面的高度;(2)在摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi),有多長時(shí)間點(diǎn)距離地面超過?(1)以為原點(diǎn)建系,在內(nèi)轉(zhuǎn)過的角為,以為始邊,為終邊的角為,故點(diǎn)縱坐標(biāo)為,距地面高度為;(2)令即,.答:一圈內(nèi)有2分鐘超過.12.如圖,有一塊矩形空地,現(xiàn)規(guī)劃在該空地四邊形建一個(gè)商業(yè)區(qū),其中頂點(diǎn)為商業(yè)區(qū)四個(gè)入口,且入口在邊上(不包含頂點(diǎn)),入口分別在邊上,矩形內(nèi)其余區(qū)域均為綠化區(qū)。(1)設(shè),以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),直線為軸,建立直角坐標(biāo)系,如圖所示。 求直線的方程 求的取值范圍。(2)設(shè)商業(yè)區(qū)域的面積為,綠化區(qū)域的面積為,問入口如何選址,即為何值時(shí),可使得該商業(yè)區(qū)域的環(huán)境舒適度指數(shù)最大?13.圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖,圖2是凹槽的橫截面(陰影部分)示意圖,其中四邊形是矩形,弧是半圓,凹槽的橫截面的周長為若凹槽的強(qiáng)度等于橫截面的面積與邊的乘積,設(shè),(1)寫出關(guān)于函數(shù)表達(dá)式,并指出的取值范圍;(2)求當(dāng)取何值時(shí),凹槽的強(qiáng)度最大【解】()易知半圓的半徑為,故半圓的弧長為所以,得2分依題意知:得所以,()6分()依題意,設(shè)凹槽的強(qiáng)度為,橫截面的面積為,則有,9分因?yàn)椋?,?dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以當(dāng),凹槽的強(qiáng)度最大13分答:所以當(dāng),凹槽的強(qiáng)度最大14分14.如圖,OM,ON是兩條海岸線,Q為大海中一個(gè)小島,A為海岸線OM上的一個(gè)碼頭已知,Q到海岸線OM,ON的距離分別為3 km, km現(xiàn)要在海岸線ON上再建一個(gè)碼頭B,使得水上旅游線路AB(直線)經(jīng)過小島Q (1)求水上旅游線路AB的長;(2)若小島正北方向距離小島6 km處的海中有一個(gè)圓形強(qiáng)水波P,水波生成t h時(shí)的半徑為(其中,R)強(qiáng)水波開始生成時(shí),一游輪以 km/h的速度自碼頭A開往碼頭B,問強(qiáng)水波是否會波及游輪的航行,并說明理由解:(1)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線OM為軸,建立直角坐標(biāo)系如圖所示則由題設(shè)得:,直線ON的方程為 由,解得,所以2分故直線AQ的方程為,由得即,故, 5分答:水上旅游線的長為km 6分(2)設(shè)試驗(yàn)產(chǎn)生的強(qiáng)水波圓P,由題意可得P(3,9),生成小時(shí)時(shí),游輪在線段AB上的點(diǎn)C處,則,所以若強(qiáng)水波不會波及游輪的航行即 即, 10分當(dāng)時(shí)恒成立,當(dāng). ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立,所以當(dāng)時(shí)恒成立,即強(qiáng)水波不會波及游輪的航行14分答:在時(shí),強(qiáng)水波不會波及游輪的航行 15分15.如圖所示,某市準(zhǔn)備在一個(gè)湖泊的一側(cè)修建一條直路OC;另一側(cè)修建一條觀光大道,它的前一段OD是以O(shè)為頂點(diǎn),x軸為對稱軸,開口向右的拋物線的一部分,后一段DBC是函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0,|),x4,8時(shí)的圖象,圖象的最高點(diǎn)為B(5,),DFOC,垂足為F(I)求函數(shù)y=Asin(x+)的解析式;(II)若在湖泊內(nèi)修建如圖所示的矩形水上樂園PMFE,問點(diǎn)P落在曲線OD上何處時(shí),水上樂園的面積最大?解:()對于函數(shù)y=Asin(x+)由圖象可知,A=,=,將(5,),代入y=sin(x+)得:,|,所以=,所以函數(shù)的解析式為y=sin(x)()在y=sin(x)中,令x=4,得D(4,4)從而得曲線OD的方程為y2=4x,(0x4)設(shè)點(diǎn)P()(0t4),則矩形PMFE的面積為S=,0t4因?yàn)镾=4,由S=0得t=,且t時(shí)S0,S遞增,t時(shí)S0,S遞減,所以當(dāng)t=,S最大,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)16.某企業(yè)投入81萬元經(jīng)銷某產(chǎn)品,經(jīng)銷時(shí)間共60個(gè)月,市場調(diào)研表明,該企業(yè)在經(jīng)銷這個(gè)產(chǎn)品期間第x個(gè)月的利潤(單位:萬元),為了獲得更多的利潤,企業(yè)將每月獲得的利潤投入到次月的經(jīng)營中,記第x個(gè)月的當(dāng)月利潤率,例如:(1)求g(10);(2)求第x個(gè)月的當(dāng)月利潤率g(x);(3)該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間,哪個(gè)月的當(dāng)月利潤率最大,并求該月的當(dāng)月利潤率解:(1)由題意得:f(1)=f(2)=f(3)=f(9)=f(10)=1g(x)=(2)當(dāng)1x20時(shí),f(1)=f(2)f(x1)=f(x)=1g(x)=當(dāng)21x60時(shí),g(x)=當(dāng)?shù)趚個(gè)月的當(dāng)月利潤率;(3)當(dāng)1x20時(shí),是減函數(shù),此時(shí)g(x)的最大值為當(dāng)21x60時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即x=40時(shí),又,當(dāng)x=40時(shí),17.如圖,太湖一個(gè)角形湖灣( 常數(shù)為銳角). 擬用長度為(為常數(shù))的圍網(wǎng)圍成一個(gè)養(yǎng)殖區(qū),有以下兩種方案可供選擇:方案一 如圖1,圍成扇形養(yǎng)殖區(qū),其中;方案二 如圖2,圍成三角形養(yǎng)殖區(qū),其中;(1)求方案一中養(yǎng)殖區(qū)的面積;(2)求方案二中養(yǎng)殖區(qū)的最大面積;(3)為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大,應(yīng)選擇何種方案?并說明理由.(1)設(shè),則,即,所以 .(2)設(shè).由余弦定理,得,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),“=”成立.所以 ,即.答:為使養(yǎng)殖區(qū)的面積最大.應(yīng)選擇方案一.