靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件

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1、靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件第五章第五章 靜態(tài)場的邊值問題靜態(tài)場的邊值問題靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件邊值問題研究方法解析法數(shù)值法分離變量法分離變量法鏡像法鏡像法復(fù)變函數(shù)法復(fù)變函數(shù)法有限差分法有限差分法有限元法有限元法邊界元法邊界元法矩量法矩量法模擬電荷法模擬電荷法靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件5.1 唯一性定理和解的疊加原理唯一性定理和解的疊加原理 一一. . 唯一性定理唯一性定理1、表述、表述 在給定的區(qū)域內(nèi)，泊松方程（或拉普拉斯方程）滿足所給定的全部邊界條件的解是唯一的。 2、邊界條件的形式、邊界條件的形式給定全部邊界上的函數(shù)值給出全部邊界上函數(shù)的法向?qū)?shù)值給定部分邊界上的函數(shù)值，而其余邊

2、界上給出函數(shù)的法向?qū)?shù)值“狄利赫利”邊界條件“聶曼”邊界條件混合邊界條件1Cs2Cns2121,CnCss靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件3、唯一性定理的證明、唯一性定理的證明證明：考慮泊松方程，用反證法 在區(qū)域內(nèi)存在兩個不同的函數(shù) 和 都滿足相同的泊松方程 ，并且在區(qū)域邊界S上滿足同樣的邊界條件。 12f2令210)(22122122ffuFFuFu)(22()() 則有利用Fu,取則對上式兩邊在區(qū)域內(nèi)作體積分，然后運用散度定理，得dsds2)()(靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件ddsns2)(dsnsd)( 將 代入上式得 0)(112121CCssss0)(222121CCnnnnssss0,

3、021ssn1Cs對于第一類邊界條件2Cns對于第二類邊界條件對于第三類邊界條件不論對哪類邊界條件，面積分 都等于零 sdsn 因此有 0)(2d靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件由于 恒為正值，故上式成立的條件是2)(0C解之可得討論：對于第一類邊界條件，0S因為所以C = 0第二類和第三類邊界條件的情況 C21對于求解場函數(shù)來說，解是唯一的。4、應(yīng)當(dāng)明確、應(yīng)當(dāng)明確只有在區(qū)域的所有邊界上給出唯一的邊界條件時，邊值問題的解才是唯一確定的。 唯一性定理 給出了求解電磁場問題的理論依據(jù)不論采用什么方法，只要得到的解能夠在區(qū)域內(nèi)滿足方程而在邊界上滿足邊界條件，這個解就是該邊值問題的唯一正確解。 靜態(tài)場的邊

4、值問題 (2)課件二二. . 解的疊加原理解的疊加原理解的可疊加性是方程線性的必然結(jié)果。 1、表述、表述對拉普拉斯方程，若 、 、 都是滿足方程 的解 n1202nnaaa2211則其中ai為任意常數(shù)。 也是方程 的解 02并且 、 、 都是滿足方程 的解 n12201122pnnaaa則其中ai為任意常數(shù)。 也是方程 的解 2f對泊松方程，若 是滿足方程 的一個任意解 2fp靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件2、證明、證明221122()pnnaaa討論泊松方程的情況對疊加得到的結(jié)果兩邊作 運算，得222221122pnnaaa12000nfaaaf 因此 是方程 的解 2f令 f = 0，即可得

5、到拉普拉斯方程情況的證明3、應(yīng)用、應(yīng)用求解邊界問題時，可以先將復(fù)雜邊界條件分解成便于求解的幾個邊界條件，則總的邊界問題解就是這些解的疊加。靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件12321230sssCCC 111222333222123112312231233000000000sssssssssCCC 例：例：分解為三個邊界問題分解后每個邊值問題都只有一個非齊次邊界值，求解變得容易。 123原問題的解應(yīng)該是三個問題解的疊加靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件5.2 拉普拉斯方程的分離變量法拉普拉斯方程的分離變量法一一. . 直角坐標(biāo)系中的分離變量法直角坐標(biāo)系中的分離變量法 直角坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的表達(dá)式為 0

6、222222zyx)()()(),(zhygxfzyx令 ，并代入上式0)()(1)()(1)()(1222222zzhzhyygygxxfxf)()()(zhygxf并兩邊同除以 得 1、方法介紹、方法介紹2xk2yk2zk變量的分離靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件則上式分解成三個獨立的全微分方程，即 0)()(222xfkdxxfdx0)()(222ygkdyygdy0)()(222zhkdzzhdz222,zyxkkk稱為分離常數(shù)分離常數(shù)，分離常數(shù)之間滿足約束關(guān)系 0222zyxkkk12( )f xAxA12( )sincosxxf xAk xAk xxkAxkAxfxxchsh)(211

7、2xxk xk xAeA e全微分方程解的選?。ㄒ?為例）xk20 xk 20 xk 220 xxkk靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件對 和 也都有與上述相同形式的解。在 、 、 三組可取解中各取其一并相乘，即可得到一個解的表達(dá)式。 )()()(),(zhygxfzyx)chsh)(cossin)(cossin(21121zkCzkCykBykBxkAxkAzzyyyxx)(yg)(zh)(xf)(yg)(zh解的選取并不是任意的，因為存在約束條件2220 xyzkkk20 xk 20yk 20zk 如果取 ， ，則必須取 a. 對于有兩個零值邊界的方向，其對應(yīng)的函數(shù)取三角函數(shù)；b. 對于單零值邊

8、界方向，對應(yīng)的函數(shù)一般取雙曲函數(shù)形式；c. 而有無限遠(yuǎn)邊界的方向，一般取指數(shù)函數(shù)形式。d. 若位函數(shù)與某一坐標(biāo)變量無關(guān)，則該變量對應(yīng)的函數(shù)取成常數(shù)， 并取作1。根據(jù)邊界條件來選擇函數(shù)： 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件拉普拉斯方程的通解),3,2,1(,nikkkziyixi本征值本征值： 滿足齊次邊界條件的分離常數(shù)可以取一系列特殊值 本征值對應(yīng)的函數(shù)稱為本征函數(shù)本征函數(shù)或本征解本征解。 )()()(),(),(11niiiiniizhygxfzyxzyx所有本征解的線性疊加構(gòu)成滿足拉普拉斯方程的通解拉普拉斯方程的通解在許多問題中，單一本征函數(shù)不能滿足所給的邊界條件，而級數(shù)形式的通解則可以滿足單個

9、解函數(shù)所無法滿足的邊界條件。 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件2、例題、例題例5.1 邊界條件如圖，求電位分布 o y 0U b a 0UU 圖51 長方形截面的導(dǎo)體長槽 0U 0U x 解：內(nèi)部電位與z無關(guān)，是二維問題0),(),(2222yyxUxyxU)()0(00abyUx)()0(0bbyUax)()0(00caxUy)()0(0daxUUby 根據(jù)邊界條件寫出通解x方向電位有兩個零值邊界， 應(yīng)取三角函數(shù)形式；y方向電位為單零值邊界， 應(yīng)取雙曲函數(shù)形式。 )(xf)(yg靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件222kkkyx令分離常數(shù) 則電位通解為iiiiiiiiiykBykBxkAxkAyxUc

10、hshcossin),(2121求待定系數(shù)將邊界條件(a)代入得 )0(chsh0212byykBykBAiiiiii若對任意y成立，則 02iA112( , )sinshchiiiiiiiU x yAk x Bk yBk yiiiiiiiykBykBakAchshsin0211再利用邊界條件(b)得 通解變?yōu)槿魧θ我鈟成立，則),3,2,1(iaiki靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件再利用邊界條件(c)得 iiiiBxkA21sin0ykxkCykBxkAyxUiiiiiiiiishsinshsin),(11若對任意x成立，則 02iBiiiBAC11其中 ，若用整數(shù)n代替i，則上式表示為 ya

11、nxanCyxUnnshsin),(1把邊界條件(d)代入上式，得 )0(shsin10axbanxanCUnn將U0 在（0，a）區(qū)間內(nèi)展開為 的傅立葉級數(shù)sinnxa于是0sinnnUfxan=100041,3,5.2sin02,4,6.anUnn xfUdxnaan其中靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件),6,4,2(0),5,3,1(sh140nnbannUCn對比兩邊各項系數(shù)可得xanbanyannUyxUnsinshsh4),(05 , 3 , 1因此，在槽內(nèi)的電位分布是 0UU 0U 0U 0U 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件 y 圖53 縫隙導(dǎo)體板間的電位 0UU 0U x b 2b

12、o 例5.2 有兩塊一端彎成直角的導(dǎo)體板相對放置，中間留有一小縫，如圖所示。設(shè)導(dǎo)體板在x軸和z軸方向的長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于兩導(dǎo)體板間的距離b，上導(dǎo)體的電位為U0，下導(dǎo)體接地。求兩板間的電位分布。 解：電位分布與z無關(guān)，這是一個二維拉普拉斯問題 00 (0)( )yUxa 0(0)( )y bUUxb 0),(),(2222yyxUxyxU邊界條件靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件002( )002()()xbUybUcby0(0)( )xUUyybdb邊界條件的分解 0UUbya ybUUxa00 ybUUUxb000 ybUUxb00 0 xbU ( A ) ( B ) 圖54 圖53的場分解 y y x

13、 x 00yaU 0bybU 00ybU 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件對于(A)問題，情況與平行板電容器相同，兩極間為勻強(qiáng)電場ybUyxUa0),()sin()(bynBygnnexp)(bxnAxfnn對于(B)問題沿y軸方向存在兩個零電位邊界，取 沿x軸正方向邊界無界且電位趨于零，取 因此(B)問題的電位通解應(yīng)為 ybneCyxUxbnnnbsin),(1將邊界條件(c)代入，得)()(220sin0001bybybUUbyybUybnCnn靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件ybnenUyxUxbnnnb2sin) 1(),(210利用傅立葉展開并比較系數(shù)，可求得(B)問題的解利用疊加原理所以原

14、問題的電位表達(dá)式為 ybnenUybUyxUxbnnn2sin)1(),(2010原問題的解應(yīng)該是A 問題和B 問題解的線性疊加靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件二二. . 圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法1、方法介紹、方法介紹變量的分離圓柱坐標(biāo)中拉普拉斯方程為22222110rrrrrz01122222)(zhhrggrfrrfr)(2fghr)()()(),(zhgrfzr令 ，代入上式，并在兩邊同乘以得得上式第二項只與 有關(guān)，可以先分離出來，令其等于常數(shù) 2n0222gndgd將上式代回到式(A)，各項同除以 r2，得 (A)靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件0112222)(zhh

15、rnrfrrfr令上式左邊最后一項等于常數(shù) ，則上式分離成為兩個方程2zk0222hkzdhdz01)()(222frnkrdfdrrddrz解的選取02nnAnAgcossin)(21 時 ， 對于( )g x對于( )h xzkzkzzeBeB2102zkzBBzh21)( 時 ， 022zzkkzkBzkBzhcossin)(21 時 ， 02n21)(AAg 時 ， 02zkzkBzkBzhzzchsh)(21 時 ， 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件0)(22222fnrkrdfdrrdfdrz對于 ，是一個n階貝塞爾方程 ( )f r0,022zknnnrCrCrf21)( 時 022

16、zknrCCrfln)(21 時 0,022zkn)(N)(J)(21rkCrkCrfznzn 時 0,0222zzkkn)(K)(I)(21rkCrkCrfznzn 時 )(Jrkzn稱為n階第一類貝塞爾函數(shù) )(Nrkzn稱為n階第二類貝塞爾函數(shù)，也叫聶曼函數(shù) 第一類和第二類變形貝塞爾函數(shù) ()()nznzIk rKk r其中本征解的疊加構(gòu)成通解)()()(),(),(zhgrfzrzriiiiii靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件例5.3 電場強(qiáng)度為 的均勻靜電場中放入一半徑為a的電介質(zhì)長圓棒，棒的軸線與電場相垂直，棒的電容率為 ，外部電容率為 ，求任意點的電位。 20E1 P a r y 2

17、 圖55 均勻電場中的電介質(zhì)棒 x 1 2 1解：在柱坐標(biāo)系中求解 根據(jù)邊界條件，寫出通解( , , )U rz與z無關(guān)，取 ，則( )1h z 20zk 故( , , )( , )U rzU r對于 ，根據(jù)問題的形式，可知)(g 2gggg所以取 n2 0，并且 n為正整數(shù))(gncos只取 項靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件對于 ，因為20,02zn k ( )f r所以 取( )f r12nnC rC r于是通解可以表示為)(cos),(211nnnnnrCrCnrUnrCrUnnncos),(1112021( , )coscosnnnUrE rC rn 求分區(qū)通解r a 時，總電位包括外電

18、場和介質(zhì)棒兩部分的貢獻(xiàn) cos00rExE外電場電位介質(zhì)棒電位)(cos),(211nnnnnrCrCnrU規(guī)定了200 xU考慮到當(dāng) 時，介質(zhì)棒產(chǎn)生的電位是有限值，故r 20nC靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件利用靜電場的邊界條件求系數(shù)ararrUrUaUaU221121,),(),(將U1和U2的通解表達(dá)式代入上面兩個邊界條件，得 naCaEnaCnnnnnncoscoscos12011nanCEnanCnnnnnncoscoscos1122021111比較上面兩式兩邊 的系數(shù)，得 cos111021211120221C aE aC aCEC a n = 1時02212121021211;2E

19、aCEC以上兩式聯(lián)立求解，得 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件n 1時12111122nnnnnnnnC aC anC anC a 120 ,0nnCC聯(lián)立解上面兩式求解，得)(2cos2),(021202121arxErErUcoscos),(20212102raErErU求出圓柱內(nèi)外電位求出圓柱內(nèi)外電場強(qiáng)度)(2sin2cos202120212021211arExEErUE)(sin1cos10222121022212122)()(arEraErarUE212012cos()aErr()ra靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件 1mU2mU中的無限長圓柱體是和上面例子完全類似的磁場在均勻外磁場 邊值問

20、題。用0H和 分別表示圓柱體內(nèi)外的磁標(biāo)位，則它們的邊界 條件也和電位的形式相同，即 r 時 , cos02rHUmar 時 , rUrUUUmmmm221121; 此時，1mU和2mU的解也與靜電場1U和2U的解有相同的形式，只需把1U和2U解中的1和 2分別用1和2代替，0E用0H代替，便得到1mU和2mU的解。同樣可以得知圓柱體內(nèi)的磁場強(qiáng)度1H是均勻的。靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件 a x b o z y 圖56 導(dǎo)體圓筒內(nèi)的電位 0000arbzzUUUU 例 5.4 一導(dǎo)體圓筒的高度為b，半徑為a，所給邊界條件為 求圓筒內(nèi)的電位分布函數(shù)。解：由問題對稱性可知，電位與變量無關(guān)，因此應(yīng)取0

21、n和1)(g;)(zh應(yīng)該取成在零點處為零值)(shzkz02zk；并考慮到電位在r=0處為有限值，故)(rf的形式為)(J0rkz。因此電位函數(shù)的本征解為：)(J)(sh),(0rkzkAzrUzz的雙曲正弦函數(shù)，有將邊界條件0arU代入上式，得0)(J)(sh),(0akzkAzaUzz所以akz應(yīng)是零階貝塞爾函數(shù)的根ip0靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件),3,2,1(iapkzizi 把所有本征值)(J)(sh),(0001rapzapAzrUiiii所對應(yīng)的本征解相加，得到電位函數(shù)的通解將邊界條件0)(UbzU代入上式，得)(J)(sh00010rapbapAUiiii上式兩邊同乘以)(

22、J00arprj，從0a對r積分，得drraprrapbapAdrraprUjiaiiija)()()()(00000010000JJshJ 對上式兩邊分別應(yīng)用貝塞爾函數(shù)積分公式 aaxxdxxx0100)(J)(J 和正交公式（540），可以得到靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件 )(J2sh)(J0212001020)(iiiiipabapAppaU)(Jsh201000)(iiiipbappUA 所以 101000000)(JshJsh2),()()()(iiiiiipbapprapzapUzrU 例5.5 將例題5.4的邊界條件改成0000UUUUarbzz求圓筒內(nèi)的電位分布函數(shù)。解：由問題

23、對稱性可知，電位與變量無關(guān)，因此應(yīng)取0n和1)(g)(zh應(yīng)該取成在零點處為零值的正弦函數(shù) )/(sinbzm并考慮到電位在r=0處為)(rf的形式為)/(I0brm。因此電位函數(shù)的通解為有限值, 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件 10)(I )(sin),(mmrbmzbmAzrU將邊界條件0UUar代入上式，得 10)(I )(sin),(mmabmzbmAzaU上式兩邊同乘以)/sin(bzn，從0b對z積分，由三角函數(shù)的正交性，得),6,4,2(0),5,3,1(I14)(00mmabmmUAm代回原式，得到 zbmabmrbmmUzrUmsinII4),()()(0005 , 3 , 1

24、靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件三. . 球面坐標(biāo)系中的分離變量法球面坐標(biāo)系中的分離變量法 球面坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的表達(dá)式為 0sin1sinsin112222222)()(rrrrrr令 代入上式，并兩邊同乘以)()()(),(hgrfr)(sin22fghr01sinsinsin2222)()(hhggrfrrf變量的分離0222hmdhd0) 1()(2fnndrdfrdrd0sinsin) 1(sin)(2gmnnddgdd得引入 - m2分離引入 n(n+1)分離r分離靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件解的選取02mmAmAhcossin)(21 時 對于( )h02m21)(AAh 時 對

25、于 解只有一種形式)1(21)(nnrBrBrf( )f r0 mn)(cos)(cosP)(21mnmnQCCg 時 0,0nm2tan2tan)(21mmcCCg 時 0,0nm)(cos)(cosP)(21nnQCCg 時 對于( )g)(cosPmn)(cosmnQ分別稱為第一類和第二類連帶勒讓德函數(shù) )(cosPn)(cosnQ分別稱為第一類和第二類勒讓德函數(shù) 本征解的疊加構(gòu)成通解)()()(),(),(iiiiiihgrfrr靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件例5.6 在均勻電場中放入一半徑為a的接地導(dǎo)體球。求任意點的電位和電場強(qiáng)度 解：取球心位于坐標(biāo)原點， 電場方向為極軸方向，建立球坐

26、標(biāo)系根據(jù)邊界條件，求出通解( , , )U r 與 無關(guān)，取m = 0，1)(h0所求場域包括 ，故只含有第一類勒讓德多項式)(cosP)(1nnCg(1)120( , )P (cos )nnnnnnU rC rC r r 0E x a 0 P z y o 電位通解可以寫成 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件根據(jù)邊界條件確定電位因為導(dǎo)體球接地，所以球內(nèi),0raU在球外，電位包括均勻電場和導(dǎo)體球兩部分的貢獻(xiàn)均勻電場的電位cos00rEzE(0)0U z 因為感應(yīng)電荷的電位(1)0P (cos )nnnnCr因為 時， r 0inU故總電位)1(00)(cosPcos),(nnnnrCrErU利用導(dǎo)體球

27、的邊界條件 ，得 0),(aU0)(cosPcos)1(00nnnnaCaE不含 rn 項靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件) 1(0301nCaECn由勒讓德多項式的正交公式可得)(coscos),(2300arraErErUUrrUrUrE1),(sin1cos)21 ()(330330raEraEr根據(jù)電位求電場因此球外電位是)sincos2 (44030300rEraEz可見，感應(yīng)電荷對場的貢獻(xiàn)相當(dāng)于一個沿z軸放置的電偶極子，這是由于球面感應(yīng)電荷的分布恰好是上正下負(fù)之故。 例5.6 略靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件5.3 鏡像法鏡像法鏡像法理論依據(jù)：唯一性定理。鏡像法基本思路：分界面上的感應(yīng)源

28、 區(qū)域外的鏡像源無限區(qū)域的同種媒質(zhì)問題 分區(qū)媒質(zhì)問題鏡像電荷位置選擇原則：1、鏡像電荷必須位于求解區(qū)域以外的空間。 2、鏡像電荷的引入不能改變原問題的邊界條件。 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件一. . 平面鏡像平面鏡像 R ),(zyxP 圖59 無限大導(dǎo)體平面上的鏡像法 q q h h R 0 z 例5.8 真空中一點電荷q位于一無限大接地導(dǎo)體平面的上方，與平面的距離為h。求z 0區(qū)域的電位分布。 1、導(dǎo)體、導(dǎo)體介質(zhì)（電場）介質(zhì)（電場）用鏡像電荷 代替導(dǎo)體平面上的感應(yīng)電荷(0,0,)qh0z將 區(qū)域換成真空 解： 給出等效問題z 0區(qū)域所滿足的邊界條件保持不變，即0)(U0)0 ,(yxU所以

29、，原問題就化作求解電荷 在無界真空區(qū)域中的問題。區(qū)別僅在于我們只取z 0區(qū)域的解。, q q靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件求解等效問題RqRqU00442222220)()(41hzyxqhzyxq空間任意點的電位由q和 共同產(chǎn)生 q0)(U根據(jù) ，可知R時，U = 0根據(jù) ，可得0)0 ,(yxU222222( , ,0)0qqU x yxyhxyh qqhh,于是原問題的解2222220)(1)(14hzyxhzyxqU0z靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件2322200)(2hyxqhzUDzns qhyxdxdyqhdxdyQsin23222)(2感應(yīng)電荷密度為 總感應(yīng)電荷為 導(dǎo)體表面上的感應(yīng)

30、電荷總感應(yīng)電荷恰好等于鏡像電荷電量。這一結(jié)果是合理的，因為點電荷q所發(fā)出的電力線將全部終止于無限大的接地導(dǎo)體平面上。靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件點電荷對相交接地平面導(dǎo)體邊界的鏡像點電荷對相交接地平面導(dǎo)體邊界的鏡像 xy1h2h2h1hq1qq3qq2qqa. 兩半無限大接地導(dǎo)體平面垂直相交。 要滿足在導(dǎo)體平面上電位為零，則必須引入3個鏡像電荷。如圖所示。b.對于非垂直相交的兩導(dǎo)體平面構(gòu)成的邊界，若夾角為 ，則所有鏡像電荷數(shù)目為 2n - 1個。n xq靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件2、介質(zhì)、介質(zhì)介質(zhì)（電場）介質(zhì)（電場） q h R ),(zyxP 2 o (c) 2 y x q q h R R

31、),(zyxP 1 1 y x o (b) -h 例題5.9 在1區(qū)距離界面h處有個點電荷q 求空間的電位分布q h 1 2 y x o 解：給出等效問題x 0區(qū)域，可化作是 在充滿 介質(zhì)的無界空間中的場問題(b), q q1x 0區(qū)域，可化作是 在充滿 介質(zhì)的無界空間中的場問題(c)q2靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件求解等效問題22222211)()(41zyhxqzyhxqU22222)(41zyhxqU 兩個區(qū)域的電位表達(dá)式為 0201xxUU022011xxxUxU電位的邊界條件是222222222120011()()()xxqqqxhyzxhyzxhyz02220222222)()()

32、( xxzyhxqxzyhxqzyhxqx 將電位表達(dá)式代入得0 x 0 x 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件qq2121qq2122 聯(lián)立求解，得 qqq 211)(1qqq 化簡得 將這兩個鏡像電荷的表達(dá)式代入分區(qū)域的電位表達(dá)式中即可得到整個空間的電位。給出原問題的解靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件3、介質(zhì)、介質(zhì)介質(zhì)（磁場）介質(zhì)（磁場） o 1 1 o I I I II , R R 0R 0R R 1P 2P y y nB nB tB B B h h h )(a )(b 2 2 x x tB h 圖 512 線電流對兩種磁介質(zhì)平面邊界的鏡像 例5.10 求與分界面平行的無限長線電流I，在空間各點的

33、磁場。 解：原問題的等效1區(qū)1IIBBB2IBB2區(qū)靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件求解等效問題設(shè)分界面法線方向 ，切線方向 xn ytsin2sin2001RIRIHtcos2cos201011RIRIBnsin202RIHt cos2022RIBn 則界面兩側(cè)的磁場為利用邊界條件nnBB21ttHH21II1212II1212 將磁場表達(dá)式代入，可解得靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件給出原問題的解)(2)(2121221211RzIRRzRIBBBII)(22121222RzIRBBI 如果區(qū)域1是 的非磁性材料，區(qū)域2是 的理想磁導(dǎo)體 012)(22012RRRRzIB222222220)()(

34、)()(2yhxhxyhxhxyyhxyyhxyxI 則xyhIyBx)(22001在x = 0的分界面上表明：理想磁導(dǎo)體的外側(cè)磁場只有法線分量。這與理想電導(dǎo)體表面只有法線電場分量的情況類似。 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件二. . 球面鏡像球面鏡像 對于分界面是球面，并且源為點源的靜態(tài)場問題，可用球面鏡像。例5.11 在半徑為a的接地導(dǎo)體球外M點有一個點電荷q，球心O與M點的距離為d，如圖所示。求導(dǎo)體球外的電位分布和球面上的感應(yīng)電荷。 qqOr RRddAB( , , )P r M解：設(shè)置鏡像電荷鏡像電荷 應(yīng)在OM連線的球內(nèi)部分上，設(shè) 的位置點與O點的距離為 qdqRqRqU0044cos24

35、cos24220220drdrqrddrq 空間任意點的電位靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件邊界條件 對于球面上的任意點都成立0arU考察 兩點，則有(,),(,0)A raB ra0)(4)(400daqdaq0)(4)(400daqadq由上面兩式解得 dadqdaq2,求出的鏡像電荷及位置是否滿足整個球面的零位邊界條件？0044r aqqURR2222230142cos()2cos 0qa ddaadadaad ,qd ra將 代入表達(dá)式，得 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件 故這兩個點電荷在球外區(qū)域產(chǎn)生的位就是原問題的解，即 RqRqU00442222220142cos()2cosqa drd

36、rdradrad靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件求感應(yīng)電荷面密度2322220)cos2(4)(addaaadqrUDararrsqdaaddadaaadqdsQassin023222)cos2(sin24)( 利用電位可求出導(dǎo)體球面上的感應(yīng)電荷密度與總感應(yīng)電荷 a. 總感應(yīng)電荷恰等于鏡像電荷 b. 感應(yīng)電荷的絕對值小于施感電荷q 表明q發(fā)出的電力線一部分終止于導(dǎo)體球面而另一部分則終止于無窮遠(yuǎn)處。 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件討論：討論：a. 導(dǎo)體球不接地且表面上不帶過剩電荷 b. 導(dǎo)體球不接地，并且給出它的電位為U0 c. 導(dǎo)體內(nèi)挖一個球形空腔，空腔內(nèi) 點有一點電荷 距球心 Oqd此時需要在球心

37、處增加一個鏡像電荷 ，并且 ，新電荷系統(tǒng)由 共同組成。 qqqaq d,q q q此時需要在球心處增加一個鏡像電荷 ，并且 ，新電荷系統(tǒng)由 共同組成。 q,q q q00(4)Uqa此時它的鏡像應(yīng)該放在腔外的M點上，也就是本例問題的反演，鏡像電荷 和 。 )(daqqdad2, q q腔內(nèi)的場分布由 共同確定。靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件例5.12 假設(shè)一個無限大接地導(dǎo)體平面上有一半徑為a的半球形導(dǎo)體凸塊，在凸塊附近有一個點電荷q。求此電荷的鏡像。 解：建立坐標(biāo)系設(shè)電荷q和導(dǎo)體平面法線所在的平面為xz平面。o z a z q d q q(x,0,z) -q(x,0,-z) x a. 電荷q對導(dǎo)

38、體平面xy面的鏡像電荷- q， 坐標(biāo)為 ( x, 0, -z) b. 電荷 q 對球面的鏡像為 qzxaq)(22222zxad求鏡像電荷導(dǎo)體外任意點的場由 四個點電荷共同確定。 ,q qqqc. 鏡像電荷 對xy平面的鏡像為 ， 處在 與O的連線上。qqqq靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件三. . 圓柱面鏡像圓柱面鏡像 r P o a l R R l x d o d M y b b B 例5.13 在半徑為a的無限長接地導(dǎo)體園柱外有一根與圓柱軸線平行的無限長線電荷，線電荷與圓柱軸線的距離為d，如圖所示。求：柱外任意點的電位和柱面上的感應(yīng)電荷。 解：設(shè)置鏡像電荷根據(jù)場的對稱性，可設(shè)鏡像電荷是一條與

39、圓柱軸平行的線電荷，線密度為 ，與軸線的距離為 。 ld求解等效問題空間任意點的電位為 RBORMBUllln2ln200daRadRllln2ln200 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件其中 cos222rdrdRcos222drrdR MBdaOBad代入邊界條件 ，得 0arU)(cos2ln2220adadadUlar0cos2ln2)(220dadaadl上式應(yīng)對任意都成立，即圓柱面上的電位處處為零。因此應(yīng)有 0arU0cos)(2)()(2222lllldaddaddad 由此可以得到上式成立的充分條件是兩個方括號部分都等于零 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件 所以可得到ddll,不合理d

40、adll2,正確解給出原問題的解cos2cos2ln2ln222222200rdrdrdadraRadRUll利用求得的鏡像電荷參數(shù)可以得到柱外任意點電位 )cos2(2)(22220addaaadrUlarsllssinaddaaddzaaddsQa20221022cos22)(柱面上的感應(yīng)電荷面密度和單位長度上的感應(yīng)電荷分別為 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件等量異號平行線電荷的等電位面 l l b b y x 圖516 平行線電荷的等電位線 0ln2lRUCR假定兩線電荷相距為2b，電量分別為 ，則空間任意點電位為,ll分別表示場點與 的距離，,R R,llR Rk可見當(dāng) 取不同值時，就得到

41、不同電位的等位線。 若取兩線電荷連線為x軸，連線的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，2222()()xbykxby2222221211()()kkxbybkk則整理可得 RR( , )P x y靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件 這是一個以常數(shù)k為參量的圓族方程，它表示兩條平行異號線電荷在二維平面內(nèi)的等電位線族。 22 (1)(1) , 0 kbk22(1)kbk等位圓的圓心在半徑為k 1時，等位圓在y軸的右側(cè)，電位為正值；k = 1時，等位線變?yōu)閥軸，電位為零；k = 0時，等位圓縮為(0,b)處的點，電位為；k =時，等位圓縮為(0,b)處的點，電位為。靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件 ),(yxp b

42、-b l l 2R 1R 1o 2o - 圖517 平行雙圓柱的鏡像法 a a d A B o d y x 例5.14 兩無限長平行圓柱導(dǎo)體的半徑都等于a，軸線之間的距離為2d，如圖所示。求：導(dǎo)體柱單位長度的電容。 解：用兩條平行異號線電荷和作為平行帶電圓柱的鏡像。首先來確定線電荷的位置b。22222010()lnln22()llxbyRURxby在右邊圓柱邊界上選取兩個特殊點 ，(, 0), (, 0)A daB daABUU設(shè)y軸上的任意點為零電位參考點，則空間任意點處的電位為則靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件即222200()()lnln22()()lldabdabdabdab解之得22bd

43、a222222220222222220)()(ln4)()(ln2yadxyadxyadxyadxUll所以空間任意點處的電位為可得帶負(fù)電圓柱的電位由此將帶負(fù)電圓柱面的方程 代入上式，222)(dxay222222222201)()()()(ln4dxaadxdxaadxUlaaaddl220ln2 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件同理，可證明帶正電圓柱的電位為 aaddUla2202ln2兩圓柱間的電位差 aaddUUVlaa22021ln兩圓柱單位長度的電容為 aaddVCl2200lnaDCln00ad dD2當(dāng) 時，令 ，則得靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件5.4 復(fù)變函數(shù)法復(fù)變函數(shù)法1、復(fù)位

44、函數(shù)法、復(fù)位函數(shù)法 2、保角變換法、保角變換法 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件5.5 有限差分法有限差分法 1、數(shù)值方法、數(shù)值方法當(dāng)邊界形狀比較復(fù)雜，以至邊界條件無法寫成解析式而只能用一些離散數(shù)值表示時，前面所介紹的各種解法均無法使用，此時可以采用數(shù)值方法數(shù)值方法求解。 有限差分法、矩量法、有限元法、邊界元法2、有限差分法、有限差分法 基本思想： 將滿足拉普拉斯方程或泊松方程的邊值問題轉(zhuǎn)化為一個有限差分方程組來求解。 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件差分方程的推導(dǎo) P 1P 2P 3P 4P 圖625 有限差分法示意圖 x y o h h 討論最簡單的二維問題a. 將待求區(qū)域劃分成許多邊長為h的小正

45、方形網(wǎng)格，如圖所示，網(wǎng)格的交點稱為結(jié)點結(jié)點。 b. 推導(dǎo)結(jié)點P 與周圍四個節(jié)點間的電位關(guān)系3332221! 31! 21! 11hxUhxUhxUUU3332223! 31! 21! 11hxUhxUhxUUU),(1yhxUUP1點),(3yhxUUP3點展成泰勒級數(shù)靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件將U1 U3兩式相加，并略去高階小量，可得222312xUhUUU同理可求出 222422yUhUUU)(2222243214yUxUhUUUUU2222yUxU)(2432141hUUUUU)(414321UUUUU以上兩式相加得對于泊松問題得對于拉普拉斯問題，=0所以P點的差分方程P點的差分格式

46、我們可以由區(qū)域內(nèi)所有結(jié)點的差分方程構(gòu)成一個方程組。如果邊界上的電位值是已知的，則差分方程和未知電位的個數(shù)都等于結(jié)點數(shù)，聯(lián)立求解即可得到各結(jié)點的電位值。 靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件利用迭代法求解差分方程 7U 8U U=0 1U 2U 3U 4U 6U 9U 5U U=0 U=0 U=100V 圖526 正方形截面的導(dǎo)體長槽 a. 劃分網(wǎng)格問題：求如圖正方形導(dǎo)體長槽內(nèi)的電位 把槽截面劃分成若干個邊長相等的小正方格。假設(shè)分成16個，共有9個結(jié)點的電位待定，設(shè)它們的電位分別為U1 U9 。b. 給定初值初值是任意的，最簡單的辦法是令它們均等于零 V0V25)000100(41954321UUUUU

47、Uc. 迭代求解靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件疊代次數(shù)U1U2U3U4U5U6U7U8U90（初始值） 0 0 0 0 0 0 0 0 0125.025.025.00 0 0 0 0 0231.337.531.36.36.36.300033642.2369.412.59.41.61.61.61642.852.642.818.624.918.67.19.77.11742.852.642.818.724.918.77.19.87.11842.852.642.818.725.018.77.19.87.1靜態(tài)場的邊值問題 (2)課件數(shù)值計算中的問題a. 解題精度主要決定于結(jié)點密度 b. 收斂于穩(wěn)定值則決定于疊代次數(shù) 當(dāng)精度要求較高時，隨著節(jié)點數(shù)和疊代次數(shù)的增大，其運算量會迅速增大。 改進(jìn)：異步疊代法、超松馳法