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1、高二數(shù)學暑假自主學習單元檢測十二
綜合試卷（2）
一、填空題：本大題共14題，每小題5分，共70分．
1．設(shè)集合A={-1,1,3},B={}{3},則實數(shù)a的值為 ．
2．在復平面內(nèi),復數(shù)對應(yīng)的點位于第 象限.
3．已知直線：和：，則的充要條件是 ．
4．數(shù)據(jù)的方差為3，則數(shù)據(jù)的方差為 ．
5．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是 ．
6．已知，則= ．
7．設(shè)、、是三個不重合的平面,m、n是不重合的直線,給出下列命題:
①若則; ②若m∥∥則;
③若∥∥則∥; ④若m、n在內(nèi)的射
2、影互相垂直,則n.
其中錯誤命題有 個.
8．若，，則與的夾角為銳角的概率
是 ．
9．設(shè)等比數(shù)列{}的前n項和為則x與y的大小關(guān)系
為 ．
10．若不等式對于任意正整數(shù)n恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是 ．
11．已知，設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為N，
那么M+N ．
12．在棱長為1的正方體中，若點是棱上一點，則滿足的
點的個數(shù)為 ．
13．設(shè)是定義在上的可導函數(shù)，且滿足.則不等式
的解集為 ．
14．若實數(shù)成等差數(shù)列，點在動直線上的射影為，點，
則線段長度的
3、最大值是 ．
二、解答題：本大題共6小題，共90分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(本小題滿分14分)
已知△中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為，且．
（1）求角的大??；
20202016
（2）設(shè)向量，，求當取最大值時，的值．
16．(本小題滿分14分)
如圖，已知BC是半徑為1的半圓O的直徑，A是半圓周上不同于B，C的點，F(xiàn)為的
中點．梯形ACDE中，DE∥AC，且AC＝2DE，平面ACDE⊥平面ABC．求證：
F
E
O
A
C
B
D
（1）平面ABE⊥平面ACDE；
（2）平面OFD∥平面B
4、AE．
17．(本小題滿分14分)
因發(fā)生意外交通事故,一輛貨車上的某種液體泄漏到一漁塘中.為了治污,根據(jù)環(huán)保部門的建
議,現(xiàn)決定在漁塘中投放一種可與污染液體發(fā)生化學反應(yīng)的藥劑.已知每投放,且個單位的藥劑,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時間(天)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中.若多次投放,則某一時刻水中的藥劑濃度為每次投放的藥劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗,當水中藥劑的濃度不低于4(克/升)時,它才能起到有效治污的作用.
（Ⅰ）若一次投放4個單位的藥劑,則有效治污時間可達幾天?
（Ⅱ）若第一次投放2個單位的藥劑,6天后再投放個單位的藥劑,要
5、使接下來的4天中能
夠持續(xù)有效治污,試求的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù):取1.4).
18．(本小題滿分16分)
已知橢圓E：的左焦點為F，左準線與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標原點O，設(shè)G是圓C上任意一點.
（1）求圓C的方程；
（2）若直線FG與直線交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（3）在平面上是否存在一點P，使得？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由.
19．(本小題滿分16分)
設(shè)數(shù)列的前項的和為，已知.
⑴求,及；
⑵設(shè)若對一切均有，求實數(shù)的取值范圍.
6、
20．(本小題滿分16分)
已知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
(1)求與的表達式；
(2)設(shè)，試問有幾個零點，并說明理由？
高二數(shù)學暑假自主學習單元檢測十二參考答案
一、填空題：
1．答案：1解析：∵ ∴a+2=3, ∴a=1.
2．答案：一 解析：i,所以在復平面內(nèi),復數(shù)z對應(yīng)的點位于第一象限.
3．答案：解析：.
4．答案：18解析：數(shù)據(jù)的方差為
5．答案：解析：由題知，，
若，則9+，即，解得.
6．答案：解析：依題意得，
又，
則.
7．答案：3 解析：①錯,此時與也可能相交或∥;②錯
7、,如直線m,n均平行于兩平面的交線,此時m∥n;③正確;面面平行具有傳遞性;④錯;通過空間想象兩直線的位置關(guān)系不確定.
8．答案：解析：因為與的夾角為銳角，所以滿足條件的有所以
9．答案：x=y解析：由題意,得成等比數(shù)列,所以展開整理,得即x=y.
10．答案：解析：由
當n為偶數(shù)時;
當n為奇數(shù)時-2).
綜上,當不等式恒成立時,a的取值范圍是.
11．答案：解析：又為奇函數(shù)，所以.
12．答案：6解析：點在以為焦點的橢圓上，分別在、、
、、、上. 或者，若在上，設(shè),
有.
故上有一點（的中點）滿足條件.
同理在、、、、上各有一點滿足條件.
又若點在上上
8、，則.
故上不存在滿足條件的點，同理上不存在滿足條件的點.
13．答案：解析：記，由得，即在上遞增，由得，解得.
14．答案： 解析：由題可知動直線過定點．設(shè)點，由可求得點的軌跡方程為圓，故線段長度的最大值為
二、解答題：
15. 解：（1）由題意， ……………………… 2分
所以. ……………………… 3分
因為，所以.
所以. …………………………………… 5分
因為，所以. ………………………………… 6分
（2）因為 …………………………… 8分
所以………… 10分
所以當時，取最大值
此時（），于是 ………………………… 12分
所
9、以 ………………………………………… 14分
16.證明：（1）因為平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，ABì平面ABC，
又在半圓O中，AB⊥AC．
所以AB⊥平面ACDE．
因為ABì平面ABE，
所以平面ABE⊥平面ACDE． ………………… 6分
（2）設(shè)線段AC與OF交于點M，連結(jié)MD．
F
E
O
A
C
B
D
M
因為F為的中點，所以O(shè)F⊥AC，M為AC的中點．
因為AB⊥AC，OF⊥AC，所以O(shè)F∥AB．
又OF平面BAE，ABì平面ABE，
10、所以O(shè)F∥平面BAE． ………………… 8分
因為M為AC的中點，且DE∥AC，AC＝2DE，
所以DE∥AM，且DE＝AM．
所以四邊形AMDE為平行四邊形，所以DM∥AE．
又DM平面BAE，AEì平面ABE，
所以DM∥平面BAE． ………………… 11分
又OF∥平面BAE，MD∩OF＝M，MDì平面OFD，OFì平面OFD，
所以平面OFD∥平面BAE． ………………… 14分
17．解：（Ⅰ）因為,所以… …………1分
則當時,由,解得,所以此時……… … ……
11、3分
當時,由,解得,所以此時………… ………5分
綜合,得,若一次投放4個單位的制劑,則有效治污時間可達8天…… ……… 6分
（Ⅱ）當時,……… ………9分
==,因為,而,
所以,故當且僅當時,
有最小值為 ………………………12分
令,解得,
所以的最小值為 ………………14分
18.解：（1）由橢圓E：，得：，，，
又圓C過原點，所以圓C的方程為．………………………4分
（2）由題意，得，代入，得，
所以的斜率為，的方程為， ……=…………8分
（注意：若點G或FG方程只寫一種情況扣1分）
所以到的距離為，直線被圓C截得弦長為．
故直線被圓C截得弦
12、長為7．………………………………………………10分
（3）設(shè)，，則由，得，
整理得①，…………………………12分
又在圓C：上，所以②，
②代入①得， …………………………14分
又由為圓C 上任意一點可知，解得．
所以在平面上存在一點P，其坐標為． …………………………16分
19. 解：依題意，時，;時，.………………2分
因為，
時
所以………………5分
上式對也成立，所以………………6分
（2）當時，,當時，,
所以………………8分
，，數(shù)列是等比數(shù)列，
則.………………12分
因為隨的增大而增大，所以，
由得，所以或………………16分
20.解：(1)在恒成立………………2分
在恒成立…………………4分
所以………………………………………………………………6分
(2)記
所以，………………………………………………8分
令，
所以
令，因為，……………………10分
所以有唯一解，且當時，，遞增，
當時，，遞減，…………………………12分
是的唯一最小值點，且時，
故有且僅有一個零點. …………………………16分
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