2020屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5-5 數(shù)列的綜合應(yīng)用知能訓(xùn)練 文 （廣東專用）

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1、課時(shí)知能訓(xùn)練 一、選擇題 1．已知實(shí)數(shù)等比數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項(xiàng)和，若a2·a3＝2a1，且a4與2a7的等差中項(xiàng)為，則S5等于(　　) A．35　　　　　B．33　　　　　C．31　　　　　D．29 2．某人為了觀看2020年南非足球世界杯，從2020年起，每年的5月1日到銀行存入a元的定期儲(chǔ)蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年的定期，到2020年的5月1日將所有存款及利息全部取出，則可取出錢(元)的總數(shù)為(　　) A．a(chǎn)(1＋p)4 B．a(chǎn)(1＋p)5 C.[(1＋p)4－(1＋p)] D.[(1＋p)5－(1＋p)] 3．(

2、2020·中山質(zhì)檢)已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列{an}，滿足2a3－a＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8＝(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝log2(n∈N*)，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn，則使Sn＜－5成立的自然數(shù)n(　　) A．有最小值63 B．有最大值63 C．有最小值31 D．有最大值31 5．(2020·清遠(yuǎn)調(diào)研)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1，a2，a3，a1成等差數(shù)列，則＝(　　) A. B. C. D. 二、填空題 6．?dāng)?shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3

3、，a7為等比數(shù)列{bn}的連續(xù)三項(xiàng)，則數(shù)列{bn}的公比為________． 7．設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若(n∈N*)是非零常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“和等比數(shù)列”．若數(shù)列{2bn}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，則數(shù)列{bn}________(填“是”或“不是”)“和等比數(shù)列”． 8．(2020·濰坊模擬)如果一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”．則介于1到200之間的所有“神秘?cái)?shù)”之和為________． 三、解答題 9．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且3an＋1＋2Sn＝3(n為正整數(shù))． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

4、 (2)記S＝，若對(duì)任意正整數(shù)n，kS＜Sn恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值． 10．(2020·湘潭模擬)國(guó)家助學(xué)貸款是由財(cái)政貼息的信用貸款，旨在幫助高校家庭經(jīng)濟(jì)困難學(xué)生支付在校學(xué)習(xí)期間所需的學(xué)費(fèi)、住宿費(fèi)及生活費(fèi)．每一年度申請(qǐng)總額不超過(guò)6 000元．某大學(xué)2020屆畢業(yè)生李霄在本科期間共申請(qǐng)了24 000元助學(xué)貸款，并承諾在畢業(yè)后3年內(nèi)(按36個(gè)月計(jì))全部還清． 簽約的單位提供的工資標(biāo)準(zhǔn)為第一年內(nèi)每月1 500元，第13個(gè)月開始，每月工資比前一個(gè)月增加5%直到4 000元．李霄同學(xué)計(jì)劃前12個(gè)月每個(gè)月還款額為500元，第13個(gè)月開始，每月還款額比前一月多x元． (1)若李霄恰好在第36個(gè)月(即

5、畢業(yè)后三年)還清貸款，求x的值； (2)當(dāng)x＝50時(shí)，李霄同學(xué)將在第幾個(gè)月還清最后一筆貸款？他還清貸款的那一個(gè)月的工資余額是多少？ (參考數(shù)據(jù)：1.0518＝2.406,1.0519＝2.526,1.0520＝2.653,1.0521＝2.786) 11．(2020·肇慶調(diào)研)已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，且滿足a1＋a2＋a3＝39，a2＋6是a1和a3的等差中項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求使Sn＞120成立的最小n值． 答案及解析 1．【解析】　設(shè)等比數(shù)列的公比為q， 則由a2·a3＝2a1得aq3＝2a1， ∴a

6、1q3＝2，又a4與2a7的等差中項(xiàng)為， ∴a4＋2a7＝， ∴a1q3＋2a1q6＝， 由得 ∴S5＝＝31. 【答案】　C 2．【解析】　依題意，可取出錢的總數(shù)為 a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p) ＝a·＝[(1＋p)5－(1＋p)]． 【答案】　D 3．【解析】　∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列， ∴a3＋a11＝2a7， 由2a3－a＋2a11＝0得4a7－a＝0， 又an≠0，∴a7＝4， ∴b6b8＝b＝42＝16. 【答案】　D 4．【解析】　∵an＝log2＝log2(n＋1)－log2(n＋2)， ∴Sn＝a1＋a2＋…＋

7、an ＝log22－log23＋log23－log24＋…＋log2(n＋1)－log2(n＋2)＝1－log2(n＋2)， 由Sn＜－5得log2(n＋2)＞6，即n＋2＞64， ∴n＞62， ∴n有最小值63. 【答案】　A 5．【解析】　由題意知，a3＝a2＋a1， ∴a1q2＝a1q＋a1， ∴q2－q－1＝0， 又q＞0，∴q＝， ∴＝＝＝＝. 【答案】　B 6．【解析】　a＝a1·a7，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋6d)， ∴a1＝2d， ∴等比數(shù)列{bn}的公比q＝＝＝2. 【答案】　2 7．【解析】　數(shù)列{2bn}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比

8、數(shù)列， 所以2bn＝2·4n－1＝22n－1，bn＝2n－1. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn＝n2，T2n＝4n2， 所以＝4，因此數(shù)列{bn}是“和等比數(shù)列”． 【答案】　是 8．【解析】　設(shè)“神秘?cái)?shù)”為x，則x＝(2n＋2)2－(2n)2＝8n＋4(n∈Z)，由1≤x≤200及n∈Z知，0≤n≤24，所以所有這樣的“神秘?cái)?shù)”之和為＝2 500. 【答案】　2 500 9．【解】　(1)∵3an＋1＋2Sn＝3，① 當(dāng)n≥2時(shí)，3an＋2Sn－1＝3.② 由①－②得3an＋1－3an＋2an＝0， ∴＝(n≥2)， 又∵a1＝1,3a2＋2a1＝3，解得a2＝

9、， ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列． ∴an＝a1qn－1＝()n－1(n∈N*)． (2)由(1)知，Sn＝＝＝[1－()n]． 又對(duì)?n∈N*恒有k≤[1－()n]，得k≤1－()n. ∵數(shù)列{1－()n}單調(diào)遞增， ∴當(dāng)n＝1時(shí)，數(shù)列中的最小項(xiàng)為，∴必有k≤，即實(shí)數(shù)k的最大值為. 10．【解】　(1)依題意，從第13個(gè)月開始，每個(gè)月的還款額為an構(gòu)成等差數(shù)列，其中a1＝500＋x，公差為x.從而到第36個(gè)月，李霄共還款12×500＋24a1＋·x. 令12×500＋(500＋x)×24＋·x＝24 000，解之得x＝20(元)， 據(jù)題意，驗(yàn)證可行．即要使在三

10、年全部還清， 第13個(gè)月起每個(gè)月必須比上一個(gè)月多還20元； (2)設(shè)李霄第n個(gè)月還清，則應(yīng)有 12×500＋(500＋50)×(n－12)＋·50≥24 000， 整理可得n2－3n－828≥0，解之得n≥＞30， 取n＝31，即李霄工作31個(gè)月就可以還清貸款， 這個(gè)月李霄的還款額為 24 000－[12×500＋(500＋50)×(30－12)＋·50]＝450元， 第31個(gè)月李霄的工資為1 500×1.0519＝1 500×2.526＝3789元， 因此，李霄的剩余工資為3789－450＝3339. 11．【解】　(1)由題知2(a2＋6)＝a1＋a3， 從而a2＋2(a2＋6)＝39，所以a2＝9， 30＝＋9q?q＝3或(舍)，所以an＝3n. (2)bn＝an－1log3an＝3n－1·n，(n≥2)， 所以Sn＝1＋2·31＋3·32＋…＋n·3n－1① 3Sn＝31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n② ②－①得：2Sn＝－1－31－32－…－3n－1＋n·3n ＝－＋n·3n 所以2Sn＝n·3n－＋＝(n－)·3n＋， 由Sn＞120，則(n－)3n＋＞240， 所以n≥4，最小n值為4.