《2020高考數(shù)學(xué) 專題練習(xí) 二十七 坐標(biāo)系與參數(shù)方程(選修4-4) 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020高考數(shù)學(xué) 專題練習(xí) 二十七 坐標(biāo)系與參數(shù)方程(選修4-4) 文(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、高考專題訓(xùn)練二十七 坐標(biāo)系與參數(shù)方程(選修4-4)
班級_______ 姓名_______ 時間:45分鐘 分值:100分 總得分_______
一、填空題(每小題6分,共30分)
1.(2020·陜西)直角坐標(biāo)系xOy中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,設(shè)點A,B分別在曲線C1:(θ為參數(shù))和曲線C2:ρ=1上,則|AB|的最小值為________.
解析:C1:(x-3)2+(y-4)2=1
C2:x2+y2=1.
最小值為|C1C2|-2=5-2=3.
答案:3
2.(2020·湖北)如圖,直角坐標(biāo)系xOy所在的平面為α,直角坐標(biāo)系x′Oy′(其中y′與y軸重
2、合)所在平面為β,∠xOx′=45°.
(1)已知平面β內(nèi)有一點P′(2,2),則點P′在平面α內(nèi)的射影P的坐標(biāo)為________;
(2)已知平面β內(nèi)的曲線C′的方程是(x′-)2+2y′2-2=0,則曲線C′在平面α內(nèi)的射影C的方程是________.
解析:(1)如圖P′(2,2)
在α上坐標(biāo)P(x,y)
x=2cos45°=2×=2,y=2,∴P(2,2).
(2)β內(nèi)曲線C′的方程+y′2=1
同上解法.中心(1,0)
即投影后變成圓(x-1)2+y2=1.
答案:(1)P(2,2) (2)(x-1)2+y2=1
3.(2020·深圳卷)已知點P是曲線C:
3、(θ為參數(shù),0≤θ≤π)上一點,O為原點.若直線OP的傾斜角為,則點P坐標(biāo)為________.
解析:由(0≤θ≤π)可得+=1(0≤y≤4),由于直線OP的方程為y=x,那么由
?.
答案:
4.(2020·佛山卷)在極坐標(biāo)系中,和極軸垂直且相交的直線l與圓ρ=4相交于A、B兩點,若|AB|=4,則直線l的極坐標(biāo)方程為________.
解析:設(shè)極點為O,由該圓的極坐標(biāo)方程為ρ=4,知該圓的半徑為4,又直線l被該圓截得的弦長|AB|為4,所以∠AOB=60°,∴極點到直線l的距離為d=4×cos30°=2,所以該直線的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=2.
答案:ρcosθ=2
4、5.在極坐標(biāo)系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲線ρ=2sinθ與ρcosθ=-1的交點的極坐標(biāo)為________.
分析:本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的互化.
解析:由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,其普通方程為x2+y2=2y,ρcosθ=-1的普通方程為x=-1,聯(lián)立,解得,點(-1,1)的極坐標(biāo)為.
答案:
二、解答題(每小題7分,共70分)
6.已知曲線C1:(θ為參數(shù)),
曲線C2:(t為參數(shù)).
(1)指出C1,C2各是什么曲線,并說明C1與C2公共點的個數(shù);
(2)若把C1,C2上各點的縱坐標(biāo)都壓縮為原來的一半,分別得到曲線C1′,C2′.寫出C1′,C
5、2′的參數(shù)方程.C1′與C2′公共點的個數(shù)和C1與C2公共點的個數(shù)是否相同?說明你的理由.
解:(1)C1是圓,C2是直線.C1的普通方程為x2+y2=1,圓心為(0,0),半徑r=1.
C2的普通方程為x-y+=0.
因為圓心(0,0)到直線x-y+=0的距離為1,所以C2與C1只有一個公共點.
(2)壓縮后的參數(shù)方程分別為
C1′:(θ為參數(shù)),
C2′:(t為參數(shù)).
化為普通方程分別為C1′:x2+4y2=1,C2′:y=x+,
聯(lián)立消元得2x2+2x+1=0,
其判別式Δ=(2)2-4×2×1=0,
所以壓縮后的直線C2′與橢圓C1′仍然只有一個公共點,和C1與C
6、2公共點的個數(shù)相同.
7.已知直線l:與拋物線y=x2交于A,B兩點,求線段AB的長.
解:把代入y=x2,得t2+t-2=0,
∴t1+t2=-,t1t2=-2.由參數(shù)的幾何意義,得
|AB|==.
8.(2020·福建)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程為x-y+4=0,曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).
(1)已知在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,點P的極坐標(biāo)為,判斷點P與直線l的位置關(guān)系;
(2)設(shè)點Q是曲線C上一個動點,求它到直線l的距離的最小值.
解:(1)把極坐標(biāo)系下的點P化為直角坐標(biāo)系,得P(0,4).
7、
因為點P的直角坐標(biāo)(0,4)滿足直線l的方程x-y+4=0,所以點P在直線l上.
(2)因為點Q在曲線C上,故可設(shè)點Q的坐標(biāo)為(cosα,sinα)從而點Q到直線l的距離為:
d==
=cos+2,
由此得,當(dāng)cos=-1時,d取得最小值,且最小值為.
9.已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcos+6=0,求:
(1)曲線C的普通方程;
(2)設(shè)點P(x,y)是曲線C上任意一點,求xy的最大值和最小值.
解:(1)原方程可化為ρ2-4ρ+6=0,即ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+6=0.∵∴x2+y2-4x-4y+6=0,即(x-2)2+(y-2)2=2,此方程即為所求
8、普通方程.
(2)設(shè)=cosθ,=sinθ,則xy=(2+cosθ)(2+sinθ)=4+2(cosθ+sinθ)+2cosθsinθ.設(shè)t=cosθ+sinθ,則t=sin,∴t∈[-,],t2=1+2cosθsinθ,從而2cosθsinθ=t2-1.
∴xy=3+2t+t2.當(dāng)t=-時,xy取得最小值1;當(dāng)t=時,xy取得最大值9.
10.在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin=.圓O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù),r>0).
(1)求圓心的極坐標(biāo);
(2)當(dāng)r為何值時,圓O上的點到直線l的最大距離為3?
解:(1)圓心坐標(biāo)為
9、,
設(shè)圓心的極坐標(biāo)為(ρ,θ),
則ρ= =1,
所以圓心的極坐標(biāo)為.
(2)直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=,
∴直線l的普通方程為x+y-1=0,
∴圓上的點到直線l的距離
d=,
即d=.
∴圓上的點到直線l的最大距離為=3,
∴r=.
11.(2020·哈師大附中、東北師大附中、遼寧省實驗中學(xué)第一次聯(lián)考)已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合,極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合,且兩個坐標(biāo)系的單位長度相同,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ.
(1)若直線l的斜率為-1,求直線l與曲線C交點的極坐標(biāo);
(2)若直線l與曲線C的
10、相交弦長為2,求直線l的參數(shù)方程.
解:(1)直線l的普通方程為y-1=-1(x+1),即
y=-x, ①
曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4x=0. ②
①代入②得:2x2-4x=0,解得x=0或x=2.
∴A(0,0),B(2,-2),極坐標(biāo)為A(0,0),B.
(2)由題意可得圓心C(2,0)到相交弦的距離為=1,設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y-1=k(x+1),則y=kx+k+1,
∴=1,∴k=0或k=-.
∴l(xiāng):(t為參數(shù))或(t為參數(shù)).
12.已知A、B是橢圓+=1與x軸、y軸的正半軸的兩交點
11、,在第一象限的橢圓弧上求一點P,使四邊形OAPB的面積最大.
解:設(shè)點P的坐標(biāo)為(3cosθ,2sinθ),其中0<θ<,
∵S四邊形AOBP=S△APB+S△AOB,其中S△AOB為定值,故只需S△APB
最大即可.因為AB為定長,故只需點P到AB的距離最大即可.AB的方程為2x+3y-6=0,點P到AB的距離為d==·,∴θ=時,d取最大值,從而S△APB取最大值,這時點P的坐標(biāo)為.
13.已知圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),P是圓與y軸的交點,若以圓心C為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過點P的圓的切線的極坐標(biāo)方程.
解:依題意,圓C:是以(1,0)為圓心,2為半徑的圓,
12、與y軸交于(0,±),如圖所示.設(shè)R是切線上一點,∵PR為圓C的切線,∴△CPR為直角三角形,∴CR·cos∠RCP=CP,又∠PCO=,∴極坐標(biāo)方程為ρcos=2;若取圓與y軸負(fù)軸交點,則極坐標(biāo)方程為ρcos=2.
14.(2020·遼寧)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),曲線C2的參數(shù)方程為(a>b>0,φ為參數(shù)).在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線l:θ=α與C1,C2各有一個交點.當(dāng)α=0時,這兩個交點間的距離為2,當(dāng)α=時,這兩個交點重合.
(1)分別說明C1,C1是什么曲線,并求出a與b的值;
(2)設(shè)當(dāng)α=時,l與C1,C2
13、的交點分別為A1,B1,當(dāng)α=-時,l與C1,C2的交點分別為A2,B2,求四邊形A1A2B2B1的面積.
解:(1)C1是圓,C2是橢圓.
當(dāng)α=0時,射線l與C1,C2交點的直角坐標(biāo)分別為(1,0),(a,0),因為這兩點間的距離為2,所以a=3.
當(dāng)α=時,射線l與C1,C2交點的直角坐標(biāo)分別為(0,1),(0,b),因為這兩點重合,所以b=1.
(2)C1,C2的普通方程分別為x2+y2=1和+y2=1,
當(dāng)α=時,射線l與C1交點A1的橫坐標(biāo)為x=,與C2交點B1的橫坐標(biāo)為x′=.
當(dāng)α=-時,射線l與C1,C2的兩個交點A2,B2分別與A1,B1關(guān)于x軸對稱,因此四邊形
14、A1A2B2B1為梯形.
故四邊形A1A2B2B1的面積為
=.
15.(2020·課標(biāo))在直線坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),M是C1上的動點,P點滿足=2,P點的軌跡為曲線C2.
(1)求C2的方程;
(2)在以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線θ=與C1的異于極點的交點為A,與C2的異于極點的交點為B,求|AB|.
解:(1)設(shè)P(x,y),則由條件知M,由于M點在C1上,所以
即
從而C2的參數(shù)方程為
(α為參數(shù))
(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ.
射線θ=與C1的交點A的極徑為ρ1=4sin,
射線θ=與C2的交點B的極徑為ρ2=8sin.
所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2.