2020版高考數(shù)學(xué) 3年高考2年模擬 第7章 數(shù)列

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1、第六章 數(shù)列第一部分 三年高考體題薈萃2020年高考題 一、選擇題 1.(天津理4)已知為等差數(shù)列,其公差為-2,且是與的等比中項(xiàng),為 的前項(xiàng)和,,則的值為 A.-110    B.-90    C.90   D.110 【答案】D 2.(四川理8)數(shù)列的首項(xiàng)為,為等差數(shù)列且.若則,,則 A.0 B.3 C.8 D.11 【答案】B 【解析】由已知知由疊加法 3.(四川理11)已知定義在上的函數(shù)滿足,當(dāng)時(shí),.設(shè)在上的最大值為,且的前項(xiàng)和為,則 A.3 B.

2、 C.2 D. 【答案】D 【解析】由題意,在上, 4.(上海理18)設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列,是邊長(zhǎng)為的矩形面積(),則為等比數(shù)列的充要條件為 A.是等比數(shù)列。 B.或是等比數(shù)列。 C.和均是等比數(shù)列。 D.和均是等比數(shù)列,且公比相同。 【答案】D 5.(全國(guó)大綱理4)設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,公差,,則 A.8 B.7 C.6 D.5 【答案】D 6.(江西理5) 已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和滿足:,且=1.那么= A.1 B.9 C.10 D.55 【答案】A 7.(福

3、建理10)已知函數(shù)f(x)=e+x,對(duì)于曲線y=f(x)上橫坐標(biāo)成等差數(shù)列的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,給出以下判斷: ①△ABC一定是鈍角三角形 ②△ABC可能是直角三角形 ③△ABC可能是等腰三角形 ④△ABC不可能是等腰三角形 其中,正確的判斷是 A.①③ B.①④ C. ②③ D.②④ 【答案】B 二、填空題 8.(湖南理12)設(shè)是等差數(shù)列,的前項(xiàng)和,且, 則= . 【答案】25 9.(重慶理11)在等差數(shù)列中,,則__________ 【答案】74 10.(北京理11)在等比數(shù)列{an}中,a1=,a4=-4,則公

4、比q=______________;____________?!? 【答案】 11.(安徽理14)已知的一個(gè)內(nèi)角為120o,并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的 等差數(shù)列,則的面積為_______________. 【答案】 12.(湖北理13)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共為3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5節(jié)的容積為 升。 【答案】 13.(廣東理11)等差數(shù)列前9項(xiàng)的和等于前4項(xiàng)的和.若,則k=____________. 【答案】10 14.(江蘇13)設(shè),其中成公比為q的等比數(shù)列,成公差為1的等

5、差數(shù)列,則q的最小值是________ 【答案】 三、解答題 15.(江蘇20)設(shè)M部分為正整數(shù)組成的集合,數(shù)列,前n項(xiàng)和為,已知對(duì)任意整數(shù)kM,當(dāng)整數(shù)都成立 (1)設(shè)的值; (2)設(shè)的通項(xiàng)公式 本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查考生分析探究及邏輯推理的能力,滿分16分。 解:(1)由題設(shè)知,當(dāng), 即, 從而 所以的值為8。 (2)由題設(shè)知,當(dāng) , 兩式相減得 所以當(dāng)成等差數(shù)列,且也成等差數(shù) 列 從而當(dāng)時(shí), (*) 且, 即成等差數(shù)列, 從而,

6、 故由(*)式知 當(dāng)時(shí),設(shè) 當(dāng),從而由(*)式知 故 從而,于是 因此,對(duì)任意都成立,又由可知, 解得 因此,數(shù)列為等差數(shù)列,由 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 16.(安徽理18) 在數(shù)1和100之間插入個(gè)實(shí)數(shù),使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列,將這個(gè)數(shù)的乘積記作,再令. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 本題考查等比和等差數(shù)列,指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,兩角差的正切公式等基本知識(shí),考查靈活運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力,綜合運(yùn)算能力和創(chuàng)新思維能力. 解:(I)設(shè)構(gòu)成等比數(shù)列,其中則 ① ② ①×②并利用 (II)由題意和

7、(I)中計(jì)算結(jié)果,知 另一方面,利用 得 所以 17.(北京理20) 若數(shù)列滿足,數(shù)列為數(shù)列,記=. (Ⅰ)寫出一個(gè)滿足,且〉0的數(shù)列; (Ⅱ)若,n=2000,證明:E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2020; (Ⅲ)對(duì)任意給定的整數(shù)n(n≥2),是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列,使得=0?如果存在,寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列;如果不存在,說明理由。 解:(Ⅰ)0,1,2,1,0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。 (答案不唯一,0,1,0,1,0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5) (Ⅱ)必要性:因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列, 所以. 所以A5是首項(xiàng)為12,公差為1的

8、等差數(shù)列. 所以a2000=12+(2000—1)×1=2020. 充分性,由于a2000—a1000≤1, a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999,即a2000≤a1+1999. 又因?yàn)閍1=12,a2000=2020, 所以a2000=a1+1999. 故是遞增數(shù)列. 綜上,結(jié)論得證。 (Ⅲ)令 因?yàn)? …… 所以 因?yàn)? 所以為偶數(shù), 所以要使為偶數(shù), 即4整除. 當(dāng) 時(shí),有 當(dāng)?shù)捻?xiàng)滿足, 當(dāng)不能被4整除,此時(shí)不存在E數(shù)列An, 使得 18.(福建理16) 已知等比

9、數(shù)列{an}的公比q=3,前3項(xiàng)和S3=。 (I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (II)若函數(shù)在處取得最大值,且最大值為a3,求函數(shù)f(x)的解析式。 本小題主要考查等比數(shù)列、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,滿分13分。 解:(I)由 解得 所以 (II)由(I)可知 因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為3,所以A=3。 因?yàn)楫?dāng)時(shí)取得最大值, 所以 又 所以函數(shù)的解析式為 19.(廣東理20) 設(shè)b>0,數(shù)列滿足a1=b,. (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n, 解: (1)由 令, 當(dāng)

10、 ①當(dāng)時(shí), ②當(dāng) (2)當(dāng)時(shí),(欲證) , 當(dāng) 綜上所述 20.(湖北理19) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足:,N*,. (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若存在N*,使得,,成等差數(shù)列,是判斷:對(duì)于任意的N*,且,,,是否成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論. 本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查推理論證能力,以及特殊與一般的思想。(滿分13分) 解:(I)由已知可得,兩式相減可得 即 又所以r=0時(shí), 數(shù)列為:a,0,…,0,…; 當(dāng)時(shí),由已知(),

11、于是由可得, 成等比數(shù)列, , 綜上,數(shù)列的通項(xiàng)公式為 (II)對(duì)于任意的,且成等差數(shù)列,證明如下: 當(dāng)r=0時(shí),由(I)知, 對(duì)于任意的,且成等差數(shù)列, 當(dāng),時(shí), 若存在,使得成等差數(shù)列, 則, 由(I)知,的公比,于是 對(duì)于任意的,且 成等差數(shù)列, 綜上,對(duì)于任意的,且成等差數(shù)列。 21.(遼寧理17) 已知等差數(shù)列{an}滿足a2=0,a6+a8=-10 (I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (II)求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 解:

12、 (I)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由已知條件可得 解得 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 ………………5分 (II)設(shè)數(shù)列,即, 所以,當(dāng)時(shí), 所以 綜上,數(shù)列 ………………12分 22.(全國(guó)大綱理20) 設(shè)數(shù)列滿足且 (Ⅰ)求的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)設(shè) 解: (I)由題設(shè) 即是公差為1的等差數(shù)列。 又 所以 (II)由(I)得 , …………8分 …………12分 23.(全國(guó)新課標(biāo)理17) 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且. (I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

13、 (II)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 解: (Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由得所以. 由條件可知c>0,故. 由得,所以. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)式為an=. (Ⅱ?) 故 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為 24.(山東理20) 等比數(shù)列中,分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù),且中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 (Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若數(shù)列滿足:,求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 解:(I)當(dāng)時(shí),不合題意; 當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),符合題意; 當(dāng)時(shí),不合

14、題意。 因此 所以公式q=3, 故 (II)因?yàn)? 所以 所以 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí), 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), 綜上所述, 25.(上海理22) 已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為,(),將集合 中的元素從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列 。 (1)求; (2)求證:在數(shù)列中.但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為; (3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 解:⑴ ; ⑵ ① 任意,設(shè),則,即 ② 假設(shè)(矛盾),∴ ∴ 在數(shù)列中.但不在數(shù)列中的項(xiàng)恰為。 ⑶ , ,, ∵ ∴ 當(dāng)時(shí),依次有,…… ∴ 。 26.(四川理20) 設(shè)為非零實(shí)數(shù), (1)寫出并

15、判斷是否為等比數(shù)列。若是,給出證明;若不是,說明理由; (II)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 解析:(1) 因?yàn)闉槌?shù),所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列。 (2) (2)(1) 27.(天津理20) 已知數(shù)列與滿足:, ,且 . (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)設(shè),證明:是等比數(shù)列; (III)設(shè)證明:. 本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法.滿分14分. (I)解:由 可得 又 (II)證明:對(duì)任意 ① ② ③ ②—③,得 ④ 將④代

16、入①,可得 即 又 因此是等比數(shù)列. (III)證明:由(II)可得, 于是,對(duì)任意,有 將以上各式相加,得 即, 此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由④式得 從而 所以,對(duì)任意, 對(duì)于n=1,不等式顯然成立. 所以,對(duì)任意 28.(浙江理19)已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為a(),設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,成等比數(shù)列 (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及 (2)記,,當(dāng)時(shí),試比較與的大?。? 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、求和公式、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查分類討論思想。滿分14分。 (I)解:設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由

17、 得 因?yàn)椋运? (II)解:因?yàn)?,所? 因?yàn)?,所? 當(dāng), 即 所以,當(dāng) 當(dāng) 29.(重慶理21) 設(shè)實(shí)數(shù)數(shù)列的前n項(xiàng)和,滿足 (I)若成等比數(shù)列,求和; (II)求證:對(duì) (I)解:由題意, 由S2是等比中項(xiàng)知 由解得 (II)證法一:由題設(shè)條件有 故 從而對(duì)有 ① 因,由①得 要證,由①只要證 即證 此式明顯成立. 因此 最后證若不然 又因矛盾. 因此 證法二:由題設(shè)知, 故方程(可能相同). 因此判別式 又由 因此, 解得 因此 由,得 因此

18、 2020年高考題 一、選擇題 1.(2020浙江理)設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和,,則 (A)11 (B)5 (C) (D) 解析:通過,設(shè)公比為,將該式轉(zhuǎn)化為,解得=-2,帶入所求式可知答案選D,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,屬中檔題 2.(2020全國(guó)卷2理)如果等差數(shù)列中,,那么 (A)14 (B)21 (C)28 (D)35 【答案】C 【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì). 【解析】 3.(2020遼寧文)設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,,則公

19、比 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【答案】 B 解析:選B. 兩式相減得, ,. 4.(2020遼寧理)設(shè){an}是有正數(shù)組成的等比數(shù)列,為其前n項(xiàng)和。已知a2a4=1, ,則 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【命題立意】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式,考查了同學(xué)們解決問題的能力。 【解析】由a2a4=1可得,因此,又因?yàn)?,?lián)力兩式有,所以q=,所以,故選B。 5.(2020全國(guó)卷2文)如果等差數(shù)列中,++=12,那么++???…+= (A)14 (B) 21

20、 (C) 28 (D) 35 【答案】C 【解析】本題考查了數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)。 ∵ ,∴ 6.(2020安徽文)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和,則的值為 (A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64 【答案】 A 【解析】. 【方法技巧】直接根據(jù)即可得出結(jié)論. 7.(2020浙江文)設(shè)為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,則 (A)-11 (B)-8 (C)5 (D)11 解析:通過,設(shè)公比為,將該式轉(zhuǎn)化為,解得=-2,帶入所求式可知答案選A,本題主要考察了本題主要考察了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前

21、n項(xiàng)和公式 8.(2020重慶理)在等比數(shù)列中, ,則公比q的值為 A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】A 解析: 9.(2020廣東理)已知為等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和。若, 且與2的等差中項(xiàng)為,則= A.35 B.33 C.31 D.29 【答案】C 解析:設(shè){}的公比為,則由等比數(shù)列的性質(zhì)知,,即。由與2的等差中項(xiàng)為知,,即. ∴,即.,即. 10.(2020廣東文) 11.(2020山東理) 12.(2020重慶文)(2)在等差數(shù)列中,,

22、則的值為 (A)5 (B)6 (C)8 (D)10 【答案】 A 解析:由角標(biāo)性質(zhì)得,所以=5 13.(2020江西理)5.等比數(shù)列中,,=4,函數(shù) ,則( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,重點(diǎn)考查學(xué)生創(chuàng)新意識(shí),綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法??紤]到求導(dǎo)中,含有x項(xiàng)均取0,則只與函數(shù)的一次項(xiàng)有關(guān);得:。 14.(2020江西理)(

23、 ) A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】考查等比數(shù)列求和與極限知識(shí).解法一:先求和,然后對(duì)和取極限。 15.(2020北京理)在等比數(shù)列中,,公比.若,則m= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 【答案】C 16.(2020四川理)已知數(shù)列的首項(xiàng),其前項(xiàng)的和為,且,則 (A)0 (B) (C) 1 (D)2 解析:由,且 作差得an+2=2an+1 又S2=2S1+a1,即a2+a1=2a1+a1 T a2=2a1 故

24、{an}是公比為2的等比數(shù)列 Sn=a1+2a1+22a1+……+2n-1a1=(2n-1)a1 則 【答案】B 17.(2020天津理)(6)已知是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列,是的前n項(xiàng)和,且,則數(shù)列的前5項(xiàng)和為 (A)或5 (B)或5 (C) (D) 【答案】C 【解析】本題主要考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的性質(zhì),屬于中等題。 顯然q1,所以,所以是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列, 前5項(xiàng)和. 【溫馨提示】在進(jìn)行等比數(shù)列運(yùn)算時(shí)要注意約分,降低冪的次數(shù),同時(shí)也要注意基本量法的應(yīng)用。 18.(2020福建理)3.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則當(dāng)取最小值時(shí)

25、,n等于 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 【解析】設(shè)該數(shù)列的公差為,則,解得, 所以,所以當(dāng)時(shí),取最小值。 【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,考查二次函數(shù)最值的求法及計(jì)算能力。 19.(2020全國(guó)卷1文)(4)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{},=5,=10,則= (A) (B) 7 (C) 6 (D) 【答案】A 【命題意圖】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí),著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想. 【解析】由等比數(shù)列的性

26、質(zhì)知,10,所以, 所以 20.(2020湖北文)7.已知等比數(shù)列{}中,各項(xiàng)都是正數(shù),且,成等差數(shù)列,則 A. B. C. D 21.(2020安徽理)10、設(shè)是任意等比數(shù)列,它的前項(xiàng)和,前項(xiàng)和與前項(xiàng)和分別為,則下列等式中恒成立的是 A、 B、 C、 D、 【答案】 D 【分析】取等比數(shù)列,令得代入驗(yàn)算,只有選項(xiàng)D滿足。 【方法技巧】對(duì)于含有較多字母的客觀題,可以取滿足條件的數(shù)字代替字母,代入驗(yàn)證,若能排除3個(gè)選項(xiàng),剩下唯一正確的就一定正確;若不能完全排除,可以取其他數(shù)字驗(yàn)證繼續(xù)排除.本題也可以首項(xiàng)、公比即項(xiàng)數(shù)n表示代入驗(yàn)證得結(jié)論. 22.(2020

27、湖北理數(shù))如圖,在半徑為r 的園內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,再作正六邊形的內(nèi)切圓,又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,如此無限繼續(xù)下去,設(shè)為前n個(gè)圓的面積之和,則= A. 2 B. C.4 D.6 二、填空題 23.(2020遼寧文)設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則 。 解析:填15. ,解得, 24.(2020福建理)在等比數(shù)列中,若公比,且前3項(xiàng)之和等于21,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式 . 【答案】 【解析】由題意知,解得,所以通項(xiàng)。 【命題意圖】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題。 25.(2020江

28、蘇卷)函數(shù)y=x2(x>0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù),a1=16,則a1+a3+a5=_________ 解析:考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項(xiàng)。 在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線方程為:當(dāng)時(shí),解得, 所以。 三、解答題 26.(2020上海文)(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第一個(gè)小題滿分6分,第2個(gè)小題滿分8分。 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且, (1)證明:是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式,并求出使得成立的最小正整數(shù). 解析:(1) 當(dāng)n=1時(shí),a1=-14;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1,所以,

29、 又a1-1=-15≠0,所以數(shù)列{an-1}是等比數(shù)列; (2) 由(1)知:,得,從而(n?N*); 由Sn+1>Sn,得,,最小正整數(shù)n=15. 27.(2020陜西文)16.(本小題滿分12分) 已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列,a1=1,且a1,a3,a9成等比數(shù)列. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng); (Ⅱ)求數(shù)列{2an}的前n項(xiàng)和Sn. 解 (Ⅰ)由題設(shè)知公差d≠0, 由a1=1,a1,a3,a9成等比數(shù)列得=, 解得d=1,d=0(舍去), 故{an}的通項(xiàng)an=1+(n-1)×1=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知=2n,由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得

30、 Sm=2+22+23+…+2n==2n+1-2. 28.(2020全國(guó)卷2文)(本小題滿分12分) 已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且 , (Ⅰ)求的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和。 【解析】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)、前項(xiàng)和及方程與方程組的基礎(chǔ)知識(shí)。 (1)設(shè)出公比根據(jù)條件列出關(guān)于與的方程求得與,可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式。 (2)由(1)中求得數(shù)列通項(xiàng)公式,可求出BN的通項(xiàng)公式,由其通項(xiàng)公式化可知其和可分成兩個(gè)等比數(shù)列分別求和即可求得。 29.(2020江西理)22. (本小題滿分14分) 證明以下命題: (1) 對(duì)任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b

31、 (2) 存在無窮多個(gè)互不相似的三角形△,其邊長(zhǎng)為正整數(shù)且成等差數(shù)列。 【解析】作為壓軸題,考查數(shù)學(xué)綜合分析問題的能力以及創(chuàng)新能力。 (1)考慮到結(jié)構(gòu)要證,;類似勾股數(shù)進(jìn)行拼湊。 證明:考慮到結(jié)構(gòu)特征,取特值滿足等差數(shù)列,只需取b=5a,c=7a,對(duì)一切正整數(shù)a均能成立。 結(jié)合第一問的特征,將等差數(shù)列分解,通過一個(gè)可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說明構(gòu)成三角形,再證明互不相似,且無窮。 證明:當(dāng)成等差數(shù)列,則, 分解得: 選取關(guān)于n的一個(gè)多項(xiàng)式,做兩種途徑的分解 對(duì)比目標(biāo)式,構(gòu)造,由第一問結(jié)論得,等差數(shù)列成立, 考察三角形邊長(zhǎng)關(guān)系,可構(gòu)成三角形的三邊。 下證互不相似。

32、任取正整數(shù)m,n,若△m,△相似:則三邊對(duì)應(yīng)成比例 , 由比例的性質(zhì)得:,與約定不同的值矛盾,故互不相似。 30.(2020安徽文)(21)(本小題滿分13分) 設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓,它們的圓心都在軸的正半軸上,且都與直線相切,對(duì)每一個(gè)正整數(shù),圓都與圓相互外切,以表示的半徑,已知為遞增數(shù)列. (Ⅰ)證明:為等比數(shù)列; (Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【命題意圖】本題考查等比列的基本知識(shí),利用錯(cuò)位相減法求和等基本方法,考察抽象概括能力以及推理論證能力. 【解題指導(dǎo)】(1)求直線傾斜角的正弦,設(shè)的圓心為,得,同理得,結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系,得兩圓半徑之間的關(guān)系,即中

33、與的關(guān)系,證明為等比數(shù)列;(2)利用(1)的結(jié)論求的通項(xiàng)公式,代入數(shù)列,然后用錯(cuò)位相減法求和. 【方法技巧】對(duì)于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問題,通常利用幾何知識(shí),并結(jié)合圖形,得出關(guān)于數(shù)列相鄰項(xiàng)與之間的關(guān)系,然后根據(jù)這個(gè)遞推關(guān)系,結(jié)合所求內(nèi)容變形,得出通項(xiàng)公式或其他所求結(jié)論.對(duì)于數(shù)列求和問題,若數(shù)列的通項(xiàng)公式由等差與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列時(shí),通常是利用前n項(xiàng)和乘以公比,然后錯(cuò)位相減解決. 31.(2020重慶文)(16)(本小題滿分13分,(Ⅰ)小問6分,(Ⅱ)小問7分. ) 已知是首項(xiàng)為19,公差為-2的等差數(shù)列,為的前項(xiàng)和. (Ⅰ)求通項(xiàng)及; (Ⅱ)設(shè)是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列

34、,求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和. 32.(2020浙江文)(19)(本題滿分14分)設(shè)a1,d為實(shí)數(shù),首項(xiàng)為a1,公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足+15=0。 (Ⅰ)若=5,求及a1; (Ⅱ)求d的取值范圍。 33.(2020北京文)(16)(本小題共13分) 已知為等差數(shù)列,且,。 (Ⅰ)求的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)若等差數(shù)列滿足,,求的前n項(xiàng)和公式 解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差。 因?yàn)? 所以 解得 所以 (Ⅱ)設(shè)等比數(shù)列的公比為 因?yàn)? 所以 即=3 所以的前項(xiàng)和公式為

35、34.(2020四川理)(21)(本小題滿分12分) 已知數(shù)列{an}滿足a1=0,a2=2,且對(duì)任意m、n∈N*都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2 (Ⅰ)求a3,a5; (Ⅱ)設(shè)bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),證明:{bn}是等差數(shù)列; (Ⅲ)設(shè)cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn. 本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想,以及推理論證、分析與解決問題的能力. 解:(1)由題意,零m=2,n-1,可得a3=2a2-a1+2=6 再令m=3,n=1,可得a5=2a3-

36、a1+8=20………………………………2分 (2)當(dāng)n∈N *時(shí),由已知(以n+2代替m)可得 a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8 于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8 即 bn+1-bn=8 所以{bn}是公差為8的等差數(shù)列………………………………………………5分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首項(xiàng)為b1=a3-a1=6,公差為8的等差數(shù)列 則bn=8n-2,即a2n+=1-a2n-1=8n-2 另由已知(令m=1)可得 an=-(n-1)2. 那么an+1-an=-2n+1 =-2n+1

37、 =2n 于是cn=2nqn-1. 當(dāng)q=1時(shí),Sn=2+4+6+……+2n=n(n+1) 當(dāng)q≠1時(shí),Sn=2·q0+4·q1+6·q2+……+2n·qn-1. 兩邊同乘以q,可得 qSn=2·q1+4·q2+6·q3+……+2n·qn. 上述兩式相減得 (1-q)Sn=2(1+q+q2+……+qn-1)-2nqn =2·-2nqn =2· 所以Sn=2· 綜上所述,Sn=…………………………12分 35.(2020全國(guó)卷1理)(22)(本小題滿分12分

38、)(注意:在試題卷上作答無效) 已知數(shù)列中, . (Ⅰ)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅱ)求使不等式成立的的取值范圍 . 36.(2020山東理)(18)(本小題滿分12分) 已知等差數(shù)列滿足:,,的前n項(xiàng)和為. (Ⅰ)求及; (Ⅱ)令bn=(nN*),求數(shù)列的前n項(xiàng)和. 【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,因?yàn)?,,所以? ,解得, 所以;==。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以bn===, 所以==, 即數(shù)列的前n項(xiàng)和=。 【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和,熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵。 37.(2020湖南文)20

39、.(本小題滿分13分) 給出下面的數(shù)表序列: 其中表n(n=1,2,3 )有n行,第1行的n個(gè)數(shù)是1,3,5,2n-1,從第2行起,每行中的每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和。 (I)寫出表4,驗(yàn)證表4各行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列,并將結(jié)論推廣到表n(n≥3)(不要求證明); (II)每個(gè)數(shù)列中最后一行都只有一個(gè)數(shù),它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12,記此數(shù)列為 求和: 38.(2020全國(guó)卷2理)(18)(本小題滿分12分) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和. (Ⅰ)求; (Ⅱ)證明:. 【命題意圖】本試題主要考查數(shù)列基本公式的運(yùn)用,數(shù)列極限和數(shù)列不等式的證明,考查考生運(yùn)用

40、所學(xué)知識(shí)解決問題的能力. 【參考答案】 【點(diǎn)評(píng)】2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)I、Ⅱ這兩套試卷都將數(shù)列題前置,一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式,具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用,也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心. 估計(jì)以后的高考,對(duì)數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性質(zhì)、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列極限、簡(jiǎn)單的數(shù)列不等式證明等,這種考查方式還要持續(xù). 39.(2020北京理)(20)(本小題共13分) 已知集合對(duì)于,,定義A與B的差為 A與B之間的距離為 (Ⅰ)證明:,且; (Ⅱ)證

41、明:三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù) (Ⅲ) 設(shè)P,P中有m(m≥2)個(gè)元素,記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明:(P)≤. (考生務(wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效) 證明:(I)設(shè),, 因?yàn)椋?,所? 從而 又 由題意知,,. 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí), 所以 (II)設(shè),, ,,. 記,由(I)可知 所以中1的個(gè)數(shù)為,的1的 個(gè)數(shù)為。 設(shè)是使成立的的個(gè)數(shù),則 由此可知,三個(gè)數(shù)不可能都是

42、奇數(shù), 即,,三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)。 (III),其中表示中所有兩個(gè)元素間距離的總和, 設(shè)種所有元素的第個(gè)位置的數(shù)字中共有個(gè)1,個(gè)0 則= 由于 所以 從而 40.(2020天津文)(22)(本小題滿分14分) 在數(shù)列中,=0,且對(duì)任意k,成等差數(shù)列,其公差為2k. (Ⅰ)證明成等比數(shù)列; (Ⅱ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅲ)記,證明. 【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法,滿分14分。 (I)證明:由題設(shè)可知,,,,, 。 從而,

43、所以,,成等比數(shù)列。 (II)解:由題設(shè)可得 所以 . 由,得 ,從而. 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或?qū)憺?,? (III)證明:由(II)可知,, 以下分兩種情況進(jìn)行討論: (1) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2m 若,則, 若,則 . 所以,從而 (2) 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)。 所以,從而 綜合(1)和(2)可知,對(duì)任意有 41.(2020天津理)(22)(本小題滿分14分) 在數(shù)列中,,且對(duì)任意.,,成等差數(shù)列,其公差為。 (Ⅰ)若=,證明,,成等比數(shù)列() (Ⅱ)若對(duì)任意,

44、,,成等比數(shù)列,其公比為。 【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式,前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。 (Ⅰ)證明:由題設(shè),可得。 所以 = =2k(k+1) 由=0,得 于是。 所以成等比數(shù)列。 (Ⅱ)證法一:(i)證明:由成等差數(shù)列,及成等比數(shù)列,得 當(dāng)≠1時(shí),可知≠1,k 從而 所以是等差數(shù)列,公差為1。 (Ⅱ)證明:,,可得,從而=1.由(Ⅰ)有 所以 因此, 以下分兩種情況進(jìn)行討論: (1) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2m() 若m=1,則.

45、 若m≥2,則 + 所以 (2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)n=2m+1() 所以從而··· 綜合(1)(2)可知,對(duì)任意,,有 證法二:(i)證明:由題設(shè),可得 所以 由可知??傻茫? 所以是等差數(shù)列,公差為1。 (ii)證明:因?yàn)樗浴? 所以,從而,。于是,由(i)可知所以是公差為1的等差數(shù)列。由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得= ,故。 從而。 所以,由,可得 。 于是,由(i)可知 以下同證法一。 42.(2020湖南理)21.(本小題滿分13分) 數(shù)列中,是函數(shù)的極小值點(diǎn) (Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求通項(xiàng); (Ⅱ)是否存在a,使數(shù)列是等比數(shù)列?若存在,求a

46、的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由。 43.(2020江蘇卷)19、(本小題滿分16分) 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。 (1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(用表示); (2)設(shè)為實(shí)數(shù),對(duì)滿足的任意正整數(shù),不等式都成立。求證:的最大值為。 [解析] 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí),考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。 (1)由題意知:, , 化簡(jiǎn),得: , 當(dāng)時(shí),,適合情形。 故所求 (2)(方法一) , 恒成立。 又,, 故,即的最大值為。 (方法二)由及,得,。 于是,對(duì)滿足題設(shè)的,

47、,有 。 所以的最大值。 另一方面,任取實(shí)數(shù)。設(shè)為偶數(shù),令,則符合條件,且。 于是,只要,即當(dāng)時(shí),。 所以滿足條件的,從而。 因此的最大值為。 2020年高考題 一、選擇題 1.(2020年廣東卷文)已知等比數(shù)列的公比為正數(shù),且·=2,=1,則= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】設(shè)公比為,由已知得,即,又因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為正數(shù),所以,故,選B 2.(2020安徽卷文)已知為等差數(shù)列,,則等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.選B。 【答案】

48、B 3.(2020江西卷文)公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若是的等比中項(xiàng), ,則等于 A.18 B.24 C.60 D.90 【答案】C 【解析】由得得,再由得 則,所以,.故選C 4.(2020湖南卷文)設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知,,則等于( ) A.13 B.35 C.49 D.63 【解析】故選C. 或由, 所以故選C. 5.(2020福建卷理)等差數(shù)列的

49、前n項(xiàng)和為,且 =6,=4, 則公差d等于 A.1 B C.- 2 D 3 【答案】:C [解析]∵且.故選C 6.(2020遼寧卷文)已知為等差數(shù)列,且-2=-1, =0,則公差d= A.-2 B.- C. D.2 【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 T d=- 【答案】B 7.(2020四川卷文)等差數(shù)列{}的公差不為零,首項(xiàng)=1,是和的等比中項(xiàng),則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是 A. 90 B.

50、 100 C. 145 D. 190 【答案】B 【解析】設(shè)公差為,則.∵≠0,解得=2,∴=100 8.(2020寧夏海南卷文)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,,則 A.38 B.20 C.10 D.9 【答案】C 【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,所以,,由,得:2-=0,所以,=2,又,即=38,即(2m-1)×2=38,解得m=10,故選.C。 9.(2020重慶卷文)設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則的前項(xiàng)和=( ) A. B. C. D. 【

51、答案】A 【解析】設(shè)數(shù)列的公差為,則根據(jù)題意得,解得或(舍去),所以數(shù)列的前項(xiàng)和 10.(2020廣東卷理)已知等比數(shù)列滿足,且,則當(dāng)時(shí), A. B. C. D. 【解析】由得,,則, ,選C. 【答案】 C 11.(2020遼寧卷理)設(shè)等比數(shù)列{ }的前n 項(xiàng)和為 ,若 =3 ,則 = A.2 B. C. D.3 【解析】設(shè)公比為q ,則=1+q3=3 T q3=2 于是

52、 【答案】B 12.(2020寧夏海南卷理)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且4,2,成等差數(shù)列。若=1,則=( ) A.7 B.8 C.15 D.16 【解析】4,2,成等差數(shù)列,,選C. 【答案】 C 13.(2020湖北卷文)設(shè)記不超過的最大整數(shù)為[],令{}=-[],則{},[], A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列 C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 【答案】B 【解析】可分別求得,.則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)

53、成等比數(shù)列. 14.(2020湖北卷文)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù),例如: 他們研究過圖1中的1,3,6,10,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù);類似地,稱圖2中的1,4,9,16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C 【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng),同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng),則由可排除A、D,又由知必為奇數(shù),故選C. 15.(2020安

54、徽卷理)已知為等差數(shù)列,++=105,=99,以表示的前項(xiàng)和,則使得達(dá)到最大值的是 A.21 B.20 C.19 D.18 【答案】 B 【解析】由++=105得即,由=99得即 ,∴,,由得,選B 16.(2020江西卷理)數(shù)列的通項(xiàng),其前項(xiàng)和為,則為 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由于以3 為周期,故 故選A 17.(2020四川卷文)等差數(shù)列{}的公差不為零,首項(xiàng)=1,是和的等比中項(xiàng),則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是 A. 90

55、 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 【解析】設(shè)公差為,則.∵≠0,解得=2,∴=10 二、填空題 18.(2020全國(guó)卷Ⅰ理) 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則= 答案 24 解析 是等差數(shù)列,由,得 . 19.(2020浙江理)設(shè)等比數(shù)列的公比,前項(xiàng)和為,則 . 答案:15 解析 對(duì)于 20.(2020北京文)若數(shù)列滿足:,則 ;前8項(xiàng)的和 .(用數(shù)字作答) 答案 2

56、25 解析 本題主要考查簡(jiǎn)單的遞推數(shù)列以及數(shù)列的求和問題. 屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考查. , 易知,∴應(yīng)填255. 21.(2020全國(guó)卷Ⅱ文)設(shè)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為。若,則= × 答案:3 解析:本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)及求和運(yùn)算,由得q3=3故a4=a1q3=3 22.(2020全國(guó)卷Ⅱ理)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若則 解析 為等差數(shù)列, 答案 9 23.(2020遼寧卷理)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且則 解析 ∵Sn=na1+n(n-1)d ∴S5

57、=5a1+10d,S3=3a1+3d ∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 答案 24.(2020浙江理)(14)設(shè) , 將的最小值記為,則 其中=__________________ . 解析:本題主要考察了合情推理,利用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,屬容易題 25.(2020陜西文)11.觀察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43= (1+2+3+4)2,…,根據(jù)上述規(guī)律,第四個(gè)等式為13+23+33+43+53=(1+2+3+4+

58、5)2(或152). 解析:第i個(gè)等式左邊為1到i+1的立方和,右邊為1到i+1和的完全平方 所以第四個(gè)等式為13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或152). 26.(2020遼寧理)(16)已知數(shù)列滿足則的最小值為__________. 【答案】 【命題立意】本題考查了遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,考查了同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n 所以 設(shè),令,則在上是單調(diào)遞增,在上是遞減的,因?yàn)閚∈N

59、+,所以當(dāng)n=5或6時(shí)有最小值。 又因?yàn)椋?,所以,的最小值? 27.(2020浙江文)(14)在如下數(shù)表中,已知每行、每列中的樹都成等差數(shù)列, 那么,位于下表中的第n行第n+1列的數(shù)是 。 答案: 28.(2020天津文)(15)設(shè){an}是等比數(shù)列,公比,Sn為{an}的前n項(xiàng)和。記設(shè)為數(shù)列{}的最大項(xiàng),則= 。 【答案】4 【解析】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)及平均值不等式的應(yīng)用,屬于中等題。 因?yàn)楱R8,當(dāng)且僅當(dāng)=4,即n=4時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)n0=4時(shí)Tn有最大值。 【溫馨提示】本題的實(shí)質(zhì)是求Tn取得最大值時(shí)的n值,求解時(shí)

60、為便于運(yùn)算可以對(duì)進(jìn)行換元,分子、分母都有變量的情況下通常可以采用分離變量的方法求解. 29.(2020湖南理)若數(shù)列滿足:對(duì)任意的,只有有限個(gè)正整數(shù)使得成立,記這樣的的個(gè)數(shù)為,則得到一個(gè)新數(shù)列.例如,若數(shù)列是,則數(shù)列是.已知對(duì)任意的,,則 , . 30.(2020浙江文)設(shè)等比數(shù)列的公比,前項(xiàng)和為,則 . 【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式,通過對(duì)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的考查充分體現(xiàn)了通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的知識(shí)聯(lián)系. 答案 15 解析 對(duì)于 31.(2020浙江文)設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則,,,成等差數(shù)列

61、.類比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為,則, , ,成等比數(shù)列. 【命題意圖】此題是一個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題,既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí),也考查了通過已知條件進(jìn)行類比推理的方法和能力 答案: 解析 對(duì)于等比數(shù)列,通過類比,有等比數(shù)列的前項(xiàng)積為,則,,成等比數(shù)列. 32.(2020北京理)已知數(shù)列滿足:則________;=_________. 答案 1,0 解析 本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí).屬于創(chuàng)新題型. 依題意,得,. ∴應(yīng)填1,0. 33.(2020江蘇卷)設(shè)是公比為的等比數(shù)列,,令,若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中,則=

62、 . 答案 -9 解析 考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)。 有連續(xù)四項(xiàng)在集合,四項(xiàng)成等比數(shù)列,公比為,= -9 34.(2020山東卷文)在等差數(shù)列中,,則. 解析 設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由已知得解得,所以. 答案: 13. 【命題立意】:本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本計(jì)算. 35.(2020湖北卷理)已知數(shù)列滿足:(m為正整數(shù)),若,則m所有可能的取值為__________。 答案 4 5 32 解析 (1)若為偶數(shù),則為偶, 故 ①當(dāng)仍為偶數(shù)時(shí), 故 ②當(dāng)為奇數(shù)時(shí), 故得m=4。

63、 (2)若為奇數(shù),則為偶數(shù),故必為偶數(shù) ,所以=1可得m=5 36.(2020寧夏海南卷理)等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為。已知+-=0,=38,則m=_______ 解析由+-=0得到。 答案 10 37.(2020陜西卷文)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 . 解析:由可得的公差d=2,首項(xiàng)=2,故易得2n. 答案:2n 38.(2020陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 . 答案:1 39.(2020寧夏海南卷文)等比數(shù)列{}的公比, 已知=1,,則{}的前4項(xiàng)和=

64、 解析 由得:,即,,解得:q=2,又=1,所以,,=。 答案 40.(2020湖南卷理)將正⊿ABC分割成(≥2,n∈N)個(gè)全等的小正三角形(圖2,圖3分別給出了n=2,3的情形),在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù),使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)(當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí))都分別一次成等差數(shù)列,若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n),則有f(2)=2,f(3)= ,…,f(n)= (n+1)(n+2) 答案 解析 當(dāng)n=3時(shí),如圖所示分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫字母表示,即由條件知

65、 即 進(jìn)一步可求得。由上知中有三個(gè)數(shù),中 有6個(gè)數(shù),中共有10個(gè)數(shù)相加 ,中有15個(gè)數(shù)相加….,若中有個(gè)數(shù)相加,可得中有個(gè)數(shù)相加,且由 可得所以 = 41.(2020重慶卷理)設(shè),,,,則數(shù)列的通項(xiàng)公式= . 解析 由條件得且所以數(shù)列是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列,則 答案 2n+1 三、解答題 42.(2020浙江文)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,,,其中是常數(shù). (I) 求及; (II)若對(duì)于任意的,,,成等比數(shù)列,求的值. 解(Ⅰ)當(dāng), () 經(jīng)驗(yàn),()式成立, (Ⅱ)成等比數(shù)列,,

66、 即,整理得:, 對(duì)任意的成立, 43.(2020北京文)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 數(shù)列定義如下:對(duì)于正整數(shù)m,是使得不等式成立的所有n中的最小值. (Ⅰ)若,求; (Ⅱ)若,求數(shù)列的前2m項(xiàng)和公式; (Ⅲ)是否存在p和q,使得?如果存在,求p和q的取值范圍;如果不存在,請(qǐng)說明理由. 【解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì),考查運(yùn)算能力、推理論證能力、 分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題. 解(Ⅰ)由題意,得,解,得. ∴成立的所有n中的最小整數(shù)為7,即. (Ⅱ)由題意,得, 對(duì)于正整數(shù),由,得. 根據(jù)的定義可知 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. ∴ . (Ⅲ)假設(shè)存在p和q滿足條件,由不等式及得. ∵,根據(jù)的定義可知,對(duì)于任意的正整數(shù)m 都有 ,即對(duì)任意的正整數(shù)m都成立. 當(dāng)(或)時(shí),得(或), 這與上述結(jié)論矛盾! 當(dāng),即時(shí),得,解得. ∴ 存在p和q,使得; p和q的取值范圍分別是,.. 44.(2020山東卷文)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為, 已知對(duì)任意的 ,點(diǎn),均在函數(shù)且均為常數(shù)

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