高中數(shù)學(xué) 典型例題 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 新課標

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1、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 1．；2．；3．． 分析：根據(jù)所給問題的特征，恰當?shù)剡x擇求導(dǎo)公式，將題中函數(shù)的結(jié)構(gòu)施行調(diào)整．函數(shù)和的形式，這樣，在形式上它們都滿足冪函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，可直接應(yīng)用冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)． 解：1． 2． 3． 說明：對于簡單函數(shù)的求導(dǎo)，關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)關(guān)系式為可以直接應(yīng)用公式的基本函數(shù)的模式，以免求導(dǎo)過程中出現(xiàn)指數(shù)或系數(shù)的運算失誤．運算的準確是數(shù)學(xué)能力高低的重要標志，要從思想上提高認識，養(yǎng)成思維嚴謹，步驟完整的解題習(xí)慣，要形成不僅會求，而且求對、求好的解題標準． 根據(jù)斜率求對應(yīng)曲線的切線方程 例 求曲線的斜率等于4的切線方程．

2、分析：導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)在某點處的變化率，它的幾何意義就是相應(yīng)曲線在該點處切線的斜率，由于切線的斜率已知，只要確定切點的坐標，先利用導(dǎo)數(shù)求出切點的橫坐標，再根據(jù)切點在曲線上確定切點的縱坐標，從而可求出切線方程． 解：設(shè)切點為，則 ，∴，即，∴ 當時，，故切點P的坐標為（1，1）． ∴所求切線方程為 即 說明：數(shù)學(xué)問題的解決，要充分考慮題設(shè)條件，捕捉隱含的各種因素，確定條件與結(jié)論的相應(yīng)關(guān)系，解答這類問題常見的錯誤是忽略切點既在曲線上也在切線上這一關(guān)鍵條件，或受思維定勢的消極影響，先設(shè)出切線方程，再利用直線和拋物線相切的條件，使得解題的運算量變大． 求直線方程 例 求過曲線上

3、點且與過這點的切線垂直的直線方程． 分析：要求與切線垂直的直線方程，關(guān)鍵是確定切線的斜率，從已知條件分析，求切線的斜率是可行的途徑，可先通過求導(dǎo)確定曲線在點P處切線的斜率，再根據(jù)點斜式求出與切線垂直的直線方程． 解：，∴ 曲線在點處的切線斜率是 ∴過點P且與切線垂直的直線的斜率為， ∴所求的直線方程為， 即． 說明：已知曲線上某點的切線這一條件具有雙重含義．在確定與切線垂直的直線方程時，應(yīng)注意考察函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)是否為零，當時，切線平行于x軸，過切點P垂直于切線的直線斜率不存在． 求曲線方程的交點處切線的夾角 例 設(shè)曲線和曲線在它們的交點處的兩切線的夾角為，求的值．

4、 分析：要求兩切線的夾角，關(guān)鍵是確定在兩曲線交點處的切線的斜率．根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需先求出兩曲線在交點處的導(dǎo)數(shù)，再應(yīng)用兩直線夾角公式求出夾角即可． 解：聯(lián)立兩曲線方程解得兩曲線交點為（1，1）． 設(shè)兩曲線在交點處的切線斜率分別為，則 由兩直線夾角公式 說明：探求正確結(jié)論的過程需要靈巧的構(gòu)思和嚴謹?shù)耐评磉\算．兩曲線交點是一個關(guān)鍵條件，函數(shù)在交點處是否要導(dǎo)也是一個不能忽視的問題，而準確理解題設(shè)要求則是正確作出結(jié)論的前提． 求常函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例 設(shè)，則等于（ ） A． B． C．0 D．以上都不是 分析：本題是對函數(shù)的求導(dǎo)問題，直接利用公式即可 解：因為是常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，所以選C．