高中數(shù)學(xué) 矩陣與變換同步導(dǎo)學(xué)蘇教版 選修4-2

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1、 第一課　二階矩陣與平面向量 【考點(diǎn)掃描】 1． 了解矩陣的相關(guān)知識(shí) 在數(shù)學(xué)中，把形如，，這樣的矩形數(shù)字（或字母）陣列稱做矩陣，一般地，我們用大寫黑體拉丁字母Ａ，Ｂ，…或者（aij）來(lái)表示矩陣，其中i,j分別表示元素所在的行和列。同一橫排中按原來(lái)次序排列的一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的行，同一豎排中按原來(lái)次序排列的一列數(shù)（或字母）叫做矩陣的列，組成矩陣的每一個(gè)數(shù)（或字母）稱為矩陣和元素，所有元素都為0的矩陣稱為零矩陣. 平面上向量的坐標(biāo)和平面上的點(diǎn)P（x,y）都可以看做是行矩陣，也可以看做是列矩陣.因此我們又稱為行向量，稱為列向量，在本書中，我們把平面向量（x,y）的坐標(biāo)寫成的形式.

2、當(dāng)兩個(gè)矩陣Ａ、Ｂ，只有當(dāng)它們的行數(shù)與列數(shù)分別相等，并且對(duì)應(yīng)位置的元素也分別相等時(shí)，才有Ａ＝Ｂ. 2． 掌握二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則 行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則：= 二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則：= 一般地兩個(gè)矩陣只有當(dāng)前一個(gè)列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算 3． 理解二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義 一個(gè)列向量左乘一個(gè)2×2矩陣M后得到一個(gè)新的列向量，如果列向量表示一個(gè)點(diǎn)P（x,y）,那么列向量左乘矩陣M后的列向量就對(duì)應(yīng)平面上的一個(gè)新的點(diǎn). 對(duì)于平面上的任意一個(gè)點(diǎn)（向量）（x,y）,若按照對(duì)應(yīng)法則T，總能對(duì)應(yīng)惟一的一個(gè)點(diǎn)（向量），則稱T為一個(gè)變換，簡(jiǎn)記為：T：或

3、T： 一般地，對(duì)于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：=，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則可以改寫為T：=的矩陣形式，反之亦然（a、b、c、d∈Ｒ） 由矩陣Ｍ確定的變換，通常記為TM,根據(jù)變換的定義，它是平面內(nèi)點(diǎn)集到自身的一個(gè)映射，平面內(nèi)的一個(gè)圖形它在TM,的作用下得到一個(gè)新的圖形. 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1、 寫出方程組變量x,y的系數(shù)矩陣. 2、已知,，若A=B，求a，b，c，d. 3、某公司負(fù)責(zé)從兩個(gè)礦區(qū)向三個(gè)城市送煤：從甲礦區(qū)向城市A、B、C送煤的量分別是100萬(wàn)噸、140萬(wàn)噸、160萬(wàn)噸；從乙礦區(qū)向城市A、B、C送煤的量分別是300萬(wàn)噸、260萬(wàn)噸、540萬(wàn)噸；把上述結(jié)果分別

4、用2×3矩陣和3×2矩陣表示. 4、分別計(jì)算下列乘法運(yùn)算的結(jié)果 （1）（2）（3）（4） 5、求點(diǎn)A（3，6）在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn). 6、已知變換=，試將它寫成坐標(biāo)變換的形式. 【解題指導(dǎo)】 例1、計(jì)算：（1） （2） 解：（1）原式= （2）原式= 點(diǎn)評(píng)：掌握二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則是解題的關(guān)鍵 例2、已知平面上一個(gè)正方形ABCD（順時(shí)針）的四個(gè)頂點(diǎn)用矩陣表示為，求a，b，c，d的值及正方形ABCD的面積. 解：正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)依次為A（0，0）、B（a,c）、C(0,4)、D(b,d),從而可求得a=-2,b=2,c=d=2,|AB

5、|=2，正方形ABCD的面積為8. 點(diǎn)評(píng): 根據(jù)頂點(diǎn)矩陣寫出正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo),再利用正方形中的邊長(zhǎng)相等,對(duì)角線相等互相垂直平分等有關(guān)數(shù)量關(guān)系求出a,b,c,d的值和正方形的面積. 例3、已知，若A=B，求x，y. 解：由矩陣相等的定義得：且解之得：x=y=-1 點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)矩陣相等的充要條件是它們的行數(shù)與列數(shù)分別相等，并且對(duì)應(yīng)位置的元素也分別相等. 例4、已知變換，試將它寫成矩陣的乘法形式. 解：根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則得 點(diǎn)評(píng)：一般地，對(duì)于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：=，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則可以改寫為T：=的矩陣形式. 例5、已知矩陣，，，

6、若A=BC，求函數(shù)在[1,2] 上的最小值. 解: ∵BC==, 又∵ A=BC ，∵x∈[1,2] 當(dāng)x≥２時(shí)，函數(shù)在[1,2]上的最小值為. 當(dāng)1≤x＜2時(shí)，函數(shù)在[1,2]上的最小值為. 當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)在[1,2]上的最小值為 ∴ 點(diǎn)評(píng)：（1）本題運(yùn)用了行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則及兩個(gè)矩陣相等的充要條件； （2）求含參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，通常需要分類討論. 【本課小結(jié)】 1. 基礎(chǔ)知識(shí)：掌握矩陣的相關(guān)知識(shí)與二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義 2. 基本技能：正確地進(jìn)行二階矩陣與平面列向量的乘法運(yùn)算 3. 基本思想：靈活運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論

7、、函數(shù)與方程的思想解決矩陣問(wèn)題 【能力測(cè)試】 1、“兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等”是“兩個(gè)矩陣相等”的（ ） A、充分不必要條件 B、必要不充分條件是 C、充要條件 D、既不充分又不必要條件 2、用矩陣與向量的乘法的形式表示方程組其中正確的是（ ） A、 B、 C、 D、 3、計(jì)算:=__________ 4、點(diǎn)A（1，2）在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是___________ 5、已知是一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)所組成的矩陣，求a，b. 6、已知，若A=B，求α，β. 7、設(shè)矩陣A為二階矩陣，且規(guī)定其元素，i=1

8、，2，j=1，2，且，試求A. 8、若點(diǎn)A在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)為（1，0），求α. 9、若點(diǎn)A在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下下得到的點(diǎn)為（2，4），求點(diǎn)A的坐標(biāo). 10、已知△ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（4，2），B（2，4），O（0，0）,計(jì)算在變換TM=之下三個(gè)頂點(diǎn)ABO的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo). 11、已知矩陣，，，若A=BC，求函數(shù)在上的最小值. 第二課　幾種常見(jiàn)的平面變換 【考點(diǎn)掃描】 1．理解可以用矩陣來(lái)表示平面中常見(jiàn)的幾何變換，掌握恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換的矩陣表示及其幾何意義 （１）一般地，對(duì)于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：=，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向

9、量在乘法規(guī)則可以改寫為T：=的矩陣形式，反之亦然（a、b、c、d∈Ｒ） 由矩陣Ｍ確定的變換，通常記為TM,根據(jù)變換的定義，它是平面內(nèi)點(diǎn)集到自身的一個(gè)映射，平面內(nèi)的一個(gè)圖形它在TM,的作用下得到一個(gè)新的圖形. 在本節(jié)中研究的變換包括恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換等六個(gè)變換． （２）由矩陣M=確定的變換TM稱為恒等變換，這時(shí)稱矩陣M為恒等變換矩陣或單位矩陣，二階單位矩陣一般記為E.平面是任何一點(diǎn)（向量）或圖形，在恒等變換之下都把自己變?yōu)樽约? （３）由矩陣M=或M=確定的變換TM稱為（垂直）伸壓變換，這時(shí)稱矩陣M=或M=伸壓變換矩陣． 當(dāng)M=時(shí)確定的變換將平面

10、圖形作沿x軸方向伸長(zhǎng)或壓縮,當(dāng)時(shí)伸長(zhǎng),當(dāng)時(shí)壓縮.變換TM確定的變換不是簡(jiǎn)單地把平面上的點(diǎn)(向量) 沿x軸方向“向下壓”或“向外伸”,它是x軸方向伸長(zhǎng)或壓縮,以為例，對(duì)于x軸上方的點(diǎn)向下壓縮，對(duì)于x軸下方的點(diǎn)向上壓縮，對(duì)于x軸上的點(diǎn)變換前后原地不動(dòng)． 當(dāng)M=時(shí)確定的變換將平面圖形作沿y軸方向伸長(zhǎng)或壓縮,當(dāng)時(shí)伸長(zhǎng),當(dāng)時(shí)壓縮． 在伸壓變換之下，直線仍然變?yōu)橹本€，線段仍然變?yōu)榫€段． 恒等變換是伸壓變換的特例，伸壓變換多與三角函數(shù)圖象的變換聯(lián)系起來(lái)研究． （４）將一個(gè)平面圖形變?yōu)殛P(guān)于定直線或定點(diǎn)對(duì)稱的平面圖形的變換矩陣稱為反射變換矩陣，對(duì)應(yīng)的變換稱為反射變換，關(guān)于定直線或定點(diǎn)對(duì)稱的反射又分別稱為

11、軸反射和中心反射，定直線稱為反射軸，定點(diǎn)稱為反射點(diǎn)． 反射變換是軸對(duì)稱變換、中心對(duì)稱變換的總稱.在中學(xué)里常研究的反射變換有： 由矩陣M１=確定的變換是關(guān)于x軸的軸反射變換，由矩陣M２=確定的變換是關(guān)于y軸的軸反射變換,由矩陣M３=確定的變換是關(guān)于原點(diǎn)的中心反射變換．由矩陣M４=確定的變換是關(guān)于直線y=x的軸反射變換． 學(xué)習(xí)反射變換要與函數(shù)圖象的變換、解幾中二次曲線變換的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)考慮.其實(shí)質(zhì)是變換對(duì)縱橫坐標(biāo)產(chǎn)生的影響. （５）將一個(gè)平面圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角得到另一個(gè)平面圖形的變換稱為旋轉(zhuǎn)變換，其中的角叫做旋轉(zhuǎn)角，定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心．當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)且逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角時(shí)旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣為．

12、旋轉(zhuǎn)變換只會(huì)改變幾何圖形的位置，不會(huì)改變幾何圖形的形狀和大小，旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持不變，圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所確定．繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的變換相當(dāng)于關(guān)于定點(diǎn)作中心反射變換． （６）將一個(gè)平面圖投影到某條直線（或某個(gè)點(diǎn)）的變換稱為投影變換，變換對(duì)應(yīng)的矩陣稱為投影變換矩陣，本節(jié)中主要研究的是由矩陣M１=，M２= ，M３=確定的投影變換．需要注意的是投影變換是映射，但不是一一映射． （７）由矩陣M=或確定的變換稱為切變變換，對(duì)應(yīng)的矩陣稱為切變變換矩陣．以為例，矩陣把平面上的點(diǎn)沿x軸方向平移｜ky|個(gè)單位，當(dāng)ky＞０時(shí)沿x軸正方向移動(dòng)，當(dāng)ky＜０時(shí)沿x軸負(fù)方向移動(dòng)，當(dāng)ky＝０時(shí)原地不動(dòng)， 切變

13、變換有如下性質(zhì)：（１）x軸上的點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn)；（２）保持圖形面積大小不變,點(diǎn)間的距離和夾角大小可以改變且點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是沿坐標(biāo)軸方向進(jìn)行的． 切變變換的實(shí)質(zhì)是橫（縱坐標(biāo)）成比例地運(yùn)動(dòng). 2．理解二階矩陣對(duì)應(yīng)的幾何變換是線性變換，了解單位矩陣 一般地，二階非零矩陣對(duì)應(yīng)變換把直線變?yōu)橹本€，把直線變?yōu)橹本€的變換叫做線性變換，本節(jié)中所研究的6種變換均為線性變換，在研究平面上多邊形或直線在矩陣的變換作用后的圖形時(shí)，只需考察頂點(diǎn)（或端點(diǎn)）的變化結(jié)果即可． 3.了解恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換這六個(gè)變換之間的關(guān)系 如恒等變換可以看做伸壓、旋轉(zhuǎn)、切變變換的特殊情形;關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的中心反射變換可以看做

14、是繞原點(diǎn)作了角度的旋轉(zhuǎn)變換，它還可以看做是先作關(guān)于x軸的反射再作關(guān)于y軸的反射的復(fù)合; 繞原點(diǎn)作了角度的旋轉(zhuǎn)變換可以看做是先繞原點(diǎn)作了角度的旋轉(zhuǎn)變換再繞原點(diǎn)作了角度的旋轉(zhuǎn)變換等等. 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 １、已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)分別為A（-1，0），B（1，0），C（1，1），D（-1，1），四邊形ABCD在矩陣變換作用下變成正方形，則＝（　　?。? Ａ、 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、 2、已知矩陣M1=，M2=，M3=，則由M1，M2，M3確定的變換分別是（ ） A、恒等變換、反射變換、投影變換 B、恒等變換、投影變換、反射變換 C、投影變換、反射變換、恒

15、等變換 D、反射變換、恒等變換、投影變換 A B C D 1 -1 O x y 1 -1 3、直線x+y=5在矩陣 對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的圖形是（ ） A、直線x+y=5 B、直線y=5 C、直線x=5 D、點(diǎn)（0，5） 4、將向量繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到向量，則向量的坐標(biāo)為=______________. 5、圖中正方形ABCD在由矩陣所確定變換的作用后的圖形的 面積為_____________. 6、若直線y=4x-4在矩陣M對(duì)應(yīng)的伸壓變換下變成另一條直線y=x-1，則 M=__________. 【解題指導(dǎo)】 例1

16、、求圓C：在矩陣對(duì)應(yīng)的伸壓變換下的曲線方程，并判斷曲線的類型. 解：設(shè)P(x,y)是圓C：上的任一點(diǎn), P1是P(x,y) 在矩陣對(duì)應(yīng)的伸壓變換下的曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn) , 則 即 ,所以 代入得 方程表示的曲線為橢圓 點(diǎn)評(píng)：通過(guò)變換矩陣建立所求曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵． 例２、若曲線y=x2（x≥0）在矩陣M對(duì)應(yīng)的反射變換作用下得到的曲線為y=x2（x≤0），求矩陣M. 解：由兩曲線之間的關(guān)系知： 矩陣M對(duì)應(yīng)的反射變換是以y軸為軸的反射變換，所以M＝ 點(diǎn)評(píng)：這類問(wèn)題在求解時(shí)應(yīng)先確定兩曲線之間的反射變換是中心對(duì)稱反射變換還是是軸對(duì)稱變換．如果

17、是軸對(duì)稱變換再進(jìn)一步確定對(duì)稱軸，進(jìn)而寫出變換矩陣． 例３、若△ABC在矩陣M對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換作用下得到△A′B′C′，其中A（0，0），B（1，），C（0，2），A′（0，0）， C′（-，1），試求矩陣M并求B′的坐標(biāo). 解、由題意旋轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)，設(shè)逆時(shí)旋轉(zhuǎn)角為， 則旋轉(zhuǎn)變換矩陣為Ｍ＝ ∴＝　　　　　∴ ∴ 故而 ∴Ｍ＝ 設(shè)B′（x,y）,則＝＝　　　∴ 點(diǎn)評(píng)：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角為時(shí)的旋轉(zhuǎn)矩陣為，若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，則將上述矩陣中的換為－即可． 例４、已知在矩陣M的作用下點(diǎn)A（1，2）變成了點(diǎn)A′（11，5），點(diǎn)B（3，-1）變成了點(diǎn)B′（5，1），點(diǎn)C（x

18、，0）變成了點(diǎn)C′（y，2），求（1）矩陣M；求（2）x、y值. 解： （1）設(shè)矩陣M=，， ，解之得，M= （2）由 得 點(diǎn)評(píng)：求變換矩陣通常用待定系數(shù)法． 例５、給定二階矩陣M，對(duì)任意向量 ，證明： 證明：設(shè)，， 得證 點(diǎn)評(píng)：更一般地，可以證明：，其中為任意實(shí)數(shù)。 【本課小結(jié)】 １． 基礎(chǔ)知識(shí)：用矩陣來(lái)表示平面中常見(jiàn)的幾何變換，掌握恒等、伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、投影、切變變換的矩陣表示及其幾何意義 ２． 基本技能：會(huì)根據(jù)各種變換矩陣確定已知圖形的對(duì)應(yīng)變換之下的圖形，會(huì)根據(jù)兩個(gè)圖形之間的關(guān)系求出變換矩陣 ３． 基本思想

19、或方法：靈活運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想和待定系數(shù)法以及用代入法求曲線方程等方法解決變換問(wèn)題 【能力測(cè)試】 １、點(diǎn)（－１，k）在伸壓變換矩陣之下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,　-4　），則m、k的值分別為（　?。? A、２，４　　B、－２，４　　　C、２，－４　　　D、－２，－４ ２、設(shè)T是以 ox 軸為軸的反射變換，則變換T的矩陣為（　?。? A、　　Ｂ、 　　Ｃ、 　　Ｄ、 ３、設(shè)A是到ox軸的正投影變換，A把點(diǎn)P（x，y）變成點(diǎn)P′（x，0），B是到oy軸的正投影變換B把點(diǎn)P（x，y）變成點(diǎn)P″（0，y），則變換A和B的矩陣分別為（　?。? Ａ、，　?。?、，　?。谩?，　　Ｄ、，

20、 ４、在某個(gè)旋轉(zhuǎn)變換中，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所對(duì)應(yīng)的變換矩陣為　＿＿＿＿＿＿． ５、曲線在矩陣作用下變換所得的圖形對(duì)應(yīng)的曲線方程為＿＿＿＿＿＿． ６、曲線xy=1繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到的曲線方程是＿＿＿＿＿，變換對(duì)應(yīng)的矩陣是＿＿＿＿. ７、已知曲線經(jīng)過(guò)伸壓變換T作用后變?yōu)樾碌那€，試求變換T對(duì)應(yīng)的矩陣M. ８、求出橢圓 在矩陣作用下變換所得的圖形. ９、設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（１，-２），T是繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 的旋轉(zhuǎn)變換，求旋轉(zhuǎn)變換T對(duì)應(yīng)的矩陣，并求點(diǎn)P在T作用下的象點(diǎn)P′的坐標(biāo). １０、已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（１，2），平行于向量的直線l ,考察下列矩陣把直線l變成什么？ 1 2

21、 -2 -1 1 2 3 x y o A B A′ B′ （1） （2） 11、若有一矩陣把右圖中△ABO變成△A′B′O，其中點(diǎn)A的象點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的象點(diǎn)為點(diǎn)B′，試求該矩陣. 第三課　變換的復(fù)合與矩陣的乘法 【考點(diǎn)掃描】 １． 熟練掌握二階矩陣與二階矩陣的乘法 （１） 兩個(gè)二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個(gè)矩陣，其乘法法則如下： （２） 兩個(gè)二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律 即 (AB)C=A(BC), ABBA, 由 AB=AC不一定能推出B=C. 2. 理解矩陣的乘法運(yùn)算與

22、變換的復(fù)合之間的內(nèi)在聯(lián)系 （1）兩個(gè)二階矩陣相乘的結(jié)果從幾何的角度來(lái)看它表示的是原來(lái)兩個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)的連續(xù)兩次變換. （2）一般地兩個(gè)變換之間是不能隨意交換位置的，只有在特殊情況下才可以交換位置 （3）矩陣AB對(duì)應(yīng)的復(fù)合變換順序是先進(jìn)行矩陣B對(duì)應(yīng)的變換再進(jìn)行矩陣A對(duì)應(yīng)的變換.如果連續(xù)對(duì)一個(gè)向量實(shí)施n次矩陣A對(duì)應(yīng)的變換可以記為的形式. （4）在數(shù)學(xué)中，一一對(duì)應(yīng)的平面幾何變換都可以看是伸壓、反射、旋轉(zhuǎn)、切變變換的一次或多次復(fù)合，而伸壓、反射、切變等變換通常叫做初等變換，對(duì)應(yīng)的矩陣叫做初等變換矩陣. 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1.=（ ） A、 B、 C、 D、 2.已知矩陣X、M、N

23、,若M=, N=，則下列X中不滿足:XM=N,的一個(gè)是（ ） A、X= B、X= C、X= D、X= 3.已知A=,B=則AB=____________,BA=______________ 4.對(duì)任意的二階非零矩陣A、B、C，下列命題中:（1）AB=BA ; （2）AB≠0; （3）若AB=AC，則B=C;（4）A（BC）=（AB）C; （5）A2≠0; （6）當(dāng)E為單位矩陣時(shí)恒有：AE=EA=A.，其中真命題的序號(hào)為 5. 設(shè)，分別求A2, A3 ,A4, A5. 【解題指導(dǎo)】 例1、已知矩陣M=和N= （1）求證：MN=NM

24、 （2）說(shuō)明M、N所表示的幾何變換，并從幾何上說(shuō)明滿足MN=NM． 解：（1）MN== NM== ∴MN=NM （2）矩陣M所表示的變換是：把坐標(biāo)平面上點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；矩陣N所表示的變換是：把坐標(biāo)平面上點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)）．矩陣MN表示的變換是：把坐標(biāo)平面上點(diǎn)先繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再把該點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即把點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；矩陣NM表示的變換是：把坐標(biāo)平面上點(diǎn)先繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再把該點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，即把點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴矩陣MN和矩陣NM所表示的變換是同一變換，∴MN=NM 點(diǎn)評(píng)： （１）熟練掌握二階矩陣乘法的運(yùn)算法則是進(jìn)行矩陣乘法的關(guān)鍵

25、，需要指出的是，一般地不一定有MN=NM成立 （２）矩陣乘法的幾何意義是矩陣所對(duì)應(yīng)的變換的復(fù)合，同樣兩個(gè)變換的復(fù)合在一般情形之下是不可以交換的． 例２、記，其中，作矩陣乘法SA，AS， （1）運(yùn)算結(jié)果有何規(guī)律？ （2）S與單位矩陣、零矩陣的關(guān)系？ （3）當(dāng)k>0時(shí)，矩陣S對(duì)應(yīng)的變換TS有何幾何意義？ （4）研究TS與伸壓變換的關(guān)系？ 解：（1）由于 運(yùn)算結(jié)果有何規(guī)律是：S與任一矩陣A乘積可交換，其結(jié)果是將矩陣A的每個(gè)元素的同乘以實(shí)數(shù)k （2）k=1時(shí)，S為單位矩陣，k=0時(shí)，S為零矩陣． （3）由于TS：→= TS的幾何意義為：以原點(diǎn)為中心作相似比為k的位似變換，將每

26、個(gè)點(diǎn)P（x，y）變換到點(diǎn)P′（x′，y′） （4）∵ TS相應(yīng)于在x軸方向的伸壓變換與y軸方向的伸壓變換的復(fù)合 點(diǎn)評(píng)： （１） 仔細(xì)體會(huì)兩個(gè)二階矩陣乘法可交換的條件。 （２） 從矩陣乘法的代數(shù)運(yùn)算和幾何意義兩個(gè)不同的方面理解矩陣乘法和變換復(fù)合之間的內(nèi)在聯(lián)系。 （３） 復(fù)雜的變換都可以通過(guò)簡(jiǎn)單的初等變換復(fù)合而成。 例3、利用矩陣變換的幾何意義，請(qǐng)構(gòu)造滿足下列條件的矩陣，并給出幾何解釋： （1）構(gòu)造兩個(gè)矩陣M，N，它們不滿足MN=NM； （2）構(gòu)造兩個(gè)不同的矩陣A，B，使等式成立； （3）構(gòu)造兩個(gè)不同的矩陣A，B，使等式成立． 解：（1） 矩陣M表示向x

27、軸壓縮為一半的變換矩陣N表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的變換， 即 ∴ ， ∴MN≠NM （2） 將平面內(nèi)的點(diǎn)沿垂直于y軸方向投影到y(tǒng)=x，即（x，y）變?yōu)椋▂，y） 表示的變換為將縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)比例增加， 且（y，y）→（y+y，y）=（2y，y） 表示的變換為將平面內(nèi)的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)沿x軸方向拉伸為原來(lái)2倍，即（y，y）→（2y，y） ∴原等式成立 （3） A對(duì)應(yīng)的變換表示恒等變換，即（x，y）變成(x，y)，對(duì)應(yīng)的變換表示將平面上的點(diǎn)（x，y）垂直投影到y(tǒng)軸，即（x，y）變成（0，y），這樣A把點(diǎn)（x，y）變成（0，y） B對(duì)應(yīng)的變換為將平面內(nèi)的點(diǎn)縱坐標(biāo)

28、不變，橫坐標(biāo)沿x軸方向壓縮為原來(lái)的，即 （x，y）變?yōu)椋ǎ瑈），再在變換作用下將（，y）變成（0，y） ∴原等式成立 點(diǎn)評(píng)：一般地，把一個(gè)矩陣分解為幾個(gè)矩陣的乘積是不唯一的，同樣把一個(gè)變換分解為幾個(gè)變換的復(fù)合的分解也是不唯一的。 例4、求關(guān)于直線y=3x的反射變換對(duì)應(yīng)的矩陣A． 解：在平面上任取一點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)P關(guān)于y=3x的對(duì)稱點(diǎn)P（x′，y′） 則有： 解得： A= 點(diǎn)評(píng)：一般地若過(guò)原點(diǎn)的直線m的傾斜角為，則關(guān)于直線m的反射變換矩陣為： A= 【本課小結(jié)】 １．基礎(chǔ)知識(shí)：掌握二階矩陣與二

29、階矩陣的乘法運(yùn)算法則，理解二階矩陣的乘法的幾何意義 ２．基本技能：能熟練進(jìn)行二階矩陣的乘法運(yùn)算，能把一些復(fù)雜變換轉(zhuǎn)化為六種常見(jiàn)變換的復(fù)合，會(huì)用復(fù)合變換的方法進(jìn)行圖形的變換， ３．基本思想或方法：靈活運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想和待定系數(shù)法等方法解決變換復(fù)合問(wèn)題 【能力測(cè)試】 １、 計(jì)算：＝____________ ２、 =______ ３、 已知，則m= 1 ，n= 0 ，s= 1 ． ４、 已知，M=N=,則ＭＮ＝_______,NM=_________ ５、 設(shè)若M=把直線l：2x+y+7=0變換為自身，則 1 ， -1 ６、

30、 計(jì)算下列矩陣的乘積 （１） ； （２） 7、已知A=，試求據(jù)此猜想的結(jié)果. 8、利用矩陣乘法定義證明下列等式 （k>0）并說(shuō)明其幾何意義. 9、已知中，A（0，0），B（2，0），C（1，2），對(duì)它先作M=對(duì)應(yīng)的變換，再作N=對(duì)應(yīng)的變換，試研究變換作用后的結(jié)果，并用一個(gè)矩陣來(lái)表示這兩次變換. 10、利用矩陣變換的幾何意義，請(qǐng)你構(gòu)造滿足下列條件的矩陣，并給出幾何解釋： （1）構(gòu)造兩個(gè)不同的矩陣A、B，使ＡＢ＝成立； （2）構(gòu)造一個(gè)矩陣M（M為非零矩陣），使Ｍ成立． 11、在直角坐標(biāo)系中，l1，l2都經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，傾斜角分別是α，β，設(shè)TA，TB分別表示關(guān)于直線l1，l2的反射變換．求： （1）先TA后TB的復(fù)合變換的矩陣BA； （2）先TB后TA的復(fù)合變換的矩陣AB； （3）討論當(dāng)α，β滿足什么條件時(shí)AB≠BA．