2020版高考數(shù)學 3年高考2年模擬 第12章 極限

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1、第十五章 極限第一部分 五年高考薈萃2020年高考題 一、選擇題 1.(重慶理. 3)已知,則 (A) (B) 2 (C) 3 (D) 6 答案 D 二、填空題 2.(上海文. 2)計算= 答案 3. 在等差數(shù)列中,,則__________ 答案 74 三、簡答題 4.(本小題滿分12分,(Ⅰ)小問5分,(Ⅱ)小問7分)設(shè)實數(shù)數(shù)列的前項和,滿足 (Ⅰ)若成等比數(shù)列,求和; (Ⅱ)求證:對有 解:(Ⅰ)由題意,因為所以;

2、 由; (Ⅱ)易見,所以 ; 從而時有: 因為,且,所以; 要證,只要證, 即證此式顯然成立, 所以時有。 最后證,若不然,,又,故 即,矛盾,所以()。 2020年高考題 一、選擇題: 1.(2020年高考數(shù)學湖北卷理科7)如圖,在半徑為r的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,再作正六邊形的內(nèi)切圓, 又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形,如此無限繼續(xù)下去.設(shè)為前個 圓的面積之和,則 A. B. C. D. 【答案】C 2.(2020年高考四川卷理

3、科2)下列四個圖像所表示的函數(shù),在點處連續(xù)的是 (A) (B) (C) (D) 解析:由圖象及函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)知,D正確. 答案:D 3.(2020年高考四川卷理科8)已知數(shù)列的首項,其前項的和為,且,則 (A)0 (B) (C) 1 (D)2 解析:由,且 作差得an+2=2an+1 又S2=2S1+a1,即a2+a1=2a1+a1 T a2=2a1 故{an}是公比為2的等比數(shù)列 Sn=a1+2a1+22a1+……+2n-1a1=(2

4、n-1)a1 則 答案:B 4.(2020年高考江西卷理科4) A. B. C. D.不存在 【答案】B 5.(2010年高考重慶市理科3)= (A) -1 (B) - (C) (D) 1 【答案】B 解析:=. 二、填空題: 1.(2020年高考上海市理科11)將直線、(,)x軸、y軸圍成的封閉圖形的面積記為,則 。 【答案】1 2. (2020年上海市春季高考14) 答案:。 解析:不妨取,…… 故 故,故答案為1. 三、解答題: 1.(2020年高考全國2卷理數(shù)18)(本小題滿分12

5、分) 已知數(shù)列的前項和. (Ⅰ)求; (Ⅱ)證明:. 【命題意圖】本試題主要考查數(shù)列基本公式的運用,數(shù)列極限和數(shù)列不等式的證明,考查考生運用所學知識解決問題的能力. 【參考答案】 【點評】2020年高考數(shù)學全國I、Ⅱ這兩套試卷都將數(shù)列題前置,一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式,具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用,也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心. 估計以后的高考,對數(shù)列的考查主要涉及數(shù)列的基本公式、基本性質(zhì)、遞推數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列極限、簡單的數(shù)列不等式證明等,這種考查方式還要持續(xù).

6、 2020年高考題 一、選擇題 1、(09重慶理8)已知,其中,則的值為 ( ) A.6 B. C. D. 【解析】 答案 D 2、(09湖北理6)設(shè), 則 ( ) A.-1 B.0 C.1 D. 【解析】令得令時 令時 兩式相加得: 兩式相減得: 代入極限式可得,故選B 答案 B 二、填空題 3、(09陜西理13)設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則 . 答案 1 第二部分 兩年模擬題 2020屆高三模擬題 題組

7、一 一、選擇題 1.(福建省廈門雙十中學2020屆高三12月月考題理)函數(shù)的零點所在的區(qū)間是( ) (A)(0,1) (B)(1,10) (C)(10,100) (D)(100,+∞) 答案 B. 2. (廣西北海二中2020屆高三12月月考試題理)已知等比數(shù)列中,公比,且 為數(shù)列的前項和,則等于 ( ) A6 B C D 答案 B. 3.(黑龍江大慶實驗中學2020屆高三上學期期中考試理) 設(shè),若函數(shù)有大于零的極值點,則(

8、 ) 答案 B. 4.(浙江省杭州市高級中學2020屆高三上學期第三次月考理)已知實數(shù)成等比數(shù)列,且對函數(shù),當時取到極大值,則等于 ( ) A. B.0 C.1 D.2 答案 A. 二、填空題 5.(浙江省杭州二中2020屆高三11月月考試題文)若函數(shù)在處取極值,則___________. 答案:3. 6.(重慶市重慶八中2020屆高三第四次月考理)已知函數(shù),在點處

9、連續(xù),則 答案 . 7.(重慶市南開中學高2020級高三1月月考理) 若= 。 答案 –1. 三、簡答題 8.(浙江省溫州市嘯秋中學2020學年第一學期高三會考模擬試卷)已知函數(shù)在處取得極值. (1)求常數(shù)k的值; (2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值; 答案 解:(1),由于在處取得極值, ∴可求得. ………2分 (2)由(1)可知,, 隨的變化情況如下表: 0 + 0 - 0 + 極大值 極小值 ∴當為增函數(shù),為減函數(shù); ………2分

10、∴極大值為極小值為 ………2分 9.(福建省廈門雙十中學2020屆高三12月月考題理)(本小題滿分14分)已知函數(shù) (1)若函數(shù)在區(qū)間其中a >0,上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍; (2)如果當時,不等式恒成立,求實數(shù)k的取值范圍; (3)求證. 答案 9.解:(Ⅰ)因為, x >0,則,…………1分 當時,;當時,. 所以在(0,1)上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減, 所以函數(shù)在處取得極大值. …………3分 因為函數(shù)在區(qū)間(其中)上存在極值, 所以 解得.…………5

11、分 (Ⅱ)不等式即為 記 所以…………7分 令,則, , 在上單調(diào)遞增, ,從而, 故在上也單調(diào)遞增, 所以,所以 . …………9分 (3)由(2)知:恒成立,即, 令,則 所以 , , ,… … , …………12分 疊加得: . 則,所以 …………14分 10.(福建省廈門雙十中學2020屆高三12月月考題理)(本小題滿分12分)已知函數(shù),數(shù)列滿足. (Ⅰ)求數(shù)列的通項公式; (Ⅱ)求; (Ⅲ)求證:

12、 答案10 11.(黑龍江大慶實驗中學2020屆高三上學期期中考試理)(本題12分) 設(shè)函數(shù) (Ⅰ)若時函數(shù)有三個互不相同的零點,求的范圍; (Ⅱ)若函數(shù)在內(nèi)沒有極值點,求的范圍; (Ⅲ)若對任意的,不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍. 答案 11. 解:(1)當時, 因為有三個互不相同的零點,所以, 即有三個互不相同的實數(shù)根。 令,則。 因為在和均為減函數(shù),在為增函數(shù), 的取值范圍 -----------------------------------4分 (2)由題可知,方程在上沒有實數(shù)根, 因為,所以--------------------4分 (3

13、)∵,且, ∴函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為和; 當時,又, ∴而 ∴, 又∵在上恒成立, ∴,即,即在恒成立。 ∵的最小值為 ∴---------------------------------4分 12.(黑龍江省哈爾濱市第162中學2020屆高三第三次模擬理)(12分)設(shè)是函數(shù)的一個極值點。 (Ⅰ)、求與的關(guān)系式(用表示),并求的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)、設(shè),。若存在使得 成立,求的取值范圍。 答案 12.設(shè)是函數(shù)的一個極值點。 (Ⅰ)、求與的關(guān)系式(用表示),并求的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)、設(shè),。若存在使得成立,求的取值范圍。 點評:本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的

14、應(yīng)用等知識,考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。 解:(Ⅰ)f `(x)=-[x2+(a-2)x+b-a ]e3-x, 由f `(3)=0,得 -[32+(a-2)3+b-a ]e3-3=0,即得b=-3-2a, 則 f `(x)=[x2+(a-2)x-3-2a-a ]e3-x =-[x2+(a-2)x-3-3a ]e3-x=-(x-3)(x+a+1)e3-x. 令f `(x)=0,得x1=3或x2=-a-1,由于x=3是極值點, 所以x+a+1≠0,那么a≠-4. 當a<-4時,x2>3=x1,則 在區(qū)間(-∞,3)上,f `(x)<0, f (x)為減函數(shù); 在區(qū)間(3,

15、―a―1)上,f `(x)>0,f (x)為增函數(shù); 在區(qū)間(―a―1,+∞)上,f `(x)<0,f (x)為減函數(shù)。 當a>-4時,x2<3=x1,則 在區(qū)間(-∞,―a―1)上,f `(x)<0, f (x)為減函數(shù); 在區(qū)間(―a―1,3)上,f `(x)>0,f (x)為增函數(shù); 在區(qū)間(3,+∞)上,f `(x)<0,f (x)為減函數(shù)。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,當a>0時,f (x)在區(qū)間(0,3)上的單調(diào)遞增,在區(qū)間(3,4)上單調(diào)遞減,那么f (x)在區(qū)間[0,4]上的值域是[min(f (0),f (4) ),f (3)], 而f (0)=-(2a+3)e3<0,f

16、 (4)=(2a+13)e-1>0,f (3)=a+6, 那么f (x)在區(qū)間[0,4]上的值域是[-(2a+3)e3,a+6]. 又在區(qū)間[0,4]上是增函數(shù), 且它在區(qū)間[0,4]上的值域是[a2+,(a2+)e4], 由于(a2+)-(a+6)=a2-a+=()2≥0,所以只須僅須 (a2+)-(a+6)<1且a>0,解得0

17、B.線段AB和CD C.線段AD和BC D.線段AC和BD 答案 A. 2.(江西省2020屆理) 若的最小值為( ) A.2 B. C. D.3 答案 C. 3. (江西省2020屆理)函數(shù) 的定義域是 ( ) A B D 答案 D. 4.(江蘇省2020屆數(shù)學理)右圖是函數(shù)的部分圖象,則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是 ( ) A B

18、 D 答案 B. 5. (廣西桂林中學2020屆高三理)已知函數(shù)連續(xù),則 ( ) A.    B.    ?。?   ?。? 答案 B. 7.(廣東省河源市龍川一中2020屆高三文) 直線與圓相交于M,N兩點,若,則k的取值范圍是 A. B. C. D. 答案 A. 8.(河南信陽市2020屆高三理)設(shè)函數(shù)是定義在R上的以5為周期的奇函數(shù),若,則的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 答案 A. 二 填空題 1.(江蘇泰興市重點中學2020屆

19、理)若的最大值為m,且f(x)為偶函數(shù),則m+u=________________. 答案 1. 2、(江西省2020屆高三文)函數(shù)的定義域,值域都是區(qū)間[a,b],則的值為 答案 4. 3、(江西省2020屆高三文)下列結(jié)論: ①; ②; ③成立的充分不必要條件; ④。 其中正確結(jié)論的序號為 答案 ②③ 4.(江西省2020屆高三理)函數(shù)y=x2-2x在區(qū)間[a,b]上的值域是[-1,3],則點(a,b)的軌跡是圖中的 A.線段AB和線段AD B.線段AB和線段CD C.線段AD和線段BC D.線段AC和線段BD 答案 A. 5.(

20、江西省2020屆高三理)若是偶函數(shù),則的遞增區(qū)間為______________ 答案 (0,1] 。 6.(江蘇省2020屆高三理)定義在R上的奇函數(shù),當時,,則當時, 答案 。 7.(江蘇省2020屆高三理)若定義運算 ,則函數(shù)的值域是 答案 3. 8.(江蘇省2020屆高三理)已知,若函數(shù)在R上是減函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是 答案 9.(廣西桂林中學2020屆高三理)若() =9, 則實數(shù)= . 答案 10、(江西省上高二中2020屆高三文)下列結(jié)論: ①; ②; ③成立的充分不

21、必要條件; ④。 其中正確結(jié)論的序號為 答案 、②③[ 三 解答題 1.(江蘇泰興市重點中學2020屆理)(本小題滿分16分) 如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN,要求M在AB的延長線上,N在AD的延長線上,且對角線MN過C點。已知AB=3米,AD=2米。 (I)設(shè)(單位:米),要使花壇AMPN的面積大于32平方米,求的取值范圍; (II)若(單位:米),則當AM,AN的長度分別是多少時,花壇AMPN的面積最大?并求出最大面積。 答案 1.由于則AM=

22、 故SAMPN=AN?AM= …………4分 (1)由SAMPN > 32 得 > 32 , 因為x >2,所以,即(3x-8)(x-8)> 0 從而 即AN長的取值范圍是…………8分 (2)令y=,則y′= ………… 10分 因為當時,y′< 0,所以函數(shù)y=在上為單調(diào)遞減函數(shù), 從而當x=3時y=取得最大值,即花壇AMPN的面積最大27平方米, 此時AN=3米,AM=9米 …………15 2.(江蘇泰興市重點中學2020屆理)(本題滿分16分) 已知函數(shù),. (1)當時,若上單調(diào)遞減,求a的取值范圍; (2)求滿足下列條件

23、的所有整數(shù)對:存在,使得的最大值, 的最小值; (3)對滿足(II)中的條件的整數(shù)對,試構(gòu)造一個定義在且 上的函數(shù):使,且當時,. 答案2.1)當時,,…………………………………………………1分 若,,則在上單調(diào)遞減,符合題意;………3分 若,要使在上單調(diào)遞減, 必須滿足 ……………………………………………………………………5分 ∴.綜上所述,a的取值范圍是 …………………………………6分 (2)若,,則無最大值,………………………7分 故,∴為二次函數(shù), 要使有最大值,必須滿足即且,…8分 此時,時,有最大值.……………………………………

24、…分 又取最小值時,,………………………………………………………分 依題意,有,則,…………分 ∵且,∴,得,………………分 此時或. ∴滿足條件的整數(shù)對是.……………………………12分 (3)當整數(shù)對是時, ,是以2為周期的周期函數(shù),………………………分 又當時,,構(gòu)造如下:當,則, , 故… 3.(江蘇省2020屆數(shù)學理)函數(shù)的定義域為(0,1](為實數(shù)). ⑴當時,求函數(shù)的值域; ⑵若函數(shù)在定義域上是減函數(shù),求的取值范圍; ⑶求函數(shù)在x∈(0,1]上的最大值及最小值,并求出函數(shù)取最值時的值. 答案 3、解:(1)顯然函數(shù)的值域為;

25、(2)若函數(shù)在定義域上是減函數(shù),則任取且都有 成立, 即 只要即可,由,故,所以, 故的取值范圍是; (3)當時,函數(shù)在上單調(diào)增,無最小值,當時取得最大值; 由(2)得當時,函數(shù)在上單調(diào)減,無最大值 當x=1時取得最小值2-a; 當時,函數(shù)在上單調(diào)減,在上單調(diào)增,無最大值, 當 時取得最小值. 4.(江蘇省2020屆高三理)已知函數(shù) (1) 當,時,求函數(shù)的值域; (2) 若函數(shù)在上的最大值為1,求實數(shù)的值 答案 4.(本題滿分14分) 解(1) 由得,∴函數(shù)的定義域是…………(3分) ∵,∴是奇函數(shù) ∴=0…………………

26、……………………(3分) (若直接代入計算也給分 (2) ∵對恒成立 ∴在上是減函數(shù)………………………………(5分) ∴…………………………(3分) 5.(江蘇泰興2020屆高三理)(本小題滿分16分) 如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN,要求M在AB的延長線上,N在AD的延長線上,且對角線MN過C點。已知AB=3米,AD=2米。 (I)設(shè)(單位:米),要使花壇AMPN的面積大于32平方米,求的取值范圍; (II)若(單位:米),則當AM,AN的長度分別是多少時,花壇AMPN的面積最大?并求出最大面積。 答案 5.由于則

27、AM= 故SAMPN=AN?AM= …………4分 (1)由SAMPN > 32 得 > 32 , 因為x >2,所以,即(3x-8)(x-8)> 0 從而 即AN長的取值范圍是…………8分 (2)令y=,則y′= ………… 10分 因為當時,y′< 0,所以函數(shù)y=在上為單調(diào)遞減函數(shù), 從而當x=3時y=取得最大值,即花壇AMPN的面積最大27平方米, 此時AN=3米,AM=9米 …………15 6.(福建省福州八中2020屆高三理)(本小題15分) 已知函數(shù)f (x)=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值. (Ⅰ)

28、求函數(shù)f (x)的解析式;   (Ⅱ)求證:對于區(qū)間[-3,2]上任意兩個自變量的值x1,x2,對于任意一個正實數(shù)a都有|f (x1)-f (x2)|≤; (Ⅲ)若過點A(1,m)(m≠-2)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實數(shù)m的取值范圍. 答案 6. (本小題15分)解:(I)f′(x)=3ax2+2bx-3,依題意,f′(1)=f′(-1)=0, 即…………………………………………1分 解得a=1,b=0. ∴f (x)=x3-3x.……………………………………………………3分 (II)∵f(x)=x3

29、-3x,∴f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 利用導(dǎo)數(shù)求得f(x)在區(qū)間[-3,2]上的最大值和最小值分別為: fmax(x)=f(-1)=f(2)=2,fmin(x)=f(-3)=-18………………………………4分 ∵對于區(qū)間[-3,2]上任意兩個自變量的值x1,x2, 都有|f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x) -fmin(x)| |f(x1)-f(x2)|≤|fmax(x)-fmin(x)|=2-(-18)=20………………………………6分 由條件可得,,當且僅當時,等號成立,即恒成立,∴對于任意一個正實數(shù)a都有|f (x1)-f (x2)|≤.………8分

30、 (III)f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), ∵曲線方程為y=x3-3x,∴點A(1,m)不在曲線上. 設(shè)切點為M(x0,y0),則點M的坐標滿足 因,故切線的斜率為, 整理得. ∵過點A(1,m)可作曲線的三條切線, ∴關(guān)于x0方程=0有三個實根.……………………10分 設(shè)g(x0)= ,則g′(x0)=6, 由g′(x0)=0,得x0=0或x0=1. ∴g(x0)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減. ∴函數(shù)g(x0)= 的極值點為x0=0,x0=1………………12分 ∴關(guān)于x0方程=0有

31、三個實根的充要條件是 ,解得-3

32、考/資*源*網(wǎng) ∴實數(shù)的值-2 …………………………3分 (II)由得或 …………………………4分 ①當時, 由得 由得 ∴函數(shù)得單調(diào)增區(qū)間為 ,單調(diào)減區(qū)間為 …………6分 ②當時,,同理可得函數(shù)得單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為 ………………………………8分 (II)假設(shè)存在滿足要求的兩點A,B,即在點A、B處的切線都與y軸垂直,則即解得或 ∴A,B 又線段AB與x軸有公共點,∴, …………………………1

33、0分 即 又,解得 所以當時,存在滿足要求的點A、B. …………………………13分 題組三 一、選擇題: 1.(四川省成都市2020屆高三第三次診斷理科)計算的結(jié)果是( ) (A) (B)3 (C) (D)2 【答案】B 【解析】因為 所以=3 2. (四川省綿陽市2020年4月高三三診理科試題)=( C ) (A)- (B)-5 (C) (D)0 3. (四川省雅安市2020屆高三第三次診斷性考試理科)已知函數(shù)在上連續(xù),則( A ) A.2 B.1 C.0 D.1 4.(四川省自貢市2020屆高三

34、三診理科試題)設(shè)要使在 內(nèi)連續(xù),則的值為( C ) A.6 B. C. D.[ (x≤1) (x>1) 5.(四川省南充高中2020屆高三4月月考理科試題)已知函數(shù) 在點x=1處連續(xù),則f-1(3)=( C ) A.13 B.1 C. D. 6.(四川省眉山市2020年4月高三第二次診斷性考試理科)函數(shù)在處不連續(xù),且存在,則的值等于( D ) A. B. C. D. 7.(四川省瀘州市2020屆高三第二次教學質(zhì)量診斷性考試理科)的值等于( C ) A. B. C

35、. D. 二、填空題: M(x,y) ρ θ 0 x y 8. (四川省成都市2020屆高三第三次診斷文科)在平面直角坐標系中定義另一種坐標(“∠坐標”)如下:在平面直角坐標系中任意一點M(原點除外),用ρ表示線段OM的長度,用θ表示以原點O為頂點,以射線Ox為始邊,射線OM為終邊的角,我們把有序?qū)崝?shù)對(ρ,θ)稱為點M的“∠坐標”. 有下列命題: ①“∠坐標”為(5,),(5,)的點在平面直角坐標系中不重合; ②若點M的“∠坐標”為(2,),則點M的平面直角坐標為(1,); ③一直圓M在平面直角坐標系中的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),則該圓上的

36、點P的“∠坐標”滿足ρ2-4ρcosθ+3=0; ④點M的“∠坐標”滿足ρ2sinθ=ρ2cosθ+(θ∈(0,)),則點M到x軸的最短距離為2。 其中你認為正確的所有命題的序號是___________________. 【答案】①②③ 【解析】根據(jù)“∠坐標”的定義,我們可以得到“∠坐標”(ρ,θ)與直角坐標系中普通坐標(x,y)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為: 或 利用這兩個轉(zhuǎn)換公式逐一檢驗即可知,①②③正確,④錯誤。 注:本題中的“∠坐標”實質(zhì)上就是新教材中的“極坐標”。 9.(四川省資陽市2020學年度高三第三次高考模擬理)已知,點表示原點,點(),是向量與向量的夾角, ,設(shè),則____

37、_____. 10.(四川省瀘州市2020屆高三第二次教學質(zhì)量診斷性考試理科)在平面上取定一點,從出發(fā)引一條射線,再取定一個長度單位及計算角的正方向,合稱為一個極坐標系。這樣,平面上任一點的位置就可以用線段的長度以及從到的角度來確定,有序數(shù)對稱為點的極坐標,稱為點的極徑,稱為點的極角。在一個極坐標系下,給出下列命題: ①點的極徑為4,極角為;②有序數(shù)對與表示兩 個不同點; ③點關(guān)于極點的對稱點為 ④圓心在,半徑的圓的極坐標方程為; ⑤過點垂直極軸的直線方程為。其中真命題序號是 . ①③④ 11.(四川省成都市石室中學2020屆高三三診模擬理科)若,則a+b= 3 。

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