高中數(shù)學 第四章 三角函數(shù)教案

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1、第四章 三角函數(shù)教材分析 三角函數(shù)是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它的基礎主要是幾何中的相似形和圓，研究方法主要是代數(shù)變形和圖象分析，因此三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來了，本章所介紹的知識，既是解決生產(chǎn)實際問題的工具，又是學習中學后繼內(nèi)容和高等數(shù)學的基礎 本章教學時間約用36課時，具體分配如下(僅供參考)： 4.1角的概念的推廣 約2課時 4.2弧度制 約2課時 4.3任意角的三角函數(shù) 約2課時 4.4同角三角函數(shù)的基本關系式 約2課時 4.5正弦、余弦的誘導公式 約3課時 4.6兩角和與差的正弦、余弦、正切 約7課時 4.7二倍角的正弦、余弦、正切

2、 約3課時 4.8正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質 約4課時 4.9函數(shù)y=Asin(ωx+φ) 的圖象 約3課時 4.10正切函數(shù)的圖象和性質 約2課時 4.11已知三角函數(shù)值求角 約2課時 小結與復習 約4課時 一、 內(nèi)容與要求 (一)本章主要內(nèi)容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函數(shù)、同角三角函數(shù)間的關系、誘導公式、兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角的三角函數(shù)，以及三角函數(shù)的圖象和性質，已知三角函數(shù)值求角等 (二)章頭引言安排了一個實際問題——求半圓內(nèi)接矩形的最大面積．這個問題可以用二次函數(shù)來解決，但如果設角度為自變量，就會得到三角函數(shù)式，學生尚未學過求它的最大

3、值 第一大節(jié)是“任意角的三角函數(shù)”教科書首先推廣了角的概念，介紹了弧度制，接著把三角函數(shù)的概念由銳角直接推廣到任意角(都用坐標定義)，然后導出同角三角函數(shù)的兩個基本關系式及正弦、余弦的誘導公式教科書在本大節(jié)的各小節(jié)中，都安排了許多實例以及知識的應用 第二大節(jié)是“兩角和與差的三角函數(shù)”教科書先引入平面內(nèi)兩點間距離公式(只通過畫圖說明公式的正確性，不予嚴格證明)，用距離公式推出余弦的和角公式，然后順次推出(盡量用啟發(fā)式)其他公式，同時安排了這些公式的簡單應用和實際應用，包括解決引言中的實際問題，引出半角公式、和差化積及積化和差公式讓學生有所了解 第三大節(jié)是“三角函數(shù)的圖象和性質”教科書

4、先利用正弦線畫出函數(shù) ，x∈[0,]的圖象，并根據(jù)“終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值”，把這一圖象向左、右平行移動，得到正弦曲線；在此基礎上，利用誘導公式，把正弦曲線向左平行移動個單位長度，得到余弦曲線接著根據(jù)這兩種曲線的形狀和特點，研究了正弦、余弦函數(shù)的性質，然后又研究了正弦函數(shù)的簡圖的畫法，簡要地介紹了利用正切線畫出正切函數(shù)的圖象以及正切函數(shù)的性質最后講述了如何由已知三角函數(shù)值求角，并引進了arcsinx、arccosx、arctanx等記號，以供在后續(xù)章節(jié)中遇到求角問題時用來表示答案 (三)本章的教學要求是： 1．使學生理解任意角的概念、弧度的意義；能正確地進行弧度與角度的換算

5、 2．使學生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關系式；掌握正弦、余弦的誘導公式 3．使學生掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通過公式的推導，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)邏輯推理能力 4．使學生能正確運用三角公式，進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶） 5． 使學生會用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎上由誘導公式畫出余弦函數(shù)的圖象；理解周期函數(shù)與最小正周期的意義，并通過它們的圖象理解這正弦函數(shù)、余弦

6、函數(shù)、正切函數(shù)的性質；會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖，理解A、、φ的物理意義 6．使學生會由已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx、arccosx、arctanx表示 二、 考點要求 1．理解弧度的定義，并能正確地進行弧度和角度的換算 2．掌握任意角的三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的符號、同角三角函數(shù)的關系式與誘導公式，了解周期函數(shù)和最小正周期的意義，會求的周期，或者經(jīng)過簡單的恒等變形可以化為上述函數(shù)的三角函數(shù)的周期能運用上述三角公式化簡三角函數(shù)式，求任意角的三角函數(shù)值與證明較簡單的三角恒等式 3．了解正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的畫法，會用“五點法”畫正弦、余

7、弦函數(shù)和函數(shù)的簡圖，并能解決正弦、曲線有關的實際問題 4．能推導并掌握兩角和、兩角差、二倍角與半角的正弦、余弦、正切公式 5．了解三角函數(shù)的積化和差與和差化積公式 6．能正確地運用上述公式簡化三角函數(shù)式、求某些角的三角函數(shù)值證明較簡單的三角恒等式以及解決一些簡單的實際問題 7．掌握余弦定理、正弦定理及其推導過程、并能運用它們解斜三角形 三、考點分析 三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，由于其特殊的性質以及與其他代數(shù)、幾何知識的密切聯(lián)系，它既是研究其他各部分知識的重要工具，又是高考考查雙基的重要內(nèi)容之一 本章分兩部分，第一部分是三角函數(shù)部分的基礎，不要求引入難度過高，計算過繁，技巧性過

8、強的題目，重點應放在結知識理解的準確性、熟練性和靈活性上 試題以選擇題、填空題形式居多，試題難度不高，常與其他知識結合考查 復習時應把握好以下幾點： 1．理解弧度制表示角的優(yōu)點在于把角的集合與實數(shù)集一一對應起來，二是就可把三角函數(shù)看成以實數(shù)為自變量的函數(shù) 2．要區(qū)別正角、負角、零角、銳角、鈍角、區(qū)間角、象限角、終邊相同角的概念 3．在已知一個角的三角函數(shù)值，求這個角的其他三角函數(shù)值時，要注意題設中角的范圍，并對不同的象限分別求出相應的值在應用誘導公式進行三角式的化簡、求值時，應注意公式中符號的選取 4．單位圓中的三角函數(shù)線，是三角函數(shù)的一種幾何表示，用三角函數(shù)線的數(shù)值來代替三角函數(shù)

9、值，比由三角函數(shù)定義所規(guī)定的比值所得出三角函數(shù)值優(yōu)越得多，因此，三角函數(shù)是討論三角函數(shù)性質的一個強有力的工具 5．要善于將三角函數(shù)式盡可能化為只含一個三角函數(shù)的“標準式”，進而可求得某些復合三角函數(shù)的最值、最小正周期、單調性等對函數(shù)式作恒等變形時需特別注意保持定義域的不變性 6．函數(shù)的單調性是在給定的區(qū)間上考慮的，只有屬于同一單調敬意的同一函數(shù)的兩個函數(shù)值才能由它的單調性來比較大小 7．對于具有周期性的函數(shù)，在作圖時只要先作它在一個周期中的圖象，然后利用周期性就可作出整個函數(shù)的圖象 8．對于，，等表達式，要會進行熟練的變形，并利用等三角公式進行化簡 本章第二部分是兩角和與差的三角函數(shù)

10、，考查的知識共7個，高考中在選擇題、填空題和解答題三種題型中都考查過本章知識，題目多為求值題，有直接求某個三角函數(shù)值的，也有通過三角變換求函數(shù)的變量范圍，周期，最小、大值和討論其他性質；以及少量的化簡，證明題考查的題量一般為3—4個，分值在12—22分，都是容易題和中等題，重點考查內(nèi)容是兩角和與差的正弦、余弦及正切公式，和差化積、各積化和差公式 考生丟分的原因主要有以下兩點：一是公式不熟，二是運算不過關，因此復習時要注意以下幾點： 1．熟練掌握和、差、倍、半角的三角函數(shù)公式復習中注意掌握以下幾個三角恒等變形的常用方法和簡單技巧 ①常值代換，特別是“1”的代換，如：，，，等等 ②

11、項的分拆與角的配湊 ③降次與升次 ④萬能代換 另外，注意理解兩角和、差、倍、半角公式中角的實質，可以把公式中的角看成一種整體形式，可以錦成其他變量或函數(shù)，這樣可加大公式的應用范圍和力度 2．要會運用和差化積與積化和差公式對三角函數(shù)和差式，要善于轉化為積的形式，反之亦然，對于形如的式子，要引入輔助角并化成的形式，這里輔助角所在的象限由的符號決定，角的值由確定對這種思想，務必強化訓練，加深認識 3．歸納總結并熟練掌握好三角函數(shù)的化簡與求值的常用方法和技巧 ①三角函數(shù)化簡時，在題設的要求下，首先應合理利用有關公式，還要盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)種數(shù)，盡量化同角、化同名

12、等其他思想還有：異次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差為乘積、化乘積為和差、特殊角三角函數(shù)與特殊值互化等 ②三角函數(shù)的求值問題，主要有兩種類型一關是給角求值問題；另一類是給值求角問題它們都是通過恰當?shù)淖儞Q，設法再與求值的三角函數(shù)式、特殊角的三角函數(shù)式、已知某值的三角函數(shù)式之間建立起聯(lián)系選用公式時應注意方向性、靈活性，以造成消項或約項的機會，簡化問題 4．關于三角函數(shù)式的簡單證明三角恒等證明分不附加條件和附加條件兩種，證明方法靈活多樣一般規(guī)律是從化簡入手，適當變換，化繁為簡，不過這里的變換目標要由所證恒等式的特點來決定 ①不附加條件的三角恒等式證明：多用綜合法、分析法、在特定的條

13、件下，也可使用數(shù)學歸納法 ②附加條件的三角恒等式證明：關鍵在于恰當而適時地使用所附加的條件，也就是要仔細地尋找所附加條件和要證明的等式之間的內(nèi)在聯(lián)系常用的方法是代入法和消元法 三角恒等證明中要重點會用和差與積的互化公式，掌握等價轉化的思想和變量代換的方法證明的關鍵是：發(fā)現(xiàn)差異——觀察等式兩邊角、函數(shù)、運算間的差異；尋找聯(lián)系——選擇恰當公式，找出差異間的聯(lián)系；合理轉化促進聯(lián)系，創(chuàng)造性地應用基本公式 而關于角的恒等式或條件恒等式的證明，一般來說，要證，先證明的同名三角函數(shù)值相等，即，再證明在三角函數(shù)的同一單調區(qū)間內(nèi)，而后由函數(shù)的單調性得出 5．在解有關三角形的問題中，銳角三角函數(shù)的

14、定義、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具注意三角形面積公式，的妙用和三角形內(nèi)角和的制約關系的作用 6．求三角函數(shù)最值的常用方法是：配方法、判別式法、重要不等式法、變量代換法、三角函數(shù)的單調性和有界性等其基本思想是將三角函數(shù)的最值轉化為代數(shù)函數(shù)的最值 四、三角函數(shù)中應注意的問題 (一)本章內(nèi)容的重點是：任意角三角函數(shù)的概念，同角三角函數(shù)間的關系式、誘導公式及其運用，正弦、余弦的和角公式，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質難點是：弧度制的慨念，綜合運用本章公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡及恒等式的證明，周期函數(shù)的概念，函數(shù)的圖象與正弦曲線的關系關鍵是：使學生熟練掌握任意角三角函數(shù)的定義，講清

15、余弦的和角公式的特征及其差角公式、正弦的和角公式的變化，正弦曲線的畫法和正弦函數(shù)的性質 由于課時較緊，教學中應遵循大綱所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補充已被刪簡的知識點例如，三角函數(shù)基本上只講正弦、余弦、正切三種；同角三角函數(shù)的基本關系式只講 ，，三個；除（k∈Z）外，其余誘導公式中，要求學生記住并能靈活運用的，只是用正弦、余弦表示那幾個，以后求tan可通過用科學計算器或者轉化為 來求；在推導正切的和角公式以及畫正切函數(shù)的圖象時，出現(xiàn)了正切的誘導公式，但這只作為推導的中間步驟，不要求學生記憶；積化和差與和差化積公式、半角公式也只是作為和(差)角公式的應用出現(xiàn)一下，結果不要求記憶，更不要求運

16、用；此外，也不要補充“把化成一個角的三角函數(shù)的形式”這樣的例習題 (二)在講述弧度制的優(yōu)點、角度制的不足時，要注意科學性事實上，角的概念推廣后，無論用弧度制還用角度制，都能在角的集合與實數(shù)集R及之間建立起一種一一對應的關系說“每個角都有唯一的實數(shù)與它對應”時，這個實數(shù)可以取這個角的弧度數(shù)，或度數(shù)，或角度制下的分數(shù)，或角度制下的秒數(shù)，所以對應法則不是唯一的，但每一種對應法則下對應的實數(shù)是唯一的所以不要認為只有弧度制才能將角與實數(shù)一一對應有的教師認為角度制的計量單位太小，而弧度制的計量單位大，而且可以省略不寫，這種說法雖有一定道理，但在科學上并不具有充足的理由，因為小有小的好處，何況坐標系中兩

17、條數(shù)軸上的單位長度可以不一致關鍵在于用角度制表示角的時候，我們總是十進制、六十進制并用的，例如角其中61、21、12都是十進數(shù)，而度、分、秒之間的關系是六十進(退)位的，這樣，為了找出與角對應的實數(shù)(我們學的實數(shù)都是十進數(shù))，要經(jīng)過一番計算，這就不太方便了 (三)定義了任意角的三角函數(shù)以后，嚴格地說，例如，只有 ，才可以說是正弦函數(shù)；六種函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù)，說明不是這六種函數(shù)的函數(shù)，都不能說是三角函數(shù)，例如可以說是2x的正弦函數(shù)(這時可說它是三角函數(shù))，也可以說是正弦函數(shù)與正比例函數(shù) 的復合函數(shù)，但不能說是x的正弦函數(shù)另一點是函數(shù)的定義域，三角函數(shù)或與其相關的函數(shù)總是附帶定義域的，所以教學中

18、不宜隨便說(或寫)“正弦函數(shù)y=sinx”，需知“函數(shù)，”只是正弦函數(shù)的一個周期，不要把部分當作整體 (四)關于已知三角函數(shù)值求角，在講解相關例題時，可以利用設輔助角(即通過設輔助元素把未知轉化為已知，這是化歸思想的運用)來求解，把求解過程調整為： 1、如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對應的銳角，如果函數(shù)值為負數(shù)，則先求出與其絕對值相應的銳角 2、決定角x可能是第幾象限角 3、如果函數(shù)值為負數(shù)，則根據(jù)角x可能是第幾象限角，得出 內(nèi)對應的角——如果它是第二象限角，那么可表示為 ;如果它是第三或第四象限角，那么可表示為 或 也可以把上述輔助角看作參變量(x為自變量)，那么所提供的方法就

19、可以看作參數(shù)的應用新大綱把參數(shù)的知識分散在有關的教學內(nèi)容中，教學時適時提醒學生注意使用，這是有好處的 (五)本章所使用的符號及其用法，全部與國家標準所規(guī)定的取得一致，在板書中逐漸達到規(guī)范化物理教科書也是這樣做的因此在布置和批改作業(yè)時，對于本章中的幾道與物理(力學、電學)有關的習題，解答時使用的符號及其用法，應與教科書上的相同，以免與物理教師講課時的要求發(fā)生矛盾，弄得學生無所適從 (六)注意符合學生的認識規(guī)律除了從實際問題引入數(shù)學概念之外，在這方面的措施有：(1)重建數(shù)形結構首先通過平面直角坐標系 (數(shù)形結合)定義任意角的三角函數(shù)，在得到“終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等”即第一組誘

20、導公式后，就引入與單位圓有關的有向線段，將任意角的正弦、余弦、正切函數(shù)值分別用它們的幾何形式(三角函數(shù)線)表示出來；然后學習同角三角函數(shù)的兩個基本關系式，其他誘導公式，以及兩角和與差的三角函數(shù)，這一部分屬于式的化簡、求值、恒等關系的證明以及它們的簡單應用，研究方法以數(shù)為主，以形為輔；最后學習三角函數(shù)的圖象和性質、其應用包括已知三角函數(shù)值求角，這一部分的研究方法則以形為主，以數(shù)為輔(2)利用學生已有的認知結構首先利用二次函數(shù)的知識來解決問題；建立任意角的概念時，利用學生觀看體操節(jié)目已有的例如對于“轉體720度”的直覺和語詞記憶；畫余弦函數(shù)的圖象時，利用正弦曲線和誘導公式，已知三角函數(shù)值求角時，利用三角函數(shù)的圖象和性質(3)精簡認知結構，略去或簡化不必要的程序例如，從銳角三角函數(shù)直接推廣到任意角三角函數(shù)，略去了講鈍角三角函數(shù)這一程序這樣做不僅節(jié)約了課時，而且密切了“任意角”與 “任意角三角函數(shù)”的聯(lián)系，反而加強了后者這一知識的發(fā)生和形成過程