高中數(shù)學(xué)《空間中的垂直關(guān)系》學(xué)案5 新人教B版必修2

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1、空間中的垂直關(guān)系 新課標(biāo)要求 通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理： ◆一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。 ◆ 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面垂直。 通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明： ◆兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。 能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。 重點(diǎn)難點(diǎn)聚焦 直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定不光是確立垂直關(guān)系的重要依據(jù)，也以后計(jì)算角和距離重要環(huán)節(jié)。因此，垂直關(guān)系及其相互轉(zhuǎn)化是整個(gè)立體幾何部分的重點(diǎn)和關(guān)鍵。 高考分析及預(yù)策 　 近

2、年來(lái)，立體幾何高考命題形式比較穩(wěn)定，題目難易適中，常常立足于棱柱、棱錐和正方體，復(fù)習(xí)是要以多面體為依托，始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)和判定作為考查重點(diǎn)。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標(biāo)教材中將立體幾何要求進(jìn)行了降低，重點(diǎn)放在對(duì)圖形及幾何體的認(rèn)識(shí)上，實(shí)現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，是知識(shí)深化和拓展的重點(diǎn)，因而在這部分知識(shí)點(diǎn)上命題，將是重中之重。 題組設(shè)計(jì) 再現(xiàn)型題組 ⒈（2020上海，13） 給定空間中的直線l及平面a，條件“直線l與平面a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面a垂直”的（ ）條件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．

3、既非充分又非必要 ⒉已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線l是異面直線AB1 和A1D的公垂線，則直線l與直線BD1的關(guān)系為（ ） A．l⊥BD1 B．l∥BD1 C．l與BD1 相交 D．不確定 3．如圖，在四面體ABCD中，，，， （1）四面體ABCD的各面中有幾個(gè)直角三角形？為什么？ （2）四面體ABCD的各面中有幾組平面互相垂直？為什么？ （3）你能找出A在面BCD上的射影嗎？為什么？ 鞏固型題組 ⒋如圖１所示，為正方形，⊥平面，過(guò)且垂直于的平面分別交于．求證：，． 5．

4、如圖２，在三棱錐中，，，作，Ｅ為垂足，作于．求證：． 6．如圖３，是圓的直徑，是圓周上一點(diǎn)，平面．若 ，為垂足，是上任意一點(diǎn)，求證：平面⊥平面． 提高型題組 7.如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90，AA1 ＝，D 是A1B1 中點(diǎn)．（1）求證C1D ⊥平面A1B ；（2）當(dāng)點(diǎn)F 在BB1 上什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1 ⊥平面C1DF ？并證明你的結(jié)論。 反饋型題組 8．（2020江西理,7）如圖，正方體AC1的棱長(zhǎng)

5、為1，過(guò)點(diǎn)A作平面A1BD的垂線，垂足為點(diǎn)H．則以下命題中，錯(cuò)誤的命題是（ ） A．點(diǎn)H是△A1BD的垂心 B．AH垂直平面CB1D1 C．AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C1 D．直線AH和BB1所成角為45°． 9.（1999全國(guó)，18）α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線.給出四個(gè)論斷：①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α 以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題： 。 10. 如圖，△ABC 為正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 B

6、D ，M 是EA 的中點(diǎn)，求證：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA。 11. 求證：如果兩個(gè)相交平面都與另一個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面的交線l垂直于另一個(gè)平面 空間中的垂直關(guān)系（解答部分） 再現(xiàn)型題組 ⒈ 【提示或答案】C． 【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】線面垂直定義：如果一條直線l和一個(gè)平面α相交，并且和平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l和平面α互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面α叫做直線l的垂面,直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足。

7、直線l與平面α垂直記作：l⊥α。 ⒉【提示或答案】B． 【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。 直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。 ⒊【提示或答案】 四個(gè)； 三組； （3）BD的中點(diǎn)E 【基礎(chǔ)知識(shí)聚焦】?jī)蓚€(gè)平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面。 兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。 兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）若兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它

8、們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 鞏固型題組 ⒋【證明】∵平面，　∴． 　　∵，∴平面．　又∵平面，∴． 　　∵平面，∴． 　　∴平面．∴．同理可證． 【點(diǎn)評(píng)】本題欲證線線垂直，可轉(zhuǎn)化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉(zhuǎn)化中，平面起到了關(guān)鍵作用，同學(xué)們應(yīng)多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實(shí)現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化． 判定空間兩直線垂直的方法有： ⑴由定義：若兩條直線所成的角是直角，則它們互相垂直． ⑵平面幾何中證明線線垂直的方法； ⑶三垂線定理及其逆定理． ⑷線面垂直的性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面互相垂直，則這條直線和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直． (5)向量方法。

9、 5. 【證明】取的中點(diǎn)Ｆ，連結(jié)，． ∵，∴． ∵，∴． 又，∴平面． ∵平面，∴． 又，，　 ∴平面，． ∵，，，∴ 平面． 【點(diǎn)評(píng)】本題在運(yùn)用判定定理證明線面垂直時(shí)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；而證明線線垂直時(shí)，又轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．如此反復(fù)，直到證得結(jié)論． 判定直線與平面垂直的方法有： ⑴由定義：如果一條直線和一個(gè)平面相交，且和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平面互相垂直． ⑵線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．

10、 ⑶面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面． ⑷向量方法． 6.【證明】∵是圓的直徑，∴． ∵平面，平面，∴．∴平面． ∵平面，　∴平面⊥平面． ∵，平面∩平面＝，∴⊥平面． ∵平面，∴平面⊥平面． 【點(diǎn)評(píng)】證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般可先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發(fā)尋找線線垂直的關(guān)系． 判定平面與平面垂直的方法有： ⑴由定義：相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面． ⑵面面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直． ⑶向量方法． 提

11、高型題組 ⒌【解法】（1）證明：如圖，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱， ∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。 又 D 是A1B1 的中點(diǎn)，∴ C1D ⊥A1B1 。 ∵ AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D 平面A1B1C1 ， ∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面AA1B1B。 （2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延長(zhǎng)DE 交BB1 于F ，連結(jié)C1F ，則AB1 ⊥平面C1DF ，點(diǎn)F 即為所求。 事實(shí)上，∵ C1D ⊥平面AA1BB ，AB1 平面AA1B1B ， ∴ C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，D

12、F C1D ＝D ， ∴ AB1 ⊥平面C1DF 。 【點(diǎn)評(píng)】本題（1）的證明中，證得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是開(kāi)放性探索問(wèn)題，注意采用逆向思維的方法分析問(wèn)題。 課堂小結(jié) 1．證明空間線面垂直需注意以下幾點(diǎn)： ①由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。 ②立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。 ③明確何時(shí)應(yīng)用判定定理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。 2. 要有升降

13、維”思想，熟練掌握各類垂直的相互轉(zhuǎn)化： 線線垂直 線面垂直 面面垂直 每一垂直的判定就是從某一垂直開(kāi)始轉(zhuǎn)向另一垂直最終達(dá)到目的。 例如：有兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直。 運(yùn)用降維的方法把立體空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面或直線問(wèn)題進(jìn)行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問(wèn)題得到解決。運(yùn)用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的重要方法。平面圖形的翻折問(wèn)題的分析與解

14、決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運(yùn)用的過(guò)程。 反饋型題組 8.D 9.m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥βα⊥β． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線線、線面、面面之間關(guān)系的判定與性質(zhì).但題型較新穎，主要表現(xiàn)在：題目中以立體幾何知識(shí)為背景，給出了若干材料，要求學(xué)生能將其組裝成具有一定邏輯關(guān)系的整體?？疾橹R(shí)立足課本，對(duì)空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、操作能力和思維的靈活性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強(qiáng)能力考查的方向． 10. （1）如圖，取EC 中點(diǎn)F ，連結(jié)DF。 ∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。 ∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。 ∵

15、 BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，則四邊形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。 又BA ＝BC ＝DF ，∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。 （2）取AC 中點(diǎn)N ，連結(jié)MN 、NB ， ∵ M 是EA 的中點(diǎn)，∴ MN EC。 由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四邊形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。 ∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中點(diǎn)，∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ， ∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，則平面ECA ⊥平面BDM。 （3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，∴ 平面DEA ⊥平面ECA。 11. 已知：平面、、，，且.求證：. 【方法一】設(shè)，,在內(nèi)作，. 由平面與平面垂直的性質(zhì)可得：,因?yàn)?,所以 . 同理 ,故 . 【方法二】設(shè)，,在內(nèi)作直線，在內(nèi)作直線 由平面與平面垂直的性質(zhì)得：，,故 . 又因?yàn)?,,得，因?yàn)?，,故 ,所以 .