（新課標）2020高考數(shù)學大一輪復習 第2章 第10節(jié) 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算課時作業(yè) 理

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1、課時作業(yè)(十三)　變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算 一、選擇題 1．(2020·浙江溫州聯(lián)考)已知偶函數(shù)f(x)在R上任一取值都有導數(shù)，且f′(1)＝1，f(x＋2)＝f(x－2)，則曲線y＝f(x)在x＝－5處的切線的斜率為(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案：A 解析：由于f(x)是R上的偶函數(shù)，故其圖象關于y軸對稱，∴f′(－x)＝－f′(x)，又f(x＋2)＝f(x－2)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，故f(x)在x＝－5處的導數(shù)就是在x＝－1處的導數(shù)，又f′(－1)＝－f′(1)＝－1，∴曲線y＝f(x)在x＝－5處的切線的斜率為－1，故應選A. 2．一質(zhì)點沿直

2、線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為s＝t3－t2＋2t，那么速度為零的時刻是(　　) A．0秒　　 B．1秒末 C．2秒末　　 D．1秒末和2秒末 答案：D 解析：∵s＝t3－t2＋2t， ∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2. 令v＝0，得t2－3t＋2＝0，解得t1＝1或t2＝2. 故應選D. 3．已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)＝2f(2－x)＋ex－1＋x2，則曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程是(　　) A．2x－y－1＝0 B．x－y－3＝0 C．3x－y－2＝0 D．2x＋y－3＝0 答案：B 解析：令x＝1，解得f(1)＝－2.對等式兩邊

3、求導，得f′(x)＝－2f′(2－x)＋ex－1＋2x，令x＝1，解得f′(1)＝1，所以切線方程為y＋2＝x－1，即x－y－3＝0. 故應選B. 4．(2020·鄭州模擬)曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為(　　) A. B． C． D．1 答案：A 解析：y′x＝0＝(－2e－2x)x＝0＝－2，故曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線方程為y＝－2x＋2，易得切線與直線y＝0和y＝x的交點分別為(1,0)，，故圍成的三角形的面積為×1×＝.故應選A. 5．已知函數(shù)f(x)＝xn＋1(n∈N*)的圖象與直線x＝1交于點P，若

4、圖象在點P處的切線與x軸交點的橫坐標為xn，則log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012的值為(　　) A．－1 B．1－log2 0132 012 C．－log2 0132 012 D．1 答案：A 解析：函數(shù)的導數(shù)為f′(x)＝(n＋1)xn，所以在x＝1處的切線斜率為k＝f′(1)＝n＋1， 所以函數(shù)f(x)＝xn＋1在點P處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)， 令y＝0，得xn＝，所以x1·x2·…·x2 012＝××…×＝， 所以log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012 ＝log2 013(x

5、1·x2·…·x2 012)＝log2 013＝－1，故應選A. 6．(2020·泰安模擬)給出定義：若函數(shù)f(x)在D上可導，即f′(x)存在，且導函數(shù)f′(x)在D上也可導，則稱f(x)在D上存在二階導函數(shù)．記f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，則稱f(x)在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝sin x＋cos x　　 B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1　　 D．f(x)＝xex 答案：D 解析：由凸函數(shù)的定義可知，該題是判斷f(x)的二階導函數(shù)f″(x)的正負． 對于A，f′(x)＝cos x

6、－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x， 在x∈上，恒有f″(x)＜0； 對于B，f′(x)＝－2，f″(x)＝－，在x∈上，恒有f″(x)＜0； 對于C，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，在x∈上，恒有f″(x)＜0； 對于D，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝ex＋ex＋xex＝2ex＋xex，在x∈上，恒有f″(x)＞0. 故應選D. 二、填空題 7．若曲線y＝kx＋ln x在點(1，k)處的切線平行于x軸，則k＝________. 答案：－1 解析：y′|x＝1＝0，即當x＝1時，k＋＝k＋1＝0，解得k＝－1. 8．(2020·成都模擬

7、)已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的函數(shù)f′(x)是偶函數(shù)，則曲線y＝f(x)在原點處的切線方程是________． 答案：y＝－2x 解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2是偶函數(shù)， ∴a＝0， ∴f(x)＝x3－2x，f′(x)＝3x2－2， ∴f′(0)＝－2，f(0)＝0， ∴切線方程為y＝－2x. 9．(2020·江西)若曲線y＝xln x上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標是________． 答案：(e，e) 解析：由題意，得y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，直線2x－y＋1＝0的斜率為2.設P(m，n)，則1＋ln

8、 m ＝2，解得m＝e，所以n＝eln e＝e，即點P的坐標為(e，e)． 10．(2020·煙臺模擬)已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為________． 答案：2 解析：由直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，可知＝1，即x＋a＝1，此時y＝ln(x＋a)＝ln 1＝0，且x＋1＝0，x＝－1. ∴－1＋a＝1，解得a＝2. 三、解答題 11．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點P(1，－2)，過點P作直線l. (1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點的直線方程； (2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點異于P的直線方程．

9、解：(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3，過點P且以P(1，－2)為切點的直線的斜率f′(1)＝0， ∴所求的直線方程為y＝－2. (2)設過P(1，－2)的直線l與y＝f(x)切于另一點(x0，y0)， 則f′(x0)＝3x－3. 又直線過(x0，y0)，P(1，－2)， 故其斜率可表示為＝， 又＝3x－3， 即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)， 解得x0＝1(舍去)或x0＝－， 故所求直線的斜率為k＝3×＝－， ∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0. 12．(2020·深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2

10、)x＋b(a，b∈R)． (1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值； (2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍． 解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由題意，得 解得b＝0，a＝－3或a＝1. (2)∵曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線， ∴關于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0 有兩個不相等的實數(shù)根， ∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 即4a2＋4a＋1＞0， ∴a≠－. ∴a的取值范圍為∪. 13．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6

11、ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直線m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在k的值，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是曲線y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由． 解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0， 即3a－6－6a＝0， ∴a＝－2. (2)存在． ∵直線m恒過定點(0,9)，直線m是曲線y＝g(x)的切線，設切點為(x0,3x＋6x0＋12)， ∵g′(x0)＝6x0＋6， ∴切線方程為y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，將點(0,9)代入，得x0＝±1， 當x0＝－1時，切線方程為y＝9； 當x0＝1時，切線方程為y＝12x＋9. 由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0， 即有x＝－1或x＝2， 當x＝－1時，y＝f(x)的切線方程為y＝－18； 當x＝2時，y＝f(x)的切線方程為y＝9. ∴公切線是y＝9. 又令f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12， ∴x＝0或x＝1. 當x＝0時，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－11； 當x＝1時，y＝f(x)的切線方程為y＝12x－10， ∴公切線不是y＝12x＋9. 綜上所述，公切線是y＝9，此時k＝0.