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1、專題限時(shí)集訓(xùn)(九)
[第9講 數(shù)列的概念與表示、等差數(shù)列與等比數(shù)列]
(時(shí)間:45分鐘)
1.已知{an}為等差數(shù)列,且a7-2a4=-1,a3=0,則公差d=( )
A.-2 B.-
C. D.2
2.在等比數(shù)列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若am=a1a2a3a4a5,則m=( )
A.9 B.10
C.11 D.12
3.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若a2=1,a4=5,則S5等于( )
A.7 B.15
C.30 D.31
4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a
2、n},滿足a1·a9=16,則a2·a5·a8的值為( )
A.16 B.32
C.48 D.64
5.公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a2,a3,a6成等比數(shù)列,則其公比為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.等差數(shù)列{an}中,a5+a6=4,則log2(2a1·2a2·…·2a10)=( )
A.10 B.20
C.40 D.2+log25
7.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5,若存在兩項(xiàng)am,an,使得=4a1,則+的最小值為( )
A. B.1 C. D.
8.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a3=3S
3、2+1,a2=3S1+1,則公比q=( )
A.1 B.2
C.4 D.8
9.已知{an}是公差為d的等差數(shù)列,若3a6=a3+a4+a5+12,則d=________.
10.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為2,公比為2,則=________.
11.?dāng)?shù)列{an}中,a1=2,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an+1=an+2;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an+1=2an則a9=________.
12.已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且S1,2S2,3S3成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=an+n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
13.
4、等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,滿足2S2=a2(a2+1),且a1=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的最小值項(xiàng).
14.已知等差數(shù)列{an}(n∈N+)中,an+1>an,a2a9=232,a4+a7=37.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若將數(shù)列{an}的項(xiàng)重新組合,得到新數(shù)列{bn},具體方法如下:b1=a1,b2=a2+a3,b3=a4+a5+a6+a7,b4=a8+a9+a10+…+a15,…,依此類推,第n項(xiàng)bn由相應(yīng)的{an}中2n-1項(xiàng)的和組成,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
專題限時(shí)集訓(xùn)(九
5、)
【基礎(chǔ)演練】
1.B [解析] a7-2a4=-1,a3=0,
得得
2.C [解析] 由am=a1a2a3a4a5得a1qm-1=a=(a1q2)5,又a1=1,所以qm-1=q10,解得m=11,故選C.
3.B [解析] 由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得:5=1+2d,d=2,a1=-1,S5=15.
4.D [解析] 等比數(shù)列{an},a1·a9=a2·a8=a=16,各項(xiàng)均為正數(shù),∴a5=4,a2·a5·a8=a=43=64.即a2·a5·a8的值為64.
【提升訓(xùn)練】
5.C [解析] 設(shè)公差為d,則(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),即d2+2a1d=0,又d≠
6、0,所以d=-2a1,等比數(shù)列的公比為==3.
6.B [解析] log2(2a1·2a2·…·2a10)=a1+a2+…+a10=5(a5+a6)=20.
7.D [解析] a7=a6+2a5,可知q=2,又=4a1,于是a1qm-1a1qn-1=16a,qm+n-2=16,m+n=6,+=(m+n)+=5++≥5+2=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即m=2,n=4時(shí),等號(hào)成立.故+的最小值為.
8.C [解析] 兩式相減得a3-a2=3a2,即a3=4a2,所以q==4.
9.2 [解析] 3a6=a3+a4+a5+12?3(a1+5d)=a1+2d+a1+3d+a1+4d+12?6d=12,所以
7、d=2.
10.4 [解析] an=2n,所以===22=4.
11.92 [解析] 由題意,得a2=a1+2=4,a3=8,a4=10,a5=20,a6=22,a7=44,a8=46,a9=92.
12.解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,
若q=1,則S1=a1=1,2S2=4a1=4,3S3=9a1=9,故S1+3S3=10≠2×2S2,與已知矛盾,故q≠1,從而得Sn==,
由S1,2S2,3S3成等差數(shù)列,得S1+3S3=2×2S2,
即1+3×=4×,
解得q=,所以an=a1·qn-1=.
(2)由(1)得,bn=an+n=n-1+n,
所以Tn=(a1+1)+
8、(a2+2)+…+(an+n)
=Sn+(1+2+…+n)=+
=+=.
13.解:(1)由2S2=a+a2,可得2(a1+a1+d)=(a1+d)2+(a1+d).
又a1=1,可得d=1或d=-2(舍去).故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,∴an=n.
(2)根據(jù)(1)得Sn=,
bn===n++1.
由于函數(shù)f(x)=x+(x>0)在(0,)上單調(diào)遞減,
在[,+∞)上單調(diào)遞增,而3<<4,
且f(3)=3+==,f(4)=4+==,
所以當(dāng)n=4時(shí),bn取得最小值,且最小值為+1=.
即數(shù)列{bn}的最小值項(xiàng)是b4=.
14.解:(1)由a2a9=2
9、32與a4+a7=a2+a9=37,
解得:或(由于an+1>an,舍去),
設(shè)公差為d,則解得
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n+2(n∈N+).
(2)由題意得:
bn=a2n-1+a2n-1+1+a2n-1+2+…+a2n-1+2n-1-1
=(3·2n-1+2)+(3·2n-1+5)+(3·2n-1+8)+…+[3·2n-1+(3·2n-1-1)]
=2n-1×3·2n-1+[2+5+8+…+(3·2n-1-4)+(3·2n-1-1)],
而2+5+8+…+(3·2n-1-4)+(3·2n-1-1)是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)列的前2n-1項(xiàng)的和,所以2+5+8+…+(3·2n-1-4)+(3·2n-1-1)
=2n-1×2+×3=3·22n-3+·2n.
所以bn=3·22n-2+3·22n-3+·2n=·22n+·2n,
所以bn-·2n=·22n,
所以Tn=(4+16+64+…+22n)=×=(4n-1).