內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第一講函數(shù)(理科)

《內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第一講函數(shù)(理科)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《內(nèi)蒙古伊圖里河高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第一講函數(shù)(理科)（32頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、此資料由網(wǎng)絡(luò)收集而來(lái)，如有侵權(quán)請(qǐng)告知上傳者立即刪除。資料共分享，我們負(fù)責(zé)傳遞知識(shí)。 第一節(jié) 初等函數(shù) 函數(shù)是高中知識(shí)的主干知識(shí)，是高中知識(shí)的一條主線，它涉及了函數(shù)的概念和性質(zhì)，基本初等函數(shù)，數(shù)列，不等式，方程，導(dǎo)數(shù)，解析幾何和立體幾何等，是歷年高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和必考點(diǎn).初等函數(shù)（由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)運(yùn)算或復(fù)合組成的）是基礎(chǔ). 一般地, 在高考試題中，考察函數(shù)知識(shí)都是以初等函數(shù)為載體.單獨(dú)以定義域、值域、奇偶性等命題大多是選擇題或填空題，綜合題中涉及函數(shù)性質(zhì)的往往只是試題的一部分. 難度值一般控制在0.5～0.8之間. 考試要求： ①了解映射概念,理解函數(shù)的概念,會(huì)選擇適當(dāng)方法

2、表示函數(shù);②會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；③了解函數(shù)的奇偶性,能判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性；④了解反函數(shù)的概念及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)；⑤理解有理指數(shù)冪的含義,掌握冪的運(yùn)算(性質(zhì)),掌握指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì). 題型一 判定初等函數(shù)的性質(zhì) 例1 求函數(shù)的值域. 點(diǎn)拔 函數(shù)是三次函數(shù)與三角函數(shù)復(fù)合函數(shù)而成的，令得，本題 就轉(zhuǎn)化為求，的值域. 三次函數(shù)求值域常用導(dǎo)數(shù)的方法. 解 ,則,∴, 由,得或；由,，得，列表： t 1 0 0 減函數(shù) 有極小值 增函數(shù) 函數(shù)有極小值 又,,∴. 易錯(cuò)點(diǎn) ①令，

3、忽略了；②錯(cuò)誤地認(rèn)為最值一定在端點(diǎn)處取得. 變式與引申1： （2020江西文第6題） 函數(shù)的值域?yàn)椋? ） A. B. C. D. 題型二 抽象函數(shù)的性質(zhì) 例2 已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且當(dāng)時(shí)， ，求在上的值域. 點(diǎn)拔 此題是抽象函數(shù)，但是初等函數(shù)中，可以找到一個(gè)具體函數(shù)滿足條件，如，由此 猜想抽象函數(shù)在是遞增函數(shù)，再用定義證明遞增.：設(shè)，且，則，再利用判斷與的大小關(guān)系.下面只要求出的值就行. 解 設(shè)，且，則，由條件當(dāng)時(shí)， 又 為增函數(shù)， 令得，再令用得出, 令 得 上的值域?yàn)? 易錯(cuò)點(diǎn) 利用性質(zhì)“當(dāng)時(shí)，”

4、證明單調(diào)性，易出錯(cuò). 變式與引申2： 設(shè)函數(shù)y=是定義在R上的函數(shù)，并且滿足下面三個(gè)條件： ①對(duì)任意正數(shù)有；②當(dāng)時(shí)，；③ . (1)求的值; （2）證明上是減函數(shù). 題型三 函數(shù)奇偶性的判斷 例3 判斷函數(shù)的奇偶性. 點(diǎn)拔 利用定義判斷函數(shù)的奇偶性：第一步：看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱:若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 為非奇偶非函數(shù)；若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行第二步：驗(yàn)證與的關(guān)系，若（或）則為偶函數(shù)；若 （或）則為奇函數(shù).當(dāng)難于得出和 的時(shí)候，可以考慮驗(yàn)證特殊值. 解 當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，, ∵,∴；∵,，,∴既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). 易錯(cuò)點(diǎn) ①用定義判斷奇偶性時(shí)

5、，容易漏掉的情況. ②的情況難于得出與的關(guān)系，易出錯(cuò). 變式與引申3： 設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)．討論的奇偶性. 題型四 函數(shù)思想的應(yīng)用 例4 關(guān)于 x的方程有四個(gè)不同的解，求的取值范圍. 點(diǎn)拔 此題有多種思考方法：法1： 原方程看作含絕對(duì)值的方程，則采用去絕對(duì)值的方法，分段討論解一 元二次方程：和.原方程有四個(gè)不同的解，等價(jià)于有2個(gè)不等的正解，且有2個(gè)不同的負(fù)數(shù)解.問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元二次方程根的分布問(wèn)題. 法2：把原方程看作是關(guān)于的一元二次方程，則令，則原問(wèn)題等價(jià)于有2個(gè)不等的正數(shù)解. 法3：采用函數(shù)思想來(lái)觀察方程，則可以把原方程變?yōu)椋海瑔?wèn)題等價(jià)于函數(shù)和的圖像有四個(gè)不同的交點(diǎn).事實(shí)

6、上，我們還有下面各種變形： 解 法1 有四個(gè)不同的解等價(jià)于有2個(gè)不等的正解， 且有2個(gè)不同的負(fù)數(shù)解. 有2個(gè)不等的正解 有2個(gè)不同的負(fù)數(shù)解 綜上所述：. 法2 令則原問(wèn)題等價(jià)于有2個(gè)不等的正數(shù)解. . 法3 在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出直線與曲線的圖像，如圖觀圖可知， 圖 的取值必須滿足,解得. 易錯(cuò)點(diǎn) ①作為二次方程分類(lèi)，運(yùn)算量大，易出錯(cuò); ②易忽略; ③同學(xué)們很難將四個(gè)不同解等價(jià)轉(zhuǎn)化其它問(wèn)題.. 變式與引申4： (2020山東理)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 本節(jié)主要考查 ①初等函數(shù)的基本性質(zhì)（定義域，值域，奇

7、偶性等）,理解函數(shù)的基本問(wèn)題是初等函數(shù)問(wèn)題；②通過(guò)變量代換將一般函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)問(wèn)題解題；③熟練作出初等函數(shù)的圖像利用數(shù)形結(jié)合；④函數(shù)思想. 點(diǎn)評(píng) （1）基本方法：①熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)和圖像；②初等函數(shù)利用變量代換轉(zhuǎn)化為基本初 等函數(shù)； ③求出中間變量的范圍. （2）求定義域的常用方法: 根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)式有意義，列出不等式組，再解出.函數(shù)式有意義的依據(jù)是： ①分式分母不為；②偶次方根的被開(kāi)放數(shù)不能小于；③對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于,底數(shù)大于且不等于1； ④終邊在軸上的角的正切沒(méi)有意義；⑤沒(méi)有意義；⑥復(fù)合函數(shù)的定義域，要保證內(nèi)函數(shù)的值域是外函數(shù)的定義域

8、. （3）求值域的常用方法:①觀察法；②配方法；③導(dǎo)數(shù)法；④不等式法；⑤單調(diào)性法；⑥數(shù)形結(jié)合法； 求定義域 開(kāi)始 關(guān)于原 點(diǎn)對(duì)稱 是 否 輸出“為 非奇非偶函數(shù)” 否 輸出“為 非奇非偶函數(shù)” 輸出“為 奇或偶函數(shù)” 是 結(jié)束 ⑦判別式法；⑧有界性法；⑨換元法. （4）判斷函數(shù)奇偶性的步驟： 習(xí)題1—1 1. 函數(shù)的圖象( ). A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱 C．關(guān)于x軸對(duì)稱 D．關(guān)于y軸對(duì)稱 2. 已知函數(shù)的值域是,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________

9、____． 3. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，求的值. 4. 定義在上的函數(shù),,當(dāng)時(shí),,且對(duì)任意的、,有. （1）求證：f(0)=1；（2）求證：對(duì)任意的,恒有； 5. 設(shè)函數(shù).試討論關(guān)于的方程:在區(qū)間上的根的個(gè)數(shù). 第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)與積分 導(dǎo)數(shù)是高考命題的熱點(diǎn),也是難點(diǎn).縱觀近幾年的各省高考試題,導(dǎo)數(shù)的考題分兩個(gè)層次. （1）知識(shí)性試題 以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，以考查函數(shù)諸多性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)極值理論、單調(diào)性質(zhì)、幾何意義及其應(yīng)用為目標(biāo)，是高考導(dǎo)數(shù)與函數(shù)交匯試題的顯著特點(diǎn)和命題趨向（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次，以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)較多）. （2）綜合性試題

10、導(dǎo)數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)與數(shù)列常是高考?jí)狠S題，同時(shí)考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，尤其是分類(lèi)討論思想，是近三年來(lái)高考命題的熱點(diǎn).難度值一般控制在之間. 考試要求 ⑴了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景；⑵理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；⑶能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；⑷能用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑸了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的充分條件和必要條件,會(huì)求極大值、極小值及閉區(qū)間上的最值；⑹會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題；（7）了解定積分的實(shí)際思想、基本思想及概念，了解微積分基本定理. 題型一 導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值理論及單調(diào)性質(zhì)等 例題1 給定兩個(gè)函數(shù)解決下列問(wèn)題： （I）若在處取得極大

11、值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅱ）若在區(qū)間為增函數(shù)，求的取值范圍； （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，求的取值范圍. 點(diǎn)拔:第（I）小題在處取得極大值，即知，能解決函數(shù)所含參數(shù)，進(jìn)而求單調(diào)區(qū)間.第（Ⅱ）小題是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的逆向問(wèn)題,即求導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值在區(qū)間上恒大于,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立求函數(shù)最值.第（Ⅲ）小題可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn),通過(guò)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性與極值,利用數(shù)形結(jié)合求解. 解:（I）因?yàn)樵谔幦〉脴O值,所以.故.所以.易知函數(shù)單調(diào)增區(qū)間是;單調(diào)遞減區(qū)間是. （Ⅱ）由題意可知,因?yàn)樵趨^(qū)間（2，+）為增函數(shù),所以在區(qū)間上恒成

12、立,即恒成立.由于,所以,故. （Ⅲ）設(shè)故 .令，得，由（Ⅱ）知. ①當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞增，顯然不合題意. ②當(dāng)時(shí),隨的變化情況如下表： 1 + 0 — 0 + 極大值 極小值 欲使方程有三個(gè)不同的根，即函數(shù)與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則有，解得. 綜上，的取值范圍是. 易錯(cuò)點(diǎn):①本題中在不同區(qū)間單調(diào)時(shí)用“和”,而不能用“”連接.②恒成立問(wèn)題分離 變量易錯(cuò)求是.③通過(guò)導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性與極值,并利用數(shù)形結(jié)合求 解,學(xué)生難以掌握. 圖1-2-1 變式與延申1： (2020江西考試大綱調(diào)研卷七第21題)函數(shù)的圖象如圖所示

13、. ⑴若函數(shù)在處的切線方程為 ⑵求函數(shù)的解析式；在（1）條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得的圖 象與的圖象有且只有在三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出 的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 題型二 導(dǎo)數(shù)與不等式 例題2 （2020新課標(biāo)全國(guó)卷第21題）設(shè)函數(shù). (1)若求的單調(diào)區(qū)間; (2)若時(shí),求的取值范圍. 點(diǎn)拔:本題主要考查導(dǎo)數(shù)與不等式的相關(guān)知識(shí),主要涉及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,由(1)可得出的不等式(此不等式較隱蔽,有時(shí)甚至需要構(gòu)造函數(shù)以便產(chǎn)生這樣的不等式),是本小題的突破口,然后討論參數(shù)的取值對(duì)導(dǎo)函數(shù)值符號(hào)的影響.分類(lèi)討論思想在此應(yīng)用甚為關(guān)鍵. 解:(1) 時(shí), 當(dāng)當(dāng) 故

14、在單調(diào)減少,在單調(diào)增加. (2) .由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故,從而當(dāng)即時(shí), ,而,于是當(dāng)時(shí), .又由可得,從而當(dāng)時(shí), 故當(dāng)時(shí), ,而,于是當(dāng),,綜合得的取值范圍為 易錯(cuò)點(diǎn): ①第(2)小題利用導(dǎo)數(shù)求的最小值,但方程難以求解;②對(duì)(1)式提供的不等式使用意識(shí)較低;③需強(qiáng)化分類(lèi)討論思想方法在解決含參不等式中的應(yīng)用. 變式與延申2： （2020湖北卷第21題）已知函數(shù)級(jí)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為. (1)用表示出; (2)若在上恒成立,求的取值范圍; (3) 題型三 導(dǎo)數(shù)與數(shù)列 例題3 （2020湖南卷第21題）數(shù)列中，是函數(shù)的極值點(diǎn). （1）當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng)； （2）

15、是否存在，使數(shù)列是等比數(shù)列？若存在的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 點(diǎn)拔:本題導(dǎo)數(shù)的使用有如用藥的“藥引”，由極值的討論喚出了的數(shù)列系列問(wèn)題.由題明確求數(shù)列通項(xiàng)的本質(zhì)是找遞推式,而題中的遞推式變化較大，應(yīng)細(xì)致討論.第(2)問(wèn)中構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)將不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值. 解:易知,令 ① 故在 ② ③. (1)當(dāng)時(shí),,則.由①知, . 因,則由①知,.因?yàn)閯t由②知, ,又因?yàn)閯t由②知, .由此猜想:當(dāng)時(shí),. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí), 事實(shí)上,當(dāng)時(shí),由前面的討論知結(jié)論成立. 假設(shè)當(dāng)時(shí), 成立,則由②知,,從而 ,所以.所以

16、當(dāng)時(shí),成立. 于是由②知,當(dāng),,而因此 (2)存在，使數(shù)列是等比數(shù)列.事實(shí)上,由②知,若對(duì)任意的,都有,則,即數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,且.而要使,即對(duì)一切都成立,只需對(duì)一切都成立.記，則. 令,因此,當(dāng)時(shí),,從而函數(shù)在上單調(diào)遞減,故當(dāng),數(shù)列單調(diào)遞減,即數(shù)列中最大項(xiàng)為,于是當(dāng)時(shí),必有,這說(shuō)明,當(dāng)時(shí), 數(shù)列是等比數(shù)列. 當(dāng)時(shí),可得,由③知,無(wú)極值,不合題意. 當(dāng),可得數(shù)列不是等比數(shù)列. 當(dāng)時(shí), 由③知,無(wú)極值,不合題意. 當(dāng)可得數(shù)列不是等比數(shù)列. 綜上,存在，使數(shù)列是等比數(shù)列,且 易錯(cuò)點(diǎn):①多情況的分類(lèi)討論;②知識(shí)和方法較為綜合. 變式與延申3： 當(dāng)正整數(shù)時(shí),比較與

17、的大小.（本題可將去掉,供思考） 題型四 導(dǎo)數(shù)與積分 例題4 （2020福建卷第20題）（Ⅰ）已知函數(shù)，其圖象記為曲線C. （i）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （ii）證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，曲線C與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線C與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，線段與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為，則為定值； （Ⅱ）對(duì)于一般的三次函數(shù)請(qǐng)給出類(lèi)似于（Ⅰ）（ii）的正確命題，并予以證明. 點(diǎn)拔:需把握好兩點(diǎn)：一是定積分上下限的確定；二是降維思想的應(yīng)用，尋求上下限變量之間的關(guān)系，其他變量全用變量表示.另外本題對(duì)運(yùn)算能力要求，計(jì)算時(shí)需謹(jǐn)慎，力求每步精確. 解法一（Ⅰ）（i）由得=， 當(dāng)和

18、時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，， 因此，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為. （ii）曲線C與其在點(diǎn)處的切線方程為，即，由，得即，解得或，故，進(jìn)而有，用替代，重復(fù)上述計(jì)算過(guò)程，可得和，又，所以，因此. （II）記函數(shù)的圖象為曲線，類(lèi)似于（Ⅰ）（ii）的正確命題為：若對(duì)任意不等于的實(shí)數(shù)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，線段與曲線所圍成封閉圖形的面積分別記為，則為定值； 證明： 因?yàn)槠揭谱儞Q不改變面積的大小，故可將曲線的對(duì)稱中心平移至坐標(biāo)原點(diǎn)，因而不妨設(shè)，類(lèi)似（Ⅰ）（ii）計(jì)算可得，因此 解法二(Ⅰ)同解法一 （II）記函數(shù)的圖象為曲線，類(lèi)似于（Ⅰ）（ii）的正確命

19、題為：若對(duì)任意不等于的實(shí)數(shù)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，曲線與其在點(diǎn)處的切線交于另一點(diǎn)，線段與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為，則為定值； 證明：由得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程方程為， 由，得， 化簡(jiǎn)：得到，，即，故 =，用代替，重復(fù)上述過(guò)程，可得和 所以 易錯(cuò)點(diǎn):①本題思維量較小，但由積分公式計(jì)算面積，字母計(jì)算的整體代換等運(yùn)算求解能力要求較高，不容易正確；②對(duì)曲線的對(duì)稱中心會(huì)有理解障礙，影響化歸與轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用. 變式與延申4： 已知通過(guò)點(diǎn)，與有一個(gè)交點(diǎn)，且,. （1）求與所圍的面積S. （2）,為何值時(shí)，S取得最小值. 本節(jié)主要考查：（1）求切線方程，討論單

20、調(diào)性，求極值和最值，導(dǎo)數(shù)與不等式問(wèn)題，利用積分計(jì)算圖形面積.（2）構(gòu)造函數(shù)，證明不等式. 函數(shù)含參時(shí)，不等式有解或恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值或?qū)?shù)進(jìn)行分類(lèi)討論. 討論極值點(diǎn)位置時(shí)用到根的分布知識(shí).（3）考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想，尤其是分類(lèi)討論思想，是近年來(lái)高考命題的熱點(diǎn). 點(diǎn)評(píng): 導(dǎo)數(shù)的思想方法和基本理論能在的許多問(wèn)題上起到居高臨下和化繁為簡(jiǎn)的作用.備考應(yīng)注意以下幾個(gè)方面: (1)導(dǎo)數(shù)的意義:變化率和切線的斜率,能夠設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)求切線方程.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)在某區(qū)間單調(diào)的區(qū)別； (2)導(dǎo)數(shù)作為工具使用:如利用單調(diào)性求最值、證明不等式、解決數(shù)列、解決不等式恒立

21、或方程解等問(wèn)題；(3)注意各小題之間的承接與提示作用，以及以為底的指對(duì)數(shù)與一次多項(xiàng)式之間的不等關(guān)系(如例2中)； (4) 積分是大學(xué)內(nèi)容的下放,要求能對(duì)公式進(jìn)行應(yīng)用,求面積方面問(wèn)題較多. (5) 注重導(dǎo)數(shù)與其他知識(shí)的交匯,重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)抓,使常見(jiàn)數(shù)學(xué)思想方法融會(huì)貫通. 習(xí)題1-2 1．已知= . 2．(2020北京卷第18題)已知函數(shù) (Ⅰ)當(dāng)=2時(shí)，求曲線=()在點(diǎn)(1，)處的切線方程； (Ⅱ)求()的單調(diào)區(qū)間. 3.（2020江蘇卷第14題）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的都有成立，求實(shí)數(shù)的值. 4．設(shè). （I）判斷函數(shù)的單調(diào)性； （Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的不等

22、式在上恒成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由； （Ⅲ）求證：，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）. 圖1-2-3 5．已知二次函數(shù)，直線，直線 （其中，為常數(shù)）；.若直線1、2與函數(shù)的圖象以及 、軸與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形如圖陰影所示. （Ⅰ）求、、的值； （Ⅱ）求陰影面積關(guān)于的函數(shù)的解析式； （Ⅲ）若問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得的圖象與 的圖象有且只有兩個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出的值；若不 存在，說(shuō)明理由. 第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性、最值和極值 函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值是高考的熱點(diǎn)，新課程中函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值的要求提高了，可能更會(huì)成為高考的熱點(diǎn)、難點(diǎn).

23、在高考試題中，函數(shù)的單調(diào)性、極（最）值往往是以某個(gè)初等函數(shù)為載體出現(xiàn)，綜合題往往與不等式、數(shù)列等聯(lián)系起來(lái)，處理方法除了定義法之外，一般采用導(dǎo)數(shù)法.難度值控制在0.3～0.6之間. 考試要求：①理解函數(shù)單調(diào)性的概念；②能判斷簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性；③能求函數(shù)的最大（小）值；④掌握基本初等函數(shù)的單調(diào)性和最值；⑤數(shù)形結(jié)合思想；⑥函數(shù)思想. 題型一：已知函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，求參變量的值. 例1 （2020年江西文科卷第17題） 設(shè)函數(shù). （1）若的兩個(gè)極值點(diǎn)為且，求實(shí)數(shù)的值； （2）是否存在實(shí)數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由. 點(diǎn)拔：因?yàn)槭侨魏瘮?shù)，所以只

24、要①利用“極值點(diǎn)的根”，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問(wèn)題；②利用在上單調(diào)＞0（＜0），轉(zhuǎn)化為判斷一元二次函數(shù)圖像能否在軸上方的問(wèn)題. 解： （1）由已知有，從而,所以； （2）由，得總有兩個(gè)不等的實(shí)根，不恒大于零，所以不存在實(shí)數(shù)，使得是上的單調(diào)函數(shù). 易錯(cuò)點(diǎn)：①三次函數(shù)的極值點(diǎn)與原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系不清； ②含參變量的問(wèn)題是逆向思維，學(xué)生易出現(xiàn)錯(cuò)誤； ③學(xué)生不會(huì)將在上是單調(diào)函數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題. 變式與引申1：已知函數(shù) （1）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍； （2）求在區(qū)間上的最大值. 題型二：已知最（極）值或其所在區(qū)域，通過(guò)單調(diào)性分析參變量的范圍. 例2 （2020年全國(guó)

25、文科卷第21題） 已知函數(shù) （1）設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間； （2）設(shè)在區(qū)間(2,3)上有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍. 點(diǎn)拔：第（1）問(wèn)中，即為一個(gè)三次函數(shù)求單調(diào)區(qū)間問(wèn)題：先求導(dǎo)，再解不等式，最后得出結(jié)論.第（2）問(wèn)利用“極值點(diǎn)”的根轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問(wèn)題. 解：（1）當(dāng)時(shí), . 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增. 綜上，的單調(diào)增區(qū)間是和,的單調(diào)減區(qū)間是. （2）解法一：，. 當(dāng)，即時(shí)，,為增函數(shù),故無(wú)極值點(diǎn). 當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)根，. 由題意知 ① 或 ② ①式無(wú)解,②式的解為. 因此的取值范圍. 解法二：,由題意的必有一根在(2

26、,3)上, 故,即,解得.因此的取值范圍. 易錯(cuò)點(diǎn)：①單調(diào)增區(qū)間易誤寫(xiě)成；②解不等式出錯(cuò)；③第（2）問(wèn)的解法一，不易分析. 變式與引申2：將（2）中改為“在區(qū)間(2,3)上有兩個(gè)極值點(diǎn)”，或改為“存在極值點(diǎn)，但在區(qū)間(2,3)上沒(méi)有極值點(diǎn)”，如何求的取值范圍？ 題型三：函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值與不等式結(jié)合的問(wèn)題 例3 設(shè)函數(shù)，已知和為的極值點(diǎn)． （1）求和的值； （2）討論的單調(diào)性； （3）設(shè)，試比較與的大?。? 點(diǎn)拔：此題是由指數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)等組合的超越函數(shù)，分析第（1）問(wèn)先由極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，再用待定系數(shù)法；第（3）問(wèn)中比較兩個(gè)函數(shù)與的大小，可構(gòu)造新函數(shù)，再通

27、過(guò)分析函數(shù)的單調(diào)性來(lái)討論與0的大小關(guān)系. 解：（1）因?yàn)椋? 又和為的極值點(diǎn)，所以， 因此解方程組得，． （2）因?yàn)椋?，所以? 令，解得，，． 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 所以在和上是單調(diào)遞增的；在和上是單調(diào)遞減的． （3）由（1）可知，故， 令，則．令，得， 因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞減． 故時(shí)，； 因?yàn)闀r(shí)，，所以在上單調(diào)遞增． 故時(shí)，． 所以對(duì)任意，恒有，又，因此， 故對(duì)任意，恒有． 易錯(cuò)點(diǎn)：①求導(dǎo)數(shù)時(shí)，易出錯(cuò)；②比較兩個(gè)函數(shù)的大小屬于不等式問(wèn)題，學(xué)生容易只從不等式的簡(jiǎn)單知識(shí)出發(fā)，而無(wú)法從構(gòu)造的新函數(shù)的單調(diào)性來(lái)分析. 變式與引申3：將第（3）問(wèn)改為：設(shè)，試證恒成立．

28、 題型四：函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值問(wèn)題的綜合應(yīng)用 例4 （2020年浙江文科卷第21題） 已知函數(shù). （1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（2，）處的切線方程； （2）設(shè)是的兩個(gè)極值點(diǎn)，是的一個(gè)零點(diǎn)，且，，求證：存在實(shí)數(shù)，使得按某種順序排列后成等差數(shù)列，并求. 點(diǎn)拔：本題為函數(shù)的極值概念、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、切線方程、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用；分析第（2）時(shí)應(yīng)從先，來(lái)確定，再用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求出確定，同時(shí)確定的順序. 解：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?（x－1）（3x－5），故，， 所以在點(diǎn)（2,0）處的切線方程為. （2）證明：因?yàn)椋?（x－a）（x－）， 由于，故. 所以f（x）的兩個(gè)極

29、值點(diǎn)為x＝a，x＝. 不妨設(shè)x1＝a，x2＝，因?yàn)?，，且x3是f（x）的零點(diǎn)，故x3＝b. 又因?yàn)椋璦＝2（b－），x4＝（a＋）＝， 所以a，，，b依次成等差數(shù)列.所以存在實(shí)數(shù)x4滿足題意，且x4＝. 易錯(cuò)點(diǎn)：學(xué)生遇到綜合類(lèi)問(wèn)題容易出現(xiàn)知識(shí)上的漏洞. 變式與引申4：（2020年浙江理科卷第22題）已知是給定的實(shí)常數(shù)，設(shè)函數(shù) ，，是的一個(gè)極大值點(diǎn)． (Ⅰ)求的取值范圍； (Ⅱ)設(shè)是的3個(gè)極值點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，可找到，使得的某種排列(其中=)依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的及相應(yīng)的；若不存在，說(shuō)明理由． 本節(jié)主要考查： （1）函數(shù)單調(diào)性； （2）單調(diào)性、極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)

30、系； （3）函數(shù)思想； （4）數(shù)形結(jié)合思想. 點(diǎn)評(píng)：（1）討論函數(shù)單調(diào)性必須在其定義域內(nèi)進(jìn)行，因此要研究函數(shù)單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集； （2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法：定義法、圖像法、復(fù)合函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法等； （3）利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)問(wèn)題，從而轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題，再而研究函數(shù)的最（極）值.需靈活應(yīng)運(yùn)用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想和分類(lèi)討論思想等. 習(xí)題1—3 1.（2020年全國(guó)文科卷I第7題）已知函數(shù).若且，則的取值范圍是

31、 ( ) A. B. C. D. 2.已知函數(shù)的定義域均為非負(fù)實(shí)數(shù)集，對(duì)任意的，規(guī)定 . 3.（2020年浙江文科卷第21題）已知函數(shù)． （1）若函數(shù)的圖像過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是-3，求a，b的值； （2）若函數(shù)在區(qū)間（1，1）上不單調(diào)，求a的取值范圍． 4.（2020年陜西文科卷第21題）已知函數(shù)，. （I）若曲線與曲線相交，且在交點(diǎn)處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；

32、（II）設(shè)函數(shù)，當(dāng))存在最小值時(shí)，求其最小值的解析式； （III）對(duì)（2）中的，證明：當(dāng)時(shí)，1. 5.（2020屆惠州市高三文科第一次調(diào)研）設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性； （2）時(shí)，求的極值點(diǎn)； （3）求證對(duì)任意不小于3的正整數(shù)，不等式都成立． 第四節(jié) 函數(shù)的綜合應(yīng)用(1) 函數(shù)內(nèi)容是每年高考都要考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法是高中數(shù)學(xué)的一條重要的主線，選擇、填空、解答三種題型每年都有，函數(shù)題的身影頻現(xiàn)，而且常考常新．函數(shù)和其它內(nèi)容如導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列等內(nèi)容的結(jié)合是近幾年的考查熱點(diǎn)，題目由易到難幾乎都有，與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合更是經(jīng)常作為壓軸

33、題出現(xiàn). 考試要求 （1）了解映射概念，理解函數(shù)的概念；（2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法；（3）掌握指、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).（4）根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法. 題型一 函數(shù)解析式問(wèn)題 例 ⑴（2020陜西文數(shù)）某學(xué)校要召開(kāi)學(xué)生代表大會(huì)，規(guī)定各班每10人推選一名代表，當(dāng)各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時(shí)再增選一名代表.那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系用取整函數(shù)y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整數(shù)）可以表示為 A y＝[]

34、B y＝[] C y＝[] D y＝[] ⑵設(shè)函數(shù)若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解， 若方程g(x)=a有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________________. 點(diǎn)撥：⑴用具體數(shù)據(jù)代入選項(xiàng)，確定哪個(gè)函數(shù)比較符合；（2）在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出和的圖象，再根據(jù)題意畫(huà)出，根據(jù)圖象得出a的取值范圍. 解：⑴法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以選B 法二：設(shè)， ，所以選B ⑵在坐標(biāo)系中作出和的圖象，可知圖象如圖所示， 故a的取值范圍是. 易錯(cuò)點(diǎn)：⑴對(duì)抽象函數(shù)理解不強(qiáng)，缺少處理方法容易造成錯(cuò)誤； ⑵正確理解解析式所表示

35、的意義是解題的關(guān)鍵，如果討論和的大小再得出的解析式，然后畫(huà)圖，一是計(jì)算量比較多，再是容易出錯(cuò). 變式與引申1： （１）設(shè)函數(shù)若,則關(guān)于x的方程的解的個(gè)數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 （２） 設(shè)函數(shù)由方程確定，下列結(jié)論正確的是.（請(qǐng)將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上） （１）是上的單調(diào)遞減函數(shù)； （２）對(duì)于任意，恒成立； （３）對(duì)于任意，關(guān)于的方程都有解； 題型二 函數(shù)的性質(zhì)與圖象 例 已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根，則

36、 點(diǎn)撥：由求出的周期，又根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，得出在一個(gè)周期[-2,2]中的單調(diào)性，再根據(jù)對(duì)稱性求值. 解：因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)，滿足，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱且，由知，所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù)，又因?yàn)樵趨^(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，所以在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù)．如圖所示，那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個(gè)不同的根,不妨設(shè),由對(duì)稱性知,.所以. 易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)函數(shù)的奇偶性,單調(diào)性，對(duì)稱性，周期性等其中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)掌握不好，都容易出錯(cuò)；不能得出是周期函數(shù)，或不能得出對(duì)稱軸及單調(diào)區(qū)間等. 變式與引申2： （１）函數(shù)的圖象的大致形狀是 (

37、 ) （2）設(shè)函數(shù)的集合， 平面上點(diǎn)的集合 ， 則在同一直角坐標(biāo)系中，中函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過(guò)中兩個(gè)點(diǎn)的函數(shù)的個(gè)數(shù)是 ( ) A 4 B 6 C 8 D 10 題型三 函數(shù)零點(diǎn)與二分法思想 例 設(shè)函數(shù) （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值； （2）記函數(shù)，若函數(shù)有零點(diǎn)，求的取值范圍. 點(diǎn)撥：（1）這是一道含絕對(duì)值的函數(shù)題，對(duì)與1的大小進(jìn)行討論，去掉絕對(duì)值后求值；（2）函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程有解，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的值域得出的取值范圍. 解：（1）當(dāng)時(shí)，＝ ∴當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，＝ ∵

38、函數(shù)在上單調(diào)遞增 ∴ 由得又 ∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，. （2）函數(shù)有零點(diǎn)即方程有解，得. 令， 當(dāng)時(shí)，， 所以函數(shù)在上是增函數(shù)，； 當(dāng)時(shí)，， 所以函數(shù)在上是減函數(shù)，. 所以方程有解時(shí)，即函數(shù)有零點(diǎn)時(shí)的取值范圍. 易錯(cuò)點(diǎn)：（1）去絕對(duì)值和對(duì)求值大小進(jìn)行討論時(shí)考慮不周造成的錯(cuò)誤；（2）零點(diǎn)問(wèn)題不能轉(zhuǎn)化成方程有解問(wèn)題，從而不能使問(wèn)題得到有效的解決. 變式與引申3： ⑴函數(shù)的零點(diǎn)一定位于下列哪個(gè)區(qū)間( ) A. B. C. D. ⑵已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，則的大小關(guān)系是( ) A． B．

39、 C． D． 題型四 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題 例 已知函數(shù)． (1) 若直線x+y+m=0對(duì)任意的m∈R都不是曲線y=f(x)的切線，求a的取值 范圍； (2)設(shè)g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式． 點(diǎn)撥：(1) 求曲線y=f(x)的切線的斜率就是對(duì)的求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)值不能取到已知直線的斜率-1；(2) g(x)是偶函數(shù)，只須求g(x)在[0,1]上最大值. 解：（1） ∵ ∴要使直線=0對(duì)任意的總不是曲線的切線，當(dāng)且僅當(dāng)-1<-3a,∴. （2）因在[-1,1]上為偶函數(shù),故只求在 [0,1]上最大值， ① 當(dāng)時(shí)，，在

40、上單調(diào)遞增且, ∴，∴. ② 當(dāng)時(shí) i .當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí) ii. 當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增. 10 當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故. 20當(dāng)即時(shí)， （?。┊?dāng)即時(shí)， （ⅱ） 當(dāng)即時(shí)， 綜上 易錯(cuò)點(diǎn)：本題第二問(wèn)分類(lèi)討論比較多，計(jì)算量也很大，考慮不周都會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤. 變式與引申4： 已知函數(shù)，，和直線，又. （1）求的值； （2）是否存在的值，使直線既是曲線的切線，又是的切線；如果存在，求出的值；如果不存在,說(shuō)明理由． 本節(jié)主要考查：（1）函數(shù)的解析式和函數(shù)的圖象，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性等函數(shù)性質(zhì)；（

41、2）結(jié)合圖象，直觀地反映函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想和基本的作圖、運(yùn)算、分析等解題能力；（3）零點(diǎn)和二分法體現(xiàn)了函數(shù)和方程的關(guān)系；（4）考查了用導(dǎo)數(shù)作為工具求曲線的切線和函數(shù)的最值等思想方法. 點(diǎn)評(píng)：（1）數(shù)形結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容．解決一些函數(shù)單調(diào)性和奇偶性，對(duì)稱性等要從數(shù)形結(jié)合的角度去認(rèn)識(shí)，以形輔數(shù)，以數(shù)畫(huà)形，化抽象為直觀；（2）要充分利用導(dǎo)數(shù)這一工具，結(jié)合函數(shù)的一些思考方法解決函數(shù)中的如求最大值和最小值等問(wèn)題；（4）重視計(jì)算能力，畫(huà)圖能力及分類(lèi)討論的思想方法. 習(xí)題1-4 .已知[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，為取整函數(shù)， 的零點(diǎn)，則等于 （ ）

42、 A．1 B．2 C．3 D．4 .設(shè)函數(shù)，則的值為. 3．已知函數(shù)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y都有且. (1)若,試求的表達(dá)式; (2)若且時(shí),不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 4．已知函數(shù)R，且 （1）若能表示成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和，求的解析式； （2）命題P：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)； 命題Q：函數(shù)是減函數(shù) 如果命題P、Q有且僅有一個(gè)是真命題，求a的取值范圍； 5．（2020北京理數(shù)）已知函數(shù)()=In(1+)-+(≥0). (1)當(dāng)=2時(shí)，求曲線=()在點(diǎn)(1，(1))處的切線方程； (2)求()的單調(diào)區(qū)間. 第五節(jié) 函數(shù)的綜合應(yīng)用(2) 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

43、、不等式等這三部分或它們的綜合，在每年高考試題中都有大量出現(xiàn)，綜合性都比較強(qiáng)，題目都有較高的難度；利用函數(shù)解不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值等是考查的重點(diǎn).特別今后，高考的應(yīng)用題不一定是概率題，那么函數(shù)作為解決生活實(shí)際問(wèn)題的重要方法，其應(yīng)用題出現(xiàn)在高考試題中，并且可能常態(tài)化那也在情理之中. 考試要求 能結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及生活中的優(yōu)化問(wèn)題.能夠利用函數(shù)解決一些生活實(shí)際問(wèn)題. 題型一 函數(shù)與不等式 例 （1）（2020天津理數(shù)）已知函數(shù)f(x)=,若f(a)>f(-a

44、),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A （-1，0）∪（0，1） B （-∞，-1）∪（1,+∞） C （-1，0）∪（1,+∞） D （-∞，-1）∪（0,1） （2）（2020全國(guó)卷1理數(shù)）已知函數(shù)f(x)=|lgx|.若0

45、當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，， 故選C. 易錯(cuò)點(diǎn)：（1）分段函數(shù)不等式一般通過(guò)分類(lèi)討論的方式求解，解對(duì)數(shù)不等式?jīng)]注意到真數(shù)大于0，或沒(méi)注意底數(shù)在（0，1）上時(shí)，或不等號(hào)的方向?qū)戝e(cuò)等；（2）直接利用均值不等式求解得最小值為等錯(cuò)誤. 變式與引申1： （1）已知函數(shù)若在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 ． （2）已知二次函數(shù)，不等式的解集為． ①若方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，求的解析式； ②若的最大值為正數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 題型二 函數(shù)與數(shù)列 例 已知函數(shù) （1）求的值； （2）若數(shù)列，求列數(shù)的通項(xiàng)公式； （3）若數(shù)列{bn}滿足，則實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，不等式恒成立

46、. 點(diǎn)撥：（2）注意到，及，構(gòu)成對(duì)進(jìn)行運(yùn)算；（3）求出，將裂項(xiàng)，并求和求出，再利用二次函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)求解. 解：（1）令 令 （2）∵ ① ∴ ② 由（1），知 ∴①+②，得 （3）∵,,∴,∴ 由條件，可知當(dāng)恒成立時(shí)即可滿足條件.設(shè), 當(dāng)k＞0時(shí)，又二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能恒成立 當(dāng)k=0時(shí)，f（n）=－n－2＜0恒成立； 當(dāng)k＜0時(shí)，由于對(duì)稱軸直線 ∴f（n）在上為單調(diào)遞減函數(shù)∴只要f（1）＜0，即可滿足恒成立 ∴由，∴k＜0 綜上知，k≤0，不等式恒成立 易錯(cuò)點(diǎn)：沒(méi)有發(fā)現(xiàn)，可以結(jié)合，進(jìn)行逆序求和；對(duì)不能裂項(xiàng)求和或求和中出錯(cuò)，對(duì)

47、恒成立的討論不夠嚴(yán)謹(jǐn)造成錯(cuò)誤. 變式與引申2： ⑴已知定義在R上的函數(shù)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b都有，且 ①求的值； ②求的解析式（） （2）一企業(yè)生產(chǎn)的某產(chǎn)品在不做電視廣告的前提下，每天銷(xiāo)售量為件. 經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查后得到如下規(guī)律：若對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行電視廣告的宣傳，每天的銷(xiāo)售量（件）與電視廣告每天的播放量（次）的關(guān)系可用如圖所示的程序框圖來(lái)體現(xiàn). ①試寫(xiě)出該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售量（件）關(guān)于電視廣告每天的播放量（次）的函數(shù)關(guān)系式； ②要使該產(chǎn)品每天的銷(xiāo)售量比不做電視廣告時(shí)的銷(xiāo)售量至少增加，則每天電視廣告的播放量至少需多少次？ 題型三 含參數(shù)的函數(shù)極值問(wèn)題 例 設(shè)x1、 的兩個(gè)極值點(diǎn).

48、（1）若，求函數(shù)f(x)的解析式； （2）若的最大值； （3）若，求證： 點(diǎn)撥：（2）根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得出兩根異號(hào)，則，再用導(dǎo)數(shù)求的最大值；（3）將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值問(wèn)題. 解： （1）是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)， （2）∵x1、x2是 f(x)是兩個(gè)極值點(diǎn)， ∴x1、x2是方程的兩根.∵△= 4b2 + 12a3， ∴△>0對(duì)一切a > 0，恒成立. 由 令 在（0，4）內(nèi)是增函數(shù)； ∴h (a)在（4，6）內(nèi)是減函數(shù). ∴a = 4時(shí)，h(a)有極大值為96，上的最大值是96， ∴b的最大值是

49、 （3）證法一：∵x1、x2是方程的兩根， ， 證法二：∵x1、x2是方程的兩根，. ∵x1 < x < x2， 易錯(cuò)點(diǎn)：本題討論、計(jì)算較多，不小心都容易出錯(cuò)，對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力要求較高. 變式與引申3： （1）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． （2）已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍； 題型四 函數(shù)應(yīng)用題 例 2020年上海世博會(huì)組委會(huì)為保證游客參觀的順利進(jìn)行，對(duì)每天在各時(shí)間段進(jìn)入園區(qū)和離開(kāi)園區(qū)的人數(shù)作了一個(gè)模擬預(yù)測(cè). 為了方便起見(jiàn)，以10分鐘為一個(gè)計(jì)算單位，上午9點(diǎn)10分

50、作為第一個(gè)計(jì)算人數(shù)的時(shí)間，即；9點(diǎn)20分作為第二個(gè)計(jì)算人數(shù)的時(shí)間，即；依此類(lèi)推，把一天內(nèi)從上午9點(diǎn)到晚上24點(diǎn)分成了90個(gè)計(jì)算單位. （圖1-5-2） 10800 3600 1 1 24 36 72 90 n 對(duì)第個(gè)時(shí)刻進(jìn)入園區(qū)的人數(shù)和時(shí)間（）滿足以下關(guān)系（如圖1-5-2）： ， 對(duì)第個(gè)時(shí)刻離開(kāi)園區(qū)的人數(shù)和時(shí)間 （）滿足以下關(guān)系（如圖1-5-3）： （1）試計(jì)算在當(dāng)天下午3點(diǎn)整（即15點(diǎn)整）時(shí)，世博園區(qū)內(nèi)共有多少游客？ （2）請(qǐng)求出當(dāng)天世博園區(qū)內(nèi)游客總?cè)藬?shù)最多的時(shí)刻. 點(diǎn)撥：（1）計(jì)算出入園游客總數(shù)

51、與出園游客總數(shù)，其差就是所求；（2）當(dāng)入園游客總數(shù)與出園游客總數(shù)之差最大，則游客總?cè)藬?shù)最多，按每段函數(shù)分別計(jì)算. 解：（1）當(dāng)且時(shí)，， 當(dāng)且時(shí)， 所以 ××； 另一方面，已經(jīng)離開(kāi)的游客總?cè)藬?shù)是： ×；……2分 所以（人） 故當(dāng)天下午3點(diǎn)整（即15點(diǎn)整）時(shí)，世博園區(qū)內(nèi)共有位游客. （2）當(dāng)時(shí)園內(nèi)游客人數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)園內(nèi)游客人數(shù)遞減. (i)當(dāng)時(shí)，園區(qū)人數(shù)越來(lái)越多，人數(shù)不是最多的時(shí)間； (ii)當(dāng)時(shí)，令，得出， 即當(dāng)時(shí)，進(jìn)入園區(qū)人數(shù)多于離開(kāi)人數(shù)，總?cè)藬?shù)越來(lái)越多； 當(dāng)時(shí)，，進(jìn)入園區(qū)人數(shù)多于離開(kāi)人數(shù)，總?cè)藬?shù)越來(lái)越多； (iii)當(dāng)時(shí)， 令時(shí)，， 即在下午點(diǎn)整時(shí)

52、，園區(qū)人數(shù)達(dá)到最多. 此后離開(kāi)人數(shù)越來(lái)越多，故園區(qū)內(nèi)人數(shù)最多的時(shí)間是下午4點(diǎn)整. 易錯(cuò)點(diǎn)：（1）下午3點(diǎn)是哪個(gè)時(shí)段算不清出錯(cuò)； （2）不能讀懂題意和看圖，無(wú)從下手. 變式與引申：如圖1-5-4，兩鐵路線垂直相交于站A，若已知AB=100千米，甲火車(chē)從A站出發(fā)，沿AC方向以50千米/小時(shí)的速度行駛，同時(shí)乙火車(chē)以v千米/小時(shí)的速度從B站沿BA方向行駛致A站即停止前行（甲車(chē)仍繼續(xù)行駛） （1）求甲，乙兩車(chē)的最近距離（兩車(chē)的車(chē)長(zhǎng)忽略不計(jì)） （2）若甲，乙兩車(chē)開(kāi)始行駛到甲，乙兩車(chē)相距最近所用時(shí)間為小時(shí)，問(wèn)v為何值時(shí)最大？ 本節(jié)主要考查：函數(shù)與不等式、數(shù)列等知識(shí)的綜合運(yùn)用能力

53、；考查了如何用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中含參數(shù)的與極值有關(guān)的綜合題，考查了用函數(shù)如何建模，如何解決實(shí)際生活中出現(xiàn)的問(wèn)題.考查了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力. 點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)常作為高考的壓軸題，對(duì)考生的能力要求非常高，它不僅要求考生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，還要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和計(jì)算能力.估計(jì)以后對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查力度不會(huì)減弱.作為壓軸題，主要是涉及利用導(dǎo)數(shù)求最值解決恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式或解決數(shù)列中的一些問(wèn)題等，常伴隨對(duì)參數(shù)的討論，這也是難點(diǎn)之所在. 習(xí)題1-5 .設(shè)函數(shù)，則使得的自變量的取值范圍為（ ） A. B. C. D

54、. .擬定從甲地到乙地通話分鐘的電話費(fèi)由（元）決定，其中m>0,是大于或等于m的最小整數(shù)，（如,），則從甲地到乙地通話時(shí)間為5.5分鐘的電話費(fèi)為 . .已知函數(shù) (1) 求證: 函數(shù)是偶函數(shù); (2) 判斷函數(shù)分別在區(qū)間、上的單調(diào)性, 并加以證明; (3) 若, 求證: .有一種密英文的明文(真實(shí)文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z的26個(gè)字母(不分大小寫(xiě)),依次對(duì)應(yīng)1,2,3,…,26這26個(gè)自然數(shù),見(jiàn)如下表格: a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9

55、 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 給出如下一個(gè)的變換公式: X’= (x∈N,1≤x≤26,x不能被2整除) +13(x∈N,1≤x≤26,x能被2整除) 將明文轉(zhuǎn)換成密文,如8→+13=17,即h變成q；5→=3，即e變成c. ①按上述規(guī)定，將明文good譯成的密文是什么？ ②按上述規(guī)定，若將某明文譯成的密文是shxc，那么原來(lái)的明文是什么？ .已知函數(shù)， （1

56、）判斷函數(shù)的奇偶性； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 第一講 測(cè)試卷 一．選擇題 本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1．設(shè)則( ) A. B. C. D. 2． 如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù). 例如，. 那么“”是“”的 ( ) A．充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件? D.既不充

57、分也不必要條件 3. 設(shè)函數(shù) 若是奇函數(shù)，則的值是 （ ） A. B. C. D. 4 4．已知，則下列不等式成立的是 （ ） A． B． C． D． 5．在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．若函數(shù)的定義域R分成了四個(gè)單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù)滿足 ( ) A. B. C. D. 7．設(shè)函數(shù)，集合，判斷在上的奇

58、偶性為（ ） A. 偶函數(shù) B .奇函數(shù) C. 非奇非偶函數(shù) D. 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) 8. 定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)x∈［3，5］時(shí),=2－|x－4|，則（ ） A.＜ B. ＞ C.＞ D. ＜ 9. 已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C. D. 10. 設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上，恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”．已知．若當(dāng)實(shí)數(shù)滿足時(shí)，函數(shù)在上總為“凸函數(shù)”，則的最大值為（ ） A.1 B.2 C.3 D. 7 二、填空題：本大題共

59、5小題，每小題5分,共25分．把答案填在題中橫線上． 11．若函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍 12．定義在R上的函數(shù)， 則 ． 13. 已知f(x+)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函數(shù)f(x)的最小值為_(kāi)___ 14．已知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，是以為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ． 15．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法①在上是減函數(shù)；②的最大值是2；③方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；④在R上恒成立.正確的命題是 （寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)） 三．解答題 本大題共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文

60、字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟 16．（本小題滿分12分）設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)一切均有，且當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)，的解析式． 17. （本小題滿分12分）某汽車(chē)生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車(chē)的投入成本為10萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為13萬(wàn)元/輛，年銷(xiāo)售量為、5000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車(chē)投入成本增加的比例為x（0＜x＜1，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.7x，年銷(xiāo)售量也相應(yīng)增加.已知年利潤(rùn)=（每輛車(chē)的出廠價(jià)－每輛車(chē)的投入成本）×年銷(xiāo)售量. （Ⅰ）若年銷(xiāo)售量增加的比例為0.4x，為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ （

61、Ⅱ）年銷(xiāo)售量關(guān)于x的函數(shù)為，則當(dāng)x為何值時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？ 18．（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（為常數(shù)）是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù). （1）求的值； （2）若在恒成立，求的取值范圍； （3）討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù). 19. （本題滿分12分）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同． （I）用表示，并求的最大值； （II）求證：（）．20. （本題滿分13分）設(shè)函數(shù) 21．對(duì)于定義在D上的函數(shù)，若存在，對(duì)任意的，都有，則稱函數(shù)在區(qū)間上有下界，把稱為函數(shù)在上的“下界”. （1）分別判斷下列函數(shù)是否有“下界”？如果有，寫(xiě)出“下界”否則請(qǐng)說(shuō)明理由；， （2）請(qǐng)你類(lèi)比函數(shù)有“下界”的定義，寫(xiě)出函數(shù)在區(qū)間上有“上界”的定義； 并判斷函數(shù)（）是否有“上界”？說(shuō)明理由； （3）若函數(shù)在區(qū)間上既有“上界”又有“下界”，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“有界函數(shù)”，把“上界”減去 “下界”的差稱為函數(shù)在上的“幅度”. 對(duì)于實(shí)數(shù)，試探究函數(shù)是否是上的“有界函數(shù)”？如果是，求出“幅度”的值.