第一章 數字邏輯基礎

《第一章 數字邏輯基礎》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《第一章 數字邏輯基礎（28頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、數字邏輯與數字系統(tǒng)概述 ⒈ 一些基本概念 在電子技術中，被傳遞、加工和處理的信號可以分為兩大類：模擬信號和數字信號 (1) 模擬信號：在時間上和幅度上都是連續(xù)變化的信號，稱為模擬信號，例如正弦波信號、心電信號等。 (2) 數字信號：在時間和幅度上均不連續(xù)的信號。 (3) 模擬電路：工作信號為模擬信號的電子電路。 (4) 數字電路：工作信號為數字信號的電子電路。 (5) 研究的對象：數字電路研究的對象是數字電路的輸出與輸入之間的因果關系，也就是說研究電路的邏輯關系。 (6) 數字集成電路分類：小規(guī)模集成電路（SSI）、中規(guī)模集成電路（MSI）、大規(guī)模集成電路（LSI）、超大規(guī)模集

2、成電路（VLSI）。 (7) 數字系統(tǒng)：用數字電路構成的實際工程系統(tǒng)稱為數字系統(tǒng)。 (8) 集成電路：將多個電子電路器件做在一塊芯片上的電路稱為集成電路。 ⒉ 主要內容 半導體二極管和三極管 數字邏輯基礎 邏輯門電路 組合邏輯電路 觸發(fā)器 時序邏輯電路 運算電路 半導體存儲器 脈沖波形的產生與整形 可編程邏輯器件和現場可編程門陣列 數/模和模/數轉換 ⒊ 課程意義 數字電路是一門硬件方面的重要基礎課。 任務是使同學們獲得數字電路的基本理論、基本知識、基本技能，掌握數字邏輯的基本分析方法和設計方法，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力以及工程實驗能力。 ⒋

3、 學習本門課程應注意的問題 ⑴ 應著重抓好基本理論、基本知識、基本方法的學習。 ⑵能熟練運用數字電路的分析方法和設計方法。 ⑶重視實驗技術。 ⒌ 教材及參考書 教材：數字邏輯與數字系統(tǒng) (第3版) ，王永軍 李景華主編 電子工業(yè)出版社，2005 參考書： （1） 數字邏輯與數字系統(tǒng)習題解答與實驗指導，趙麗紅、馬文學、康恩順編寫 （2） 電子技術基礎（數字部分，第四版） 康華光編寫 高等教育出版社 （3） 《數字電路邏輯設計》第一版王毓銀主編 （4） Digital Design Principles & Practices （Third Edition）John F

4、. Wakerly 第一章 數字邏輯基礎 本章主要介紹數字電路中常用的幾種數制的表示方法及其轉換規(guī)律，數字系統(tǒng)中常見的 幾種編碼及邏輯代數知識。 1.1計數體制 l 數是用來表示物理量多少的。常用多位數表示。 l 通常，把數的組成和由低位向高位進位的規(guī)則稱為數制。 l 在數字系統(tǒng)中，常用的數制包括十進制數(decimal)，二進制數(binary),八進制數(octal)和十六進制數（hexadecimal）。 1.1.1

5、十進制數 l 組成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 l 進位規(guī)則：逢十進一。 l 不同位置數的權不同，可用10i表示。 l i在(n-1)至-m間取值。 l n為十進制數的整數位位數， l m為小數位位數。 l 10稱為基數(radix 或base)。 例：666.66 666.66=6×102+6×101+6×100+ 6×10-1+6×10-2 任意一個十進制數都可以寫成： n是整數位位數, m是小數位位數, ai是第i位系數, 10i是第i位的權，10是基數。 任意進制數的按權展開式： ai為0～(R－1)中任意一個數字符號，

6、R為基數，Ri為第i位的權值。 1.1.2二進制數 l 組成：0、1 l 進位規(guī)則：逢二進一 一個二進制數M2可以寫成： l 一個二進制數的最右邊一位稱為最低有效位，常表示為LSB(Least Significant Bit)， l 最左邊一位稱為最高有效位，常表示為MSB(Most Significant Bit)。 例：試標出二進制數11011.011的LSB，MSB位，寫出各位的權和按權展開式，求出其等值的十進制數。 M2=11011.0112=1×24+1×23+0×22+1×21+1×20+0×2-1+1×2-2+1×2-3=27.37510 1.1

7、.3 八進制數和十六進制數 ⒈ 八進制數 l 組成：0、1、2、3、4、5、6、7、 l 進位規(guī)則：逢八進一 l 權值：8i 基數：8 ⒉十六進制數 l 組成：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F l 其中A～F的等值十進制數分別為10、11、12、13、14、15 l 進位規(guī)則：逢十六進一 八進制數和十六進制數均可寫成按權展開式，并能求出相應的等值十進制數： 例：求八進制數6668的等值十進制數。 解：6668=6×82+6×81+6×80=384+48+6=43810 例：一個十六進制數2AF16的等值十進制數是多

8、少？ 解：2AF16=2×162+A×161+F×160 =2×162+10×161+15×160=68710 1.1.4二進制數和其它進制之間的轉換 ⒈十進制數轉換成二進制數 將十進制數M10轉換為二進制數，一般采用將M10的整數部分和小數部分分別轉換，然后把其結果相加。 設M10的整數部分轉換成的二進制數為 an-1an-2…a1a0 可列成下列等式： M10=an-12n-1+an-22n-2+…+a121+a020 （1）整數部分轉換 設M10的整數部分轉換成的二進制數為 an-1an-2…a1a0 可列成下列等式： M10=an-12

9、n-1+an-22n-2+…+a121+a020 將上式兩邊同除以2，兩邊的商和余數相等。所得商為an-12n-2+an-22n-3+…+a221+a1，余數為a0，經整理后有： 再將上式兩邊同時除以2，可得余數a1，依次類推，便可求出二進制數的整數部分的每一位系數an-1、…、a1、a0。在轉換中注意除以2一直進行到商數為0止。這就是所謂除基取余法(Radix Divide Method)。 例：將十進制數2510轉換為二進制數。 解：∴ 2510=110012 （2）小數部分轉換 設M10的小數部分轉換成二進制數為，a-1a-2…a-m，可寫成等式： M10=a-1

10、2-1+a-22-2+…+a-m2-m 將上式兩邊同時乘以2得2×M10=a-120+a-22-1+…+a-m2-m+1 上式中乘積的整數部分就是系數a-1，而乘積的小數部分為： 2×M10-a-1=a-120+a-22-1+…+a-m2-m+1 對上式兩邊再同乘以2，則積的整數部分為系數a-2，依次類推，便可求出二進制數的小數部分的每一位系數，這就是所謂乘基取整法(Radix Multiply Method)。 在轉換過程中，乘2過程一直繼續(xù)到所需位數或達到小數部分為0止。 例：將0.2510轉為二進制數。 解：0.2510×2=0.5 整數=0=a-1

11、 MSB 0.510×2=1.0 整數=1=a-2 LSB 即0.2510=0.012 由上兩例可得25.2510=11001.012 也可以用不同位權值相加等于十進制數的辦法將十進制數轉換成二進制數。 如25=16+8+1=24+23+20=11001。 ⒉二進制數和八進制數之間的轉換 三位二進制數恰好等于一位八進制數，8=23。 對于二進制數，從小數點處開始，分別向左、右按三位分為一組，每組就對應一位八進制數，組合后即得到轉換的八進制數。 將八進制數轉換為二進制數時，把每位八進制數寫成等值的二進制數，再連接起來，即得到二進制數。

12、 例：將八進制數2748轉換成二進制數。 解：2748=101111002 ⒊二進制數與十六進制數之間的轉換 因為16=24，所以4位二進制數代表一位十六進制數。 將二進制數從小數點處開始，分別向左、右按每四位分為一組，每組用相應的十六進制數表示，組合后可得到相應的十六進制數。 例：將10101111.00010110112轉換成十六進制數。 解： 10101111.00010110112=AF.16C16 幾種數制之間的關系對照表： 十進制 二進制 八進制 十六進制 0 0000 0 0 1 0001 1 1 2 0010 2 2

13、 3 0011 3 3 4 0100 4 4 5 0101 5 5 6 0110 6 6 7 0111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000 20 10 17 10001 21 11 18 10010 22 12 19 10011 23 13 20 10100 24

14、 14 1.2常用編碼 l 編碼：是指用文字、符號、數碼等表示某種信息的過程。 l 數字系統(tǒng)中處理、存儲、傳輸的都是二進制代碼0和1，因而對于來自于數字系統(tǒng)外部的輸入信息，例如十進制數0～9或字符A～Z，a～z等，必須用二進制代碼0和1表示。 l 二進制編碼：給每個外部信息按一定規(guī)律賦予二進制代碼的過程。或者說，用二進制代碼表示有關對象（信號）的過程。 1.2.1二—十進制編碼（BCD碼） l 二—十進編碼是用四位二進制代碼表示一位十進制數的編碼方式。 l BCD碼的本質是十進制，其表現形式為二進制代碼。 l 如果任意取四位二進制代碼十六種組合的其中十種，并按不同的次序排列

15、，則可得到多種不同的編碼。 l 常用的幾種BCD碼列于表1-1中（參見P4表1-1）。 ⒈ 8421 BCD碼 l 8421碼是最常用的一種BCD（Binary Coded Decimal）碼，舍去四位二進制碼的最后六個碼，十位數和其二進制數有對應關系，為恒權碼。 l 多位十進制數，需用多位8421 BCD碼表示。 例如36910= 0011 0110 10018421。 ⒉ 余3碼 特點是每個余3碼所表示的二進制數要比它對應的十進制數多3。 ⒊2421和5421碼 二者均為恒權碼。2421碼有A、B兩種。 1.2.2循環(huán)碼 l 循環(huán)碼是格雷碼(Gray

16、 Code)中常用的一種，其主要優(yōu)點是相鄰兩組編碼只有一位狀態(tài)不同。以中間為對稱的兩組代碼只有最左邊一位不同。 l 右起第一位的循環(huán)周期是“0110”，第二位的循環(huán)周期是“00111100”，第三位的循環(huán)周期是“0000111111110000”等等。 l 例如0和15，1和14，2和13等。這稱為反射性。所以又稱作反射碼。而每一位代碼從上到下的排列順序都是以固定的周期進行循環(huán)的。 l 是一種無權碼。四位循環(huán)碼如表1-2所示（參見P5表1-2）。 循環(huán)碼和二進制碼之間保持確定關系，即已知一組二進制碼，便可求出一組對應的循環(huán)碼，反之亦然。 設二進制碼為B=B3B2B1B0、循環(huán)碼為G

17、=G3G2G1G0 Gi=Bi+1⊕Bi 1.2.3 ASCII碼 l ASCII是American National Standard Code for Information Interchange美國國家信息交換標準代碼的簡稱。常用于通訊設備和計算機中。 l 它是一組八位二進制代碼，用1～7這七位二進制代碼表示十進制數字、英文字母及專用符號。第八位作奇偶校驗位（在機中常為0）。 l 如表1-3所示（參見P5表1-3）。 1.3 二極管和三極管的開關特性 1.3.1 二極管的開關特性 （一） 二極管導通條件及導通時的特點： 正向電壓VF≥0.7V （二） 二極管截止條

18、件及截止時的特點： VF≤0.5V（硅管） 如圖所示： （a）二極管電路 （b）輸入電壓波形 （c）理想電流波形 （d）實際電流波形 在t1時刻輸入電壓由+VF跳變到-VR,會出現很大的反向電流的原因是電荷存儲效應。 （三） 二極管反向恢復時間tre 產生反向恢復時間tre的原因： 如圖1-2所示 反向恢復時間tre為納秒數量級， tre值愈小，開關速度愈快，允許信號頻率愈高。 1.3.2 三極管的開關特性 （一） 截止、飽和的條件：截止：VBE ＜0V（0.5V） 飽和：IB＞IBS 臨界飽和：VCE=VB

19、E 此時：ICS=（VCC-0.3）/RC ≈VCC/RC 一般VCES=0.1～0.3V （二）三極管的開關時間 開啟時間：ton=td+tr 延遲時間：td 上升時間：tr 關閉時間：tof=ts+tf 存儲時間：ts 下降時間：tf 一般地tof＞ton，ts ＞ tf 并且開關時間為納秒數量極 1.4 邏輯代數基礎 邏輯代數是分析和設計數字邏輯電路的數學工具。本節(jié)討論：邏輯變量、邏輯函數、基本邏輯運算和邏

20、輯代數公式，以及化簡邏輯函數的兩種方法—公式法和圖形法。 ⒈ 邏輯電路中的幾個問題： ⑴ 邏輯值的概念 l 在數字系統(tǒng)中，通常用邏輯真和邏輯假狀態(tài)來區(qū)分事物的兩種對立的狀態(tài)。 l 邏輯真狀態(tài)用‘1’表示；邏輯假狀態(tài)用‘0’來表示。 l ‘1’和‘0’分別叫做邏輯真假狀態(tài)的值。 l 0、1只有邏輯上的含義，已不表示數量上的大小。 ⑵ 高、低電平的概念 l 以兩個不同確定范圍的電位與邏輯真、假兩個邏輯狀態(tài)對應。 l 這兩個不同范圍的電位稱作邏輯電平，把其中一個相對電位較高者稱為邏輯高電平，簡稱高電平，用H表示。而相對較低者稱為邏輯低電平，簡稱低電平，用L表示。 ⑶狀態(tài)賦值和正、

21、負邏輯的概念 l 狀態(tài)賦值：數字電路中，經常用符號1和0表示高電平和低電平。我們把用符號1、0表示輸入、輸出電平高低的過程叫做狀態(tài)賦值。 l 正邏輯：在狀態(tài)賦值時，如果用1表示高電平，用0表示低電平，則稱為正邏輯賦值，簡稱正邏輯。 l 負邏輯：在狀態(tài)賦值時，如果用0表示高電平，用1表示低電平，則稱為負邏輯賦值，簡稱負邏輯。 ⒉基本邏輯運算和基本邏輯門 基本邏輯運算有邏輯與、邏輯或和邏輯非。實現這三種邏輯運算的電路，稱作基本邏輯門。 ⑴ 邏輯與（乘）運算 只有決定一件事情的全部條件具備之后，結果才能發(fā)生，這種因果關系為“邏輯與”或“邏輯乘”。 l 邏輯與電路、符號及真值表見P10

22、 圖1－7和表1－5 邏輯真值表（Truth Table）：經過狀態(tài)賦值之后所得到的由文字和符號0、1組成的，描述輸入和輸出的所有狀態(tài)的表格。簡稱真值表。 l 邏輯與的邏輯關系表達式寫成 F=A·B l 與邏輯功能可記成：“有0為0，全1為1” l 與運算規(guī)則：0·0=0； 0·1=0； 1·0=0； 1·1=1 A·0=0； A·1=A； 0·A=0； 1·A=A ⑵ 邏輯或（加）運算 決定一件事情的幾個條件中，只要有一個或一個以上條件具備，結果就會發(fā)生，這種因果關系稱為“或邏輯”，也稱“邏輯加”。 l 邏輯與電路、符號及真值表見P10 圖1－8和表1－6 l 邏輯或的

23、邏輯關系表達式 F=A+B 讀作F等于A邏輯加B。 l 或邏輯功能可記成“有1為1，全0為0”。 l 由真值表看出0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1，從而推出A+0=A；A+1=1；A+A=A。 l 或邏輯又稱邏輯加法。通過上述真值表，可見它和算術加有很大區(qū)別。 l 在邏輯加中1+1=1，1+1+···+1=1。 ⑶邏輯非運算 條件具備時結果不發(fā)生，條件不具備時結果反而發(fā)生，這種因果關系是邏輯非。非也稱為取反。 l 邏輯與電路、符號及真值表見P11 圖1－9和表1－7 邏輯非的邏輯表達式寫成： 運算規(guī)則為： ⒊復合邏輯運算

24、l 與、或、非為三種基本邏輯運算。 l 實際邏輯問題要比與、或、非復雜得多，但都可以用簡單的與、或、非邏輯組合來實現。從而構成復合邏輯。 l 復合邏輯常見的有與非、或非、異或、同(或)運算等。 邏輯符號見P11圖1－10，其中第一行為國標符號；第二行為慣用符號；第三行為國外常用符號。 ⒋邏輯代數的基本公式和常用公式 (1) 基本公式——見P12 (2) 常用公式——見P13 現將表中公式證明如下： ① 證明： 這個公式的含義是當兩個乘積項相加時，若它們分別包含B和 兩個因子，而其它因子相同，則兩項定可合并，且能將B和兩個因子消掉。 ② A+AB=A

25、證明：A+A·B=A(1+B)=A·1=A 此式表明：兩個乘積項相加，若其中一項以另一項為因子，則該項是多余的。 ③ 證明： 結果說明：兩個乘積項相加時，如果一項取反后，是另一項的因子，則此因子是多余的，可以消去。 ④ 證明： 該式說明：兩個與項相加時，若它們分別包含A和 因子，則兩項中的其余因子組成可添加的第三個與項。其逆式也成立，即三個與項相加時，若兩項中分別有 和A因子，而這兩項的其余因子組成第三個乘積項時，則第三個乘積項是多余的，可以消去。 ⑤ 證明： ⑥ 變量x和含有變量x的邏輯函數相乘時，函數f中的

26、x用1代替，用0代替，依據是x·x=x=x·1；x·=0=x·0。 例： 證明：F=A[1·B+0·C+(1+D)(0+E)]=A(B+E) (3) 邏輯代數的三條規(guī)則: ①代入規(guī)則 在任何邏輯等式中，如果等式兩邊所有出現某一變量的地方，都代之一個函數，則等式仍然成立。這個規(guī)則叫代入規(guī)則 。 例如：等式 若用F=AC代替A，則根據代入規(guī)則，等式仍成立，即: 利用代入規(guī)則，可以將基本公式推廣為多變量的形式，擴大公式的使用范圍。 ②反演規(guī)則 將邏輯表達式中所有·變+，+變成·（注意省略的“·”號），1變成0，0變成1，原變量變成反變量，反變量變成原變量，即得到原

27、邏輯函數的反函數。 反演規(guī)則常用于從已知原函數求出其反函數。 例： l 利用反演規(guī)則時須注意以下兩點： ⑴ 仍需遵守“先括號，然后乘，最后加”的運算順序。 ⑵ 不屬于單個變量上的長非號，在利用反演規(guī)則時應保持不變，而長非號下的變量及·和＋號符號仍按反演規(guī)則處理。 德·摩根定理實際上是反演規(guī)則的一個特例。 ③對偶規(guī)則 將邏輯函數F中的“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“０”換成“１”，“１”換成“０”，即可求得F的對偶式Fˊ。若兩個邏輯函數相等，則它們的對偶式也相等；反之亦然。 例：求下列邏輯函數的對偶式： 有時為了證明兩個邏輯式相等

28、，可以通過證明它們的對偶式相等來完成，因為有時證明對偶式相等更容易。 例：證明A+BC=(A+B)(A+C) 證明：先寫出等式兩邊的對偶式 等式左邊=A(B+C) 等式右邊=AB+AC 根據分配律A(B+C)=AB+AC知對偶式相等，由對偶規(guī)則知A+BC=(A+B)(A+C) 使用對偶規(guī)則時，同樣要注意運算的優(yōu)先級別；正確使用括號；原式中的長非號，短非號均不變。 ⒌邏輯函數及其表示法 ⑴邏輯函數 數字電路研究的是輸出變量和輸入變量之間的邏輯關系。圖1-11示出二輸入、一輸出的數字電路框圖。 數字電路 A B F=f(A,B) l 當輸入變量A、B取值為

29、邏輯值0或1時，輸出F也只能是0或1。 l 在處理邏輯問題時，可用多種方法來表示邏輯函數，其常用表示方法有真值表，邏輯表達式，卡諾圖和邏輯圖等。 ① 真值表表示法 l 描述邏輯函數各個變量取值組合和函數值對應關系的表格，稱為真值表。 l 由于每一個輸入變量有0、1兩個取值，n個輸入變量有2n個不同的取值組合，將輸入變量的全部取值組合和相應的函數值一一列舉出來，即可得到真值表。 l 通常輸入變量的全部取值組合按二進制順序進行，以防遺漏，并方便檢查。 l 真值表直觀明了，把實際邏輯問題抽象為數學問題時，使用真值表很方便。當變量較多時，為避免煩瑣可只列出那些使函數值為1的的輸入變量取值組

30、合。 例：三人就某一提議進行表決，試列出表決結果的真值表。 解：設輸入變量A、B、C代表三人，F代表表決結果，兩人以上同意者為1（表示通過），否則為0。 A、B、C：同意為1，不同意為0。 F：通過為1，不通過為0。 則真值表為： A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 ② 函數表達式表示法 l 用與、或、非等運算表示函數中各個變量之間邏輯關系的代數式子，叫做函數表達式。 l 由真值表求函數表達式最方

31、便。 l 找出那些使函數值為1的變量取值組合，變量值為1的寫成原變量，為0的寫成反變量，這樣對應于使函數值為1的每一個組合就可以寫出一個乘積項，把這些乘積項加起來，可以得到函數的原函數的標準與或式。 l 把函數值為0的對應乘積項相加，則得反函數。 例：寫出表決邏輯的原函數和反函數的標準與或式。 解 ： 特點： ⑴簡潔方便。能高度抽象而且概括地表示各個變量之間的邏輯關系。 ⑵便于利用邏輯代數的公式和定理進行運算、變換。 ⑶便于利用邏輯圖實現函數。 ⑷缺點是難以直接從變量取值看出函數的值，不如真值表直觀。 ③ 邏輯圖表示法 l 把函數表達式輸入變量間的邏輯關系用邏

32、輯符號表示出來而得到的電路圖，稱邏輯圖。邏輯圖只反映電路的邏輯功能，而不反映電器性能。 l 一般可根據邏輯表達式畫邏輯圖。方法是把邏輯表達式中相應的運算用門電路的符號來代替。 例：將F=AB+BC+CA畫成邏輯圖。如表決邏輯圖所示。 ④ 卡諾圖表示法 l 卡諾圖（Karnaugh Map）是邏輯函數的一種圖形表示方法。 l 卡諾圖和真值表一樣可以表示邏輯函數和輸入變量之間的邏輯關系。 l 卡諾圖是用圖示方法將各種輸入變量取值組合下的輸出函數值一一表達出來。 ⒍邏輯函數化簡 邏輯函數表達式按表達式中乘積項的特點，以及各個乘積項間的關系進行分類，大致可分成：與或表達式，或與表達

33、式，與非與非表達式，或非或非表達式，與或非表達式五種： 與或表達式 或與表達式 與非與非表達式 與或非表達式 或非或非表達式 l 一般說來，表達式越簡單，實現起來邏輯電路也越簡單。對于不同類型的表達式，簡單的標準是不一樣的。以與或表達式為例，最簡與或表達式應滿足①乘積項的個數應該是最少的②在滿足乘積項個數最少的條件下，要求每一個乘積項中變量的個數也最少。 l 與或表達式最簡，由它轉換得來的表達式，一般來說也就最簡。 ⑴邏輯函數的代數（公式）化簡法 代數化簡

34、法的實質就是反復使用邏輯代數的基本公式和常用公式消去多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子，以求得函數式的最簡與或式。因此化簡時，沒有固定的步驟可循。 現將經常使用的方法歸納如下： ① 吸收法：根據公式A+AB=A可將AB項消去，A和B同樣也可以是任何一個復雜的邏輯式。 例：化簡： 解：將A+BC看成一項， ② 消因子法：利用公式 可將中的因子消去。A、B均可是任何復雜的邏輯式。 例： ③ 合并項法(1)： 運用公式可以把兩項合并為一項，并消去B和這兩個因子。根據代入規(guī)則，A和B可以是任何復雜的邏輯式。 例：化簡： 合并

35、項法(2)： 利用公式可以把兩項合并為一項，并消去一個變量。 例： ④ 配項法 式中的某一項乘以或加，然后拆成兩項分別與其它項合并，進行化簡。 例： ⑵邏輯函數的卡諾圖化簡法 ①卡諾圖表示法 l 卡諾圖（Karnaugh Map）是邏輯函數的一種圖形表示方法。 l 卡諾圖和真值表一樣可以表示邏輯函數和輸入變量之間的邏輯關系。卡諾圖是用圖示方法將各種輸入變量取值組合下的輸出函數值一一表達出來。 ②最小項 對于n個變量，如果某乘積項含有n個因子，每個因子或以原變量或以反變量的形式僅僅出現一次，則這個乘積項稱為最小項。

36、 n個變量一共有2n個最小項。因為每一個變量都有兩種狀態(tài)—原變量和反變量，而變量一共有n個。 ③最小項編號 編號方法：把與最小項對應的那一組變量取值組合當成二進制數，與其對應的十進制，就是該最小項的編號。 下表為三變量的最小項及其編號。（見P17,表1－12） ④最小項性質 ⑴n個變量的邏輯函數有2n個最小項。 ⑵每一個最小項對應了一組變量取值，任意一個最小項，只有對應的那一組取值使其值為1，其它均為0。 ⑶任意兩個最小項之積恒為0，記作：mi·mj=0（i≠j） ⑷所有最小項的邏輯和為1，記作Σmi=1（i=0，1，2，···，2n-1） ⑸n個變量邏輯函數的每一個最

37、小項都有n個相鄰項。相鄰是指邏輯相鄰。 ⑹兩個最小項相加可以消去互為反變量的因子。 例：寫出F=AB+BC+AC的最小項表達式 解： ⑥邏輯函數的卡諾圖 ⑴最小項卡諾圖的畫法 ①畫正方形或矩形，圖形中分割出2n個小方格，n為變量的個數，每個最小項對應一個小方格。 ②變量取值按循環(huán)碼排列（Gray Code），其特點是相鄰兩個編碼只有一位狀態(tài)不同。 變量卡諾圖形象地表達了變量各個最小項之間在邏輯上的相鄰性。 ① 三變量卡諾圖——（見圖1－13，注意編號簡寫?。? ② 四變量卡諾圖——（見圖1－14，注意編號簡寫！） ③ 五變量卡諾圖——（見圖1－15，

38、注意編號簡寫?。? 注意：五變量以上卡諾圖很少使用。 在卡諾圖中，一個最小項對應圖中一個變量取值的組合（反映在編號上）的小格子，兩個邏輯相鄰的最小項對應的小格子位置間有以下三種情況： l 相接—緊挨 l 相對—各在任一行或一列的兩頭 l 相重—對折起來位置相重合 在卡諾圖上，兩個相鄰最小項合并時，相當于把其圈在一起組成一個新格子。新格子和兩相鄰最小項消去變化量之后的式子相對應。如圖所示。 BC A 0 1 00 01 11 10 新格子含二個小格子，可用BC代

39、表 ⑵邏輯函數的卡諾圖 用卡諾圖來表示邏輯函數。通常邏輯函數的卡諾圖可由以下三種情況獲得： ①根據邏輯函數的真值表（給出真值表時） 根據邏輯函數的變量個數選擇相應的卡諾圖然后根據真值表填寫卡諾圖中的每個小方塊，即在對應于變量取值組合的每一小方塊中，函數值為1時填1，為0時填0，即得函數的卡諾圖。 例：表決邏輯的卡諾圖為 : ②根據邏輯函數的最小項表達式（給出的是最小項表達式） 將對應的邏輯函數的最小項的小方格填入1，其它的方格填入0。 ③根據一般的邏輯表達式（這是經常出現的） 首先將函數變換成與或式，但不必變?yōu)樽钚№椫偷谋磉_式。在變量卡諾

40、圖中，把每一乘積項所包括的那些最小項對應的格子都填上1，剩下的填0。 注：每一乘積項是其所包含的最小項公因子。每一乘積項包含的最小項的格子數是2，4，8……即2n，而不能是3，5，……，若變量為n個，每個最小項應出現的變量（或反變量）應為n個，其公因子為m個變量（m

41、最小項在邏輯上的相鄰性。可以很容易地求出函數的最簡與或式，使其在函數的化簡和變換中得到應用。 ⑦邏輯函數的卡諾圖化簡法 利用卡諾圖進行化簡，簡捷直觀，靈活方便，且容易確定是否已得到最簡結果。 用卡諾圖化簡邏輯函數一般可按以下步驟進行： (a)畫出函數的卡諾圖 (b)畫包圍圈，合并最小項 在卡諾圖中，凡是相鄰的最小項均可合并，合并時，可消去有關變量。 例：三變量卡諾圖二、四相鄰最小項的合并： 2、6項合并： 1、5項合并： 2、3項合并： 3、2、7、6項合并： 0、1、4、5項合并： 0、4、2、6項合并： 例：四變量卡諾圖二、四相鄰最小項的合并： 13、1

42、5項合并： 11、15項合并： 0、8項合并： 4、6項合并： 4、5、7、6項合并： 4、12、6、14項合并： 9、11、13、15項合并： 0、2、8、10項合并： 4、5、7、6、12、13、15、14八項合并： B 0、1、3、2、8、9、11、10八項合并： (c)選擇乘積項，寫出最簡與或表達式。 選擇乘積項時，必須包含全部最小項，選用的乘積項的總數應該最少，每個乘積項所包含的因子也應該最少。 例：化簡函數 解：①畫出函數的卡諾圖 BCD=∑(3，11) BC=∑(4，5，12，13) ACD=∑(1，5)

43、 ABC=∑(3，11) ②合并最小項 ③選擇乘積項，寫出最簡與或表達式 l 化簡時應注意的幾個問題： ⑴ 圈1得原函數，圈0得反函數 ⑵ 圈必須覆蓋所有的1。 ⑶ 圈中1的個數必須是2n個相鄰的1。 ⑷ 圈的個數必須最少 (乘積項最少) 。 ⑸ 圈越大越好（消去的變量多）。 ⑹ 每個圈至少包含一個新的最小項。 ⑺ 寫出最簡與或式。 例：化簡函數 F=∑(1，4，5，6，8，12，13，15)。 解：①畫出F的卡諾圖 ②合并最小項 ③寫出最簡與或表達式 l 具有無關項的邏輯函數及其化簡 ⑴ 約束項、任意項和無關項 在分析某些具體的邏輯

44、函數時，常遇到輸入變量的取值不是任意的情況。對輸入變量的取值所施加的限制為約束。這些受約束的變量取值組合所對應的最小項叫約束項。 l 例如用三個邏輯變量A、B、C分別表示一臺電動機的正轉、反轉和停止命令。A=1表示正轉，B=1表示反轉，C=1表示停止。 l 因為電動機任何時候只能執(zhí)行其中一個命令，所以不允許兩個命令同時為1，即ABC的取值只能是001，010，100中的一種，不能是000，011，110，101，111中的任一種。因此A、B、C是一組具有約束的變量。 通常用約束條件來描述約束的具體內容。 由于每一組輸入變量的取值都使一個，且僅有一個最小項的值為1，所以當限制某些輸入變

45、量不能出現時，可以用它們對應的最小項恒等于0來表示。 上面例子中的約束條件可寫為： 或寫為： l 有時也會遇到在某些輸入變量取值下不影響輸出函數。例如對于8421編碼只出現0000～1001，而1010～1111這6種取值與8421碼無關。通常把與輸出邏輯函數無關的最小項稱作任意項。 l 在不嚴格區(qū)分時，約束項和任意項統(tǒng)稱為無關項。 l 無關是指把它們是否寫入邏輯式中無關緊要，可寫可不寫。在卡諾圖中填入“×”或“Φ”表示。 l 最小項和無關項的表示方法: ——最小項之和； ——無關項之和。 ⑵ 無關項在化簡邏輯函數中的應

46、用 在存在無關項的情況下，可以把一個或幾個無關項寫進邏輯函數中，也可以把無關項從函數式中刪掉，不影響函數值。因此在邏輯函數化簡時，利用無關項有時會給化簡帶來方便。 在卡諾圖上，究竟將“×”作為“1”還是“0”對待，應以得到的相鄰最小項矩形組合最大，而且矩形組合數目最少為原則。 例：化簡具有約束項的邏輯函數 已知約束條件為 解：如果不利用約束項，F已無從化簡，適當寫入一些約束項后，可以得到 可見，利用了約束項以后，能使邏輯函數進一步化簡。 但在確定應該寫入哪些約束項時還不夠直觀。 如果改用卡諾圖化簡法，則只要將F的卡諾圖畫出，立即就能看出化簡時對這

47、些約束項應如何取舍。 如下圖所示?；喗Y果與代數法相同。 例：化簡邏輯函數 F(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,6,8)+∑d(10,11,12,13,14,15)。 解： 例：化簡邏輯函數 F(A,B,C,D)=∑m(15,13,10,6,4)+∑d(8,7,5,2,1,0) 解：不考慮無關項 考慮無關項 l 通常，從邏輯問題概括出來的邏輯函數不一定是最簡的，所以就要求對邏輯函數進行化簡，找到其最簡單的表達式。 l 此外，有時邏輯函數表達式是最簡的形式，但是它不一定適合給定的邏輯門，這種實際情況又要求對已有的最簡式

48、進行適當的變換，才能用給定的邏輯門畫出邏輯電路圖。 一個邏輯函數可有多種不同的表達形式，這些表達式可以互相轉換，例如： 與或表達式是最常用的一種邏輯表達式，最簡與或表達式的標準是：式中含的與項最少；各與項中含的變量數最少。 有了最簡的與或表達式，就很容易得到其他形式的最簡表達式。 這里只介紹了兩種與或表達式的化簡方法。一種是公式化簡法；另一種是卡諾圖化簡法。 例2：化簡函數 F=∑(1，3，5，9)+∑d(7，11，13)。 解： ①畫出F的卡諾圖 ②合并最小項 ③寫出最簡與或表達式 補充內容

49、：最大項標準形式 1. 最大項（Maxterm）: 設有n個邏輯變量，他們組成的和項中每個變量或以原變量的形式、或以反變量形式出現一次，且僅出現一次，此和項稱為n個變量的最大項。 l 由最大項的定義可知，n個變量可以構成2n個最大項。 l 一般用Mi表示最大項，并且規(guī)定，確定下標i的規(guī)則與最小項相反：當變量按一定順序（A,B,C,…）排好后，用0代替原變量，用1代替反變量，由此得到一個二進制數，其對應的十進制數即為下標值i。 A B C 最大項 代號 0 0 0 A+B+C M0 0 0 1 A+B+ M1 0 1 0 A++C M2 0 1

50、 1 A+ M3 1 0 0 +B+C M4 1 0 1 +B+ M5 1 1 0 M6 1 1 1 M7 2. 最大項的性質： ① 任意一個最大項，相應變量有且只有一組取值使這個最大項的值為0。換言子，最大項不同，其值為0的變量取值組合也不同。 ② 任意兩個最大項之和必為1，即：Mi+Mj=1 (i≠j) ③ n個變量的全部最大項之積為0，即： ④ 同變量數下標相同的最大項和最小項互為反函數，即： ， 3．函數的最大項的標準形式： 例如，三變量函數Y(A,B,C)的最大項之積標準式為： ） 可記為： 例1已知函數的最小項標準式為，求其最大項標準式。 解：對原函數兩邊求反，得，再對求反，得： ∴ 例2：求函數的最簡或與表達式。 例3：一個BCD碼輸入素數檢測器，當輸入為素數時，輸出為1。求輸出函數Y得最簡與或表達式。---------+ 28