第10章 穩(wěn)恒磁場

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1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流 第10章 穩(wěn)恒磁場 .....精品文檔...... 第十章 穩(wěn)恒磁場 問題 10-1 你能說出一些有關(guān)電流元激發(fā)磁場與電荷元激發(fā)電場有何異同嗎？ 解 電流元激發(fā)的磁場與電荷元激發(fā)的電場是兩個基元場. 由畢奧—薩伐爾定律定律得電流元激發(fā)的磁場為 由電荷元電場強(qiáng)度公式得電荷元激發(fā)的電場為 相同點(diǎn)： 這兩個場的大小都與場點(diǎn)到“元”（電流元、電荷元）的距離平方成反比； 這兩個場都是矢量場，滿足疊加原理. 相異點(diǎn)： 電荷元產(chǎn)生的電場呈球?qū)ΨQ，其方向與的方向相同或相反；電流元產(chǎn)生的磁場不具有球?qū)ΨQ性，

2、其方向垂直于與 組成的平面，遵從右手螺旋法則. 另外，的大小與電荷元的電量成正比，而的大小不僅與的大小成正比，還與其方向有關(guān). 10-2 在球面上鉛直和水平的兩個圓中通以相等的電流，電流流向如圖所示.問球心處磁感強(qiáng)度的方向是怎樣? 解 由右手螺旋法則可知，鉛直的圓中電流在處產(chǎn)生的磁場方向垂直于鉛直面向里；水平圓中電流在處產(chǎn)生的磁場方向垂直于水平面向下；并且這兩個圓產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等。所以球心處總的磁感應(yīng)強(qiáng)度 斜向里，與豎直向上方向的夾角為. 10-3 電流分布如圖所示,圖中有三個環(huán)路1、2和3. 磁感強(qiáng)度沿其中每一個環(huán)路的線積分各為多少？ 解 由安培環(huán)路定

3、理可知 環(huán)路1 環(huán)路2 環(huán)路3 10-4 “無限長”載流直導(dǎo)線的磁感強(qiáng)度可從畢奧-薩伐爾定律求得.你能否用安培環(huán)路定律來求得呢? 如果可以,需要作哪些假設(shè)條件呢? 解 “無限長”載流直導(dǎo)線周圍的磁場分布呈軸對稱，距離導(dǎo)線相等處的場點(diǎn)磁感強(qiáng)度大小相等. 取以直導(dǎo)線為中軸線、半徑為的同心圓為積分路徑，積分方向與直導(dǎo)線中電流方向遵從右手螺旋定則. 由安培環(huán)路定律可得 在此解法中需要場點(diǎn)距直導(dǎo)線的距離為有限. 10-5 如圖所示,在一個圓形電流的平面內(nèi)取一個同心的圓形閉合回路,并使這兩個圓同軸,且互

4、相平行.由于此閉合回路內(nèi)不包含電流,所以把安培環(huán)路定理用于上述閉合回路可得 由此結(jié)果能否說在閉合回路上各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度為零? 解 不能，不僅與磁感強(qiáng)度的大小有關(guān)，還與磁感強(qiáng)度與積分路徑的夾角有關(guān). 當(dāng)時，也成立. 10-6 如圖所示,設(shè)在水平面內(nèi)有許多根長直載流導(dǎo)線彼此緊挨著排成一行,每根導(dǎo)線中的電流相同. 你能求出鄰近平面中部、兩點(diǎn)的磁感強(qiáng)度嗎？、兩點(diǎn)附近的磁場可看作均勻磁場嗎？ 解 由于導(dǎo)線數(shù)目甚多，且電流分布均勻，相當(dāng)于一個無限大帶電平面. 由對稱性可知，在平面中部附近各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度大小相等. 設(shè)各導(dǎo)線中的電流為，單位長度的導(dǎo)線數(shù)目為. 如圖所示，

5、取長為的矩形回路，回路內(nèi)所包含的電流為，且使、邊與磁場平行，、邊與磁場垂直，所以由安培環(huán)路定律可知 可見當(dāng)導(dǎo)線電流、導(dǎo)線分布密度一定時，在平面中部附近的場強(qiáng)可以視為均勻磁場. 10-7 如果一個電子在通過空間某一區(qū)域時，電子運(yùn)動的路徑不發(fā)生偏轉(zhuǎn)，我們能否說這個區(qū)域沒有磁場？ 解 由洛侖茲力可知，電子進(jìn)入磁場是否受力偏轉(zhuǎn)與電子進(jìn)入磁場時的速度方向有關(guān)，若電子進(jìn)入磁場時初始速度方向與磁場方向平行，即 此時雖然磁感強(qiáng)度不為零，但電子運(yùn)動路徑不會發(fā)生偏轉(zhuǎn). 10-8 方程中的三個矢量，哪些矢量始終是正交的？哪些矢量之間可以有任意角度？ 解 由右手螺旋法則可知 中 ，力與粒子速度，

6、與磁感強(qiáng)度始終正交，與可以有任意角度. 10-9 氣泡室是借助于小氣泡顯示在室內(nèi)通過的帶電粒子徑跡的裝置，如圖是氣泡室中所攝照片的描繪圖，磁感強(qiáng)度的方向垂直平面向外，在照片的點(diǎn)處有兩條曲線，試判斷哪一條徑跡是電子形成的？哪一條是正電子形成的？ 解 由可知向右偏離的徑跡是正電子形成的, 向左下偏離的徑跡是電子形成的. 10-10 在磁場中，若穿過某一閉合曲面的磁通量為零，那么，穿過另一非閉合曲面的磁通量是否也為零呢？ 解 不一定. 磁場為有旋無源場，由磁場中的高斯定理可知，穿過任一閉合曲面的磁通量必為零，即；而穿過一非閉和曲面的磁通量不一定為零，例如處于均勻磁場中的半球面，磁感強(qiáng)

7、度的方向與半球面中軸線平行，則穿過此半球面的磁通量為. 10-11 安培定律中的三個矢量，哪兩個矢量始終是哪些矢量始終是正交的？哪些矢量之間可以有任意角度？ 解 由右手螺旋法則可知中, 安培力與、安培力與磁感強(qiáng)度始終是正交的, 與之間可以有任意角度. 10-12 如圖，把一載流線圈放入一永久磁鐵的磁場中，在磁場的作用下線圈將發(fā)生轉(zhuǎn)動.（1）圖（）中的線圈怎樣轉(zhuǎn)動？（2）圖（）中的線圈由上往下看是順時針在轉(zhuǎn)動，問磁鐵哪一邊是極，哪一邊是極？（3）圖（）中的線圈由上往下看是反時針在轉(zhuǎn)動，問線圈中電流的流向怎樣？ 解 (1) 圖（）中的線圈由上往下看是反時針轉(zhuǎn)動. （2）圖（）中左

8、邊磁鐵是極,右邊磁鐵是極. （3）圖（）中線圈電流是順時針. 10-13 如均勻磁場的方向鉛直向下，一矩形導(dǎo)線回路的平面與水平面一致，試問這個回路上的電流沿哪個方向流動時，它才處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)？ 解 載流回路在磁場中會受到磁場的作用. 要矩形導(dǎo)線回路處于平衡狀態(tài)，則要求整個導(dǎo)線回路所受合力及磁力矩都為零. 由于回路為矩形，無論電流流向如何，它所受合外力均為零. 同時要使回路所受磁力矩也為零，由可知，載流線圈的方向必須與磁感強(qiáng)度的方向相同，回路所受的磁力矩才為零，即電流方向與磁感強(qiáng)度方向應(yīng)遵從右手螺旋定則. 10-14 如圖所示，有兩個圓電流和平行放置，這兩個圓電流間是吸引還是排

9、斥? 解 圓電流產(chǎn)生的磁場與產(chǎn)生的磁場方向相反, 它們之間相互排斥. 10-15 若在上題兩圓電流和之間放置一平行的圓電流（如圖），這個圓電流如何運(yùn)動？ 解 由各圓電流產(chǎn)生的磁場方向可知,圓電流和相互吸引, 圓電流與相互排斥,所以圓電流向移動. 1 21 習(xí)題 10-1 如圖所示，兩根長直導(dǎo)線互相平行的放置，導(dǎo)線內(nèi)電流大小相等均為，方向相同，求圖中、兩點(diǎn)的磁感強(qiáng)度的大小和方向（圖中）. 解 由無限長帶電直導(dǎo)線在距離其處的磁感強(qiáng)度大小為可知，兩導(dǎo)線在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小相等為 由右手螺旋法則可知它們的方向相反

10、，由磁場的疊加可得點(diǎn)的磁感強(qiáng)度 同理點(diǎn)的磁感強(qiáng)度為 其方向沿水平向左. 10-2 已知地球北極地磁場磁感強(qiáng)度的大小為. 如圖所示,如設(shè)想此地磁場是由地球赤道上一圓電流所激發(fā), 此電流有多大? 流向如何? 解 設(shè)赤道圓電流為，地球半徑為。由教材可知，圓電流軸線上距圓心處（地球北極）的磁感強(qiáng)度 由上式可知，此電流大小為 由于地磁場由南極指向北極，由右手螺旋法則可知，此圓電流的流向應(yīng)為自西向東. 10-3 如圖所示,幾種載流導(dǎo)線在平面內(nèi)分布,電流均為,它們在點(diǎn)的磁感強(qiáng)度各為多少? 解 （1）圖（a）中的載流導(dǎo)線可看作兩根直導(dǎo)線和一

11、段圓弧形導(dǎo)線組成。 場點(diǎn)在兩根直導(dǎo)線的延長線上，有，這兩根直導(dǎo)線在點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為零。所以此時點(diǎn)處磁感強(qiáng)度由圓弧電流激發(fā)，即 由右手定則可知方向垂直紙面向外. （2）點(diǎn)磁感強(qiáng)度可看作是一圓電流和長直電流在此處的疊加，圓電流在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度垂直紙面向里，長直電流在點(diǎn)產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度垂直紙面向外，總的磁感強(qiáng)度為 方向垂直紙面向里. （3）點(diǎn)磁感強(qiáng)度可看作是一半圓電流和兩根長直電流在此處的疊加，點(diǎn)總的磁感強(qiáng)度為 方向垂直紙面向外. 10-4 如圖所示,半徑為的木球上繞有密集的細(xì)導(dǎo)線, 線圈平面彼此平行,且以單層線圈覆蓋住半個球面,設(shè)線圈的總匝數(shù)為,通過線圈的電流為. 求球心處的磁感強(qiáng)度

12、. 解 如圖所示，以球心為原點(diǎn)、半球中軸線為軸建立直角坐標(biāo)系。由于導(dǎo)線均勻繞在半球面上，我們可以將半球分成一組薄圓盤，每一個圓盤可看作一個圓電流元。單位弧長上的線圈匝數(shù)為，每一個圓盤中的電流為 它在球心處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為 考慮到、，將上式積分可得球心處總的磁感強(qiáng)度為 10-5 如圖所示,一寬為的薄金屬板, 其電流為,試求在薄板的平面上,距板的一邊為的點(diǎn)的磁感強(qiáng)度. 解 如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)軸。我們可以將薄板分成寬度為的長直電流，且，它在點(diǎn)處所產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為 由于各長直電流在點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度方向相同，故將上式積分可得總的磁感強(qiáng)度為 的方向垂直于紙面向里.

13、 10-6 如圖所示, 載流長直導(dǎo)線的電流為. 試求通過矩形面積的磁通量. 解 以直導(dǎo)線上一點(diǎn)為原點(diǎn)，以通過點(diǎn)的垂線為軸. 則載流導(dǎo)線在距其處產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度為 可見導(dǎo)線周圍各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度并不相同，我們可以通過積分來求通過矩形面積的磁通量，即 10-7 如圖, 在磁感強(qiáng)度為的均勻磁場中,有一半徑為的半球面, 與半球面的軸線夾角為. 求通過該半球面的磁通量. 解 取半球面和球面截圓組成的閉合曲面，由磁場高斯定理可知 所以穿過半球面的磁通量為 10-8 已知裸銅線允許通過電流而不致導(dǎo)線過熱，電流在導(dǎo)線橫截面上均勻分布. 求（1）導(dǎo)線內(nèi)、外磁感強(qiáng)度的分布；（2）導(dǎo)線表面的磁感強(qiáng)

14、度. 解 （1）將導(dǎo)線看作半徑為長直圓柱體，由于電流在導(dǎo)體內(nèi)均勻分布，它產(chǎn)生的磁場也呈軸對稱，取同心圓環(huán)為環(huán)路，對于半徑為的環(huán)路，由安培環(huán)路定理可得 在導(dǎo)線內(nèi)，半徑為的圓環(huán)內(nèi)的電流，則半徑為的同軸圓柱面上各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度為 在導(dǎo)線外，，所以導(dǎo)線外部的磁感強(qiáng)度為 （2）由上問可知，在導(dǎo)線表面的磁感強(qiáng)度連續(xù)，所以表面的磁感強(qiáng)度為 10-9 有一同軸電纜，其尺寸如圖所示. 兩導(dǎo)體中的電流均為，但電流的流向相反，導(dǎo)體的磁性可以不考慮. 試計(jì)算以下各處的磁感強(qiáng)度：（1）；（2）；（3）；（4）. 畫出圖線. 解 由于電纜中電流均勻分布，其產(chǎn)生的磁場也呈軸對稱，取不同半徑的同心

15、環(huán)為積分環(huán)路，由安培環(huán)路定理有 當(dāng)時 ，磁感強(qiáng)度為 當(dāng)時 ，磁感強(qiáng)度為 當(dāng)時 ，磁感強(qiáng)度為 當(dāng)時 ，磁感強(qiáng)度為 其分布曲線如右. 10-10 設(shè)電流均勻流過無限大導(dǎo)電平面，其電流密度為. 求導(dǎo)電平面兩側(cè)的磁感強(qiáng)度. 解 導(dǎo)電平面內(nèi)電流均勻分布，平面兩側(cè)的磁感強(qiáng)度大小相等，方向相反。如圖所示，垂直于導(dǎo)電平面取矩形回路，并且使、均平行于矩形與導(dǎo)電平面的交線，. 回路內(nèi)包含的電流. 由安培環(huán)路定理，磁感強(qiáng)度沿回路的積分為 又，、段路徑與磁場垂直，所以上式為 所以導(dǎo)電平面兩側(cè)的磁感強(qiáng)度大小為 10-11 設(shè)有兩無限大平行載流平面，它們的電流密度均

16、為，電流流向相反. 求（1）兩載流平面之間的磁感強(qiáng)度；（2）兩面之外空間的磁感強(qiáng)度. 解 由上題結(jié)果可知,一無限大載流平面在兩測的磁感強(qiáng)度大小為,方向相反.設(shè)兩載流平面的電流流向如右圖所示. 由疊加原理得在兩平面在之間磁感強(qiáng)度為 其方向垂直紙面向里. 在兩平面之外，由于兩平面在此區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的磁場大小相等、方向相反，所以磁感強(qiáng)度 10-12 測定離子質(zhì)量的質(zhì)譜儀如圖所示，離子源產(chǎn)生質(zhì)量為，電荷為的離子，離子初速很小，可看作靜止. 經(jīng)電勢差加速后離子進(jìn)入磁感強(qiáng)度為的均勻磁場，并沿一半圓形軌道到達(dá)離入口處距離的感光底片上. 試證明該離子的質(zhì)量為 證明

17、 離子經(jīng)電勢差加速后獲得一定的初速度進(jìn)入磁場，在磁場中會受在洛侖茲力的作用下作圓周運(yùn)動. 由動能定理 可知，離子進(jìn)入磁場的初速度為 由題意可知，離子作圓周運(yùn)動的半徑，所以有 由上述兩式可得離子質(zhì)量為 10-13 已知地面上空某處地磁場的磁感強(qiáng)度，方向向北。若宇宙射線中有一速率的質(zhì)子垂直的通過該處，求：（1）洛倫茲力的方向；（2）洛倫茲力的大小，并與該質(zhì)子受到的萬有引力相比較. 解 （1）如圖，由可知，洛倫茲力的方向與的方向一致. （2）因?yàn)橘|(zhì)子運(yùn)動方向與磁感強(qiáng)度的方向垂直，所以質(zhì)子受到的洛倫茲力的大小為 此質(zhì)子受到的萬有引力為，可見質(zhì)子在此處受到的洛倫茲力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大

18、于它所受到的萬有引力. 10-14 如圖所示，設(shè)有一質(zhì)量為的電子射入磁感強(qiáng)度為的均勻磁場中，當(dāng)它位于點(diǎn)時，具有與磁場方向成角的速度，它沿螺旋線運(yùn)動一周到達(dá)點(diǎn)，試證、兩點(diǎn)的距離為 證明 入射電子的速度可以分解為垂直于磁感強(qiáng)度方向的分量和平行于磁感強(qiáng)度方向的分量. 電子的運(yùn)動可以分解成在垂直于磁感強(qiáng)度的平面內(nèi)受到洛倫茲力所作的圓周運(yùn)動和在平行于磁感強(qiáng)度方向以勻速運(yùn)動. 這兩個運(yùn)動的疊加軌跡是一等距螺旋線. 在垂直于磁感強(qiáng)度方向的平面內(nèi)，電子運(yùn)動一周的時間、即圓周運(yùn)動的周期為 在水平方向，經(jīng)過時間，電子運(yùn)動的距離為 10-15 利用霍耳元件可以測量磁場的磁感強(qiáng)度，設(shè)一霍耳元件由一金屬

19、材料制成，其厚度為，載流子數(shù)密度為，將霍耳元件放入待測磁場中，測得霍耳電壓為，測得電流為。求此待測磁場的磁感強(qiáng)度. 解 由霍耳電壓可知，待測磁感強(qiáng)度為 10-16 載流子濃度是半導(dǎo)體材料的重要參數(shù)，工藝上通過控制三價或五價摻雜原子的濃度，來控制型或型半導(dǎo)體的載流子濃度. 利用霍耳效應(yīng)可以測量載流子的濃度和類型. 如圖所示一塊半導(dǎo)體材料樣品，均勻磁場垂直于樣品表面，樣品中通過的電流為，現(xiàn)測得霍耳電壓為. 證明樣品載流子濃度為 證明 半導(dǎo)體中載流子在磁場中受到洛侖茲力的作用會積聚在導(dǎo)體兩側(cè)面(兩側(cè)面相距為)，從而在側(cè)面建立起電場，即霍耳電場，兩側(cè)面的電壓為霍耳電壓. 當(dāng)載流子受到的洛侖

20、茲力與電場力平衡時有 由載流子速度與電流的關(guān)系為 由上兩式可知樣品載流子的濃度為 10-17 一通有電流為的導(dǎo)線，彎成如圖所示的形狀，放在磁感強(qiáng)度為的均勻磁場中，的方向垂直紙面向里. 問此導(dǎo)線受到的安培力為多少？ 解 此導(dǎo)線可視為兩段直導(dǎo)線和一段半圓弧. 由安培定律，兩直導(dǎo)線受到的安培力大小相等、方向相反. 導(dǎo)線受到的安培力即半圓弧受到的安培力. 如右圖所示，建立坐標(biāo)系，在圓弧上取一小段電流元，它所受到的安培力為 由對稱性可知，圓弧導(dǎo)線受到的安培力在水平面上的分量為零，所以 其方向沿軸方向. 10-18 如圖所示，一根長直導(dǎo)線載有電流，矩形回路載有電流. 試計(jì)算

21、作用在回路上的合力. 已知，，. 解 由安培環(huán)路定理可知，長直導(dǎo)線在距離其處激發(fā)的磁感強(qiáng)度為 且在回路所在的區(qū)域磁場方向垂直紙面向里. 由安培定理可知，矩形線框中上、下兩邊受到的力、大小相等方向相反，線框左、右兩邊受到的安培力大小分別為 所以線框受到的合力為 其方向水平向左. 10-19 一直流變電站將電壓的直流電，通過兩條截面不計(jì)的平行輸電線輸向遠(yuǎn)方. 已知兩輸電導(dǎo)線間單位長度的電容為，若導(dǎo)線間的靜電力與安培力正好抵消. 求（1）通過輸電線的電流；（2）輸送的功率. 解 （1）設(shè)兩導(dǎo)線相距為，一導(dǎo)線在另一導(dǎo)線處激發(fā)的磁感強(qiáng)度為 則單位長度的導(dǎo)線受到的安培力大小為 又

22、兩導(dǎo)線單位長度上的電容為，電壓為，則單位長度上的電荷為，一導(dǎo)線在另一導(dǎo)線處激發(fā)的電場強(qiáng)度為 所以單位長度的導(dǎo)線受到的電場力為 當(dāng)導(dǎo)線受到的靜電力與安培力抵消，即 所以輸電線上的電流為 （2）由可知輸送的功率為 10-20 如圖所示，將一電流均勻分布的無限大載流平面放入磁感強(qiáng)度為的均勻磁場中，電流方向與磁場垂直，放入后，平面兩側(cè)磁場的磁感強(qiáng)度分別為和，求該載流平面上單位面積所受的磁場力的大小和方向. 解 設(shè)載流平面內(nèi)電流密度為，由10-10題可知，無限大載流平面在其兩側(cè)所產(chǎn)生的磁感強(qiáng)度大小為，將此平面放入磁場中，由疊加原理可知，載流平面兩側(cè)區(qū)域的磁感強(qiáng)度分別為 由上兩式可得

23、 所以載流平面上單位面積所受的磁場力 10-21 一半徑為的薄圓盤，放在磁感強(qiáng)度為的均勻磁場中，的方向與盤面平行. 在圓盤表面電荷面密度為，若圓盤以角速度繞通過盤心并垂直盤面的軸轉(zhuǎn)動. 求證作用在圓盤上的磁力矩為 證明 旋轉(zhuǎn)的帶電薄圓盤可以視為一組半徑不同的同心圓電流。在圓盤上取半徑為、寬為的同心細(xì)圓環(huán)，其等效電流為 又此圓電流的磁矩為 它所受到的磁力矩為 所以作用在圓盤上的磁力矩為 10-22 在氫原子中，設(shè)電子以軌道角動量，繞質(zhì)子作圓周運(yùn)動，其半徑為，求質(zhì)子所在處的磁感強(qiáng)度，為普朗克常量，其值為. 解 設(shè)電子運(yùn)動的速度為，則其軌道角動量為 所以電子繞

24、核運(yùn)動的速度為 其等效電流為 則它在圓心（即質(zhì)子處）的磁感強(qiáng)度為 10-23 如圖所示是一種正在研究中的電磁軌道炮的原理圖。該裝置可用于發(fā)射速度高達(dá)的炮彈。炮彈置于兩條平行軌道之間并與軌道想接觸，軌道是半徑為的圓柱形導(dǎo)體，軌道間距為，炮彈沿軌道可以自由滑動. 恒流電源E，炮彈及軌道構(gòu)成一閉合回路，回路中電流為.（1）證明作用在炮彈上的磁場力為 （2）假設(shè)，，，炮彈從靜止起經(jīng)過一段路程的加速后速率為多大？（設(shè)炮彈質(zhì)量） 解 （1）通過兩軌道的電流大小相等，方向相反，它們在軌道之間產(chǎn)生垂直于回路平面向里的磁感強(qiáng)度，通有電流的炮彈在磁場中受力，向右加速運(yùn)動，從而獲得較大的發(fā)射速度. 我們可以將軌道視為兩根半無限長載流圓柱。取兩軌道對稱軸為軸（如圖所示），則兩軌道在炮彈上任一點(diǎn)（此點(diǎn)縱坐標(biāo)為）處激發(fā)的總的磁感強(qiáng)度為 所以炮彈受到的磁場力為 （2）炮彈從靜止被加速，經(jīng)過路程后所獲得的速度為