6、類題·通】
解三角形的一般方法
(1)已知兩角和一邊，如已知A、B和c，由A+B+C=π求C，由正弦定理求a、b.
(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a、b和C，應(yīng)先用余弦定理求c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對(duì)的角，然后利用A+B+C=π，求另一角.
(3)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，如已知a、b和A，應(yīng)先用正弦定理求B，由A+B+C=π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多種情況.
(4)已知三邊a、b、c，可應(yīng)用余弦定理求A、B、C.
【加練·固】
在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，B=45°，b=，cos C=.
(1)求邊長(zhǎng)a.
7、
(2)設(shè)AB中點(diǎn)為D，求中線CD的長(zhǎng).
【解析】(1)由cos C= 得：
sin C= ==，
sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C
=×+×=，
由正弦定理得a===3.
(2)由余弦定理得c2= (3)2+()2-2×3××=4，
所以c=2，又因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以BD=1.
在△BCD中，由余弦定理得
CD2=BD2+BC2-2×BD×BC×cos B
= 12+(3)2-2×1×3×=13，所以CD=.
角度3 計(jì)算三角形的面積
【典例3】在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且asin B=-bsin.
8、
(1)求A.
(2)若△ABC的面積S=c2， 求sin C的值.
【解析】(1)因?yàn)閍sin B=-bsin(A+) ，所以由正弦定理得sin A=-sin(A+) ，
即sin A=-sin A-cos A，化簡(jiǎn)得tan A=-，
因?yàn)锳∈(0，π)，所以A=.
(2)因?yàn)锳=，所以sin A=，
由S=c2=bcsin A=bc，得b=c，
所以a2=b2+c2-2bccos A=7c2，
則a=c，由正弦定理得sin C= =.
【延伸·練】
將本例條件“asin B=-bsin”改為“bsin B+(c-b)sin C=asin A”，“S=c2”改為
9、“sin Bsin C=，S=2”，求角A和a.
【解析】因?yàn)閎sin B+(c-b)sin C=asin A，
由正弦定理得b2+(c-b)c=a2，即b2+c2-a2=bc，
所以cos A==，又A∈，
所以A=.由正弦定理得b=，c=，
所以S△ABC=bcsin A
=···sin A
==2.又sin Bsin C=，
sin A=，所以a2=2，解得a=4.
【類題·通】
與三角形的面積有關(guān)的兩類題型
對(duì)于此類問(wèn)題，一般用公式S=absin C=bcsin A=acsin B進(jìn)行求解，可分為以下兩種情況：
(1)若所求面積為不規(guī)則圖形，可通過(guò)作輔助線或
10、其他途徑構(gòu)造三角形，轉(zhuǎn)化為求三角形的面積.
(2)若所給條件為邊角關(guān)系，則需要運(yùn)用正、余弦定理求出某兩邊及夾角，再利用三角形面積公式進(jìn)行求解.
【加練·固】
(2019·常州高一檢測(cè))在△ABC中，∠BAC=，AB=6，AC=3，點(diǎn)D在BC邊上，AD=BD.
(1)求BC的長(zhǎng)度及sin B的值.
(2)求AD的長(zhǎng)度及△ADC的面積.
【解析】(1) 在△ABC中，由余弦定理得：
BC=
==3.
在△ABC中，由正弦定理得： =，
所以sin B===.
(2)因?yàn)锽∈，cos B=，
記AD=BD=x，在△ABD中，
cos B===，得x=.
所以AD=.
11、S△ADC=S△ABC-S△ABD=AB·(BC-BD)sin B=×6×2×=6.
角度4 解三角形與三角函數(shù)向量的綜合應(yīng)用
【典例4】(2019·嘉興高一檢測(cè))已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c， 滿足sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B.
(1)求角C大小.
(2)若c=2，求a+b的取值范圍.
【解析】(1)因?yàn)閟in2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B，
所以由正弦定理得a2+b2-c2=-ab，
所以cos C===-，
因?yàn)镃∈，所以C=.
(2)由正弦定理得2R==4，
所以a+b=2R
=4[sin
12、 A+sin]
=4
=4sin，因?yàn)锳∈，
所以A+∈，所以sin(A+)∈，
所以a+b的取值范圍是.
【類題·通】
正、余弦定理綜合應(yīng)用的兩類題型
正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進(jìn)行了量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù)，主要題型有以下兩類
(1)解三角形與向量的交匯問(wèn)題，可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識(shí)轉(zhuǎn)化求解.
(2)解三角形與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題，可以運(yùn)用三角形的基礎(chǔ)知識(shí)、正余弦定理、三角形面積公式與三角恒等變換，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)造方程及函數(shù)求解.
【加練·固】
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a>c，已知·=2，
13、
cos B=，b=3.求：
(1)a和c的值.
(2)cos(B-C)的值.
【解析】(1)由·=2得cacos B=2.
又cos B=，所以ac=6.
由余弦定理，得a2+c2=b2+2accos B.
又b=3，所以a2+c2=9+2×6×=13.
解 得或
因?yàn)閍>c，所以a=3，c=2.
(2)在△ABC中，sin B===，
由正弦定理，得sin C=sin B=×=.
因?yàn)閍=b>c，所以C為銳角，
因此cos C===.
于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C
=×+×=.
素養(yǎng)二 直觀想象
角度 平面向量在解三角形
14、中的應(yīng)用
【典例5】已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，并且滿足+2+3=0，△BOC的面積為S1，△ABC的面積為S2，則= ( )
A. B. C. D.
【解析】選A.因?yàn)?2+3=0，
所以+=-2，
分別取AC，BC的中點(diǎn)D，E，則
+=2，+=2，
所以=-2，即O，D，E三點(diǎn)共線且
=2，如圖所示，
則S△OBC=S△DBC，
由于D為AC中點(diǎn)，
所以S△DBC=S△ABC，
所以S△OBC=S△ABC，即=.
【類題·通】
數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中的應(yīng)用
(1)向量的線性運(yùn)算中，三角形、平行四邊形法則、數(shù)乘向量都讓向量具備形的特征，解
15、此類問(wèn)題的關(guān)鍵往往是利用圖形直觀地進(jìn)行分析，如典例5中，通過(guò)對(duì)已知向量表達(dá)式的變形，推出△BOC與△ABC的面積之間的關(guān)系.
(2)向量的數(shù)量積運(yùn)算中，首先要注意向量投影的應(yīng)用，其次向量的數(shù)量積可處理線段的長(zhǎng)度、兩直線夾角問(wèn)題.
【加練·固】
如圖，已知AB為圓C的一條弦，且·=2，則=________.?
【解析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，則D為弦AB的中點(diǎn)，
在Rt△ACD中，AD=AB，
cos∠CAB==，
·=cos∠CAB==2，
所以=2.
答案：2
素養(yǎng)三 邏輯推理
角度1 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用
【典例6】已知△ABC，點(diǎn)H，O為△AB
16、C 所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且·=·，·=·，++=，則點(diǎn)O為△ABC 的 ( )
A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心
【解析】選B.因?yàn)椤?·，
所以·=0，即·=0，
又++=，
所以+=-，即=+，
所以·=0，
即·=0，
所以=，所以O(shè)B=OC，
同理OA=OC，所以O(shè)是△ABC 的外心.
【類題·通】
向量在平面幾何中的應(yīng)用
平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題.
設(shè)a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，λ為實(shí)數(shù).
(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問(wèn)題，包括相似問(wèn)
17、題，常用共線向量定理：
a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0.
(2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：
a⊥b? a·b=0? x1x2+y1y2=0.
(3)求夾角問(wèn)題，利用夾角公式：
cos θ==(θ為a與b的夾角).
【加練·固】
若O為△ABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，·=0 ，則△ABC 的形狀是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.以上答案均錯(cuò)
【解析】選A.·=·=0，
設(shè)D為AB的中點(diǎn)，則+=2，
所以·2=0，所以⊥，
所以△ABC的中線與底邊垂直，
所以△ABC是等腰三角形.
角度2 利用正
18、弦、余弦定理判斷三角形的形狀
【典例7】已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a+c=2b，2cos 2B-8cos B+5=0，求角B的大小并判斷△ABC的形狀.
【解析】因?yàn)?cos 2B-8cos B+5=0，所以2(2cos2B-1)-8cos B+5=0.所以4cos2B-8cos B+3=0，
即(2cos B-1)(2cos B-3)=0.
解得cos B=或cos B=(舍去).
因?yàn)?
19、os A-cossin A=.
化簡(jiǎn)得sin A+cos A=，所以sin=1.
因?yàn)?0?A為銳角，b2+c2-a2=0?A為直角，b2+c2-a2<0?A為鈍角.
【加練·固】
在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asin A=(2b+c)
20、sin B+(2c+
b)sin C.
(1)求A的大小.
(2)若sin B+sin C=1，試判斷△ABC的形狀.
【解析】(1)由已知和正弦定理得
2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即a2=b2+c2+bc.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，故cos A=-，
又0°
21、 B+sin C=1，故sin B=sin C=.
因?yàn)?°
22、°cos γ-cos 60°sin γ=.
在△PBC中，∠BPC=60°-γ，∠PCB=γ，
BC=12-3.由正弦定理可得，
PB===6.
在△PAB中，∠PAB=45°，∠APB=75°，
PB=6.由正弦定理可得，
AB===9+3，
即DE=AB-AD-EB=9
所以，隧道DE的長(zhǎng)度為9.
【類題·通】
1.幾種常見(jiàn)題型
測(cè)量距離問(wèn)題、測(cè)量高度問(wèn)題、測(cè)量角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題等.
2.解題時(shí)需注意的幾個(gè)問(wèn)題
(1)要注意仰角、俯角、方位角、方向角等概念，并能準(zhǔn)確地找出(或作出)這些角；
(2)要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來(lái)，發(fā)現(xiàn)題
23、目中的隱含條件，才能順利解決.
【加練·固】
如圖，A，C兩島之間有一片暗礁，一艘小船于某日上午8時(shí)從A島出發(fā)，以10海里/小時(shí)的速度，沿北偏東75°方向直線航行，下午1時(shí)到達(dá)B處.然后以同樣的速度，沿北偏東15°方向直線航行，下午4時(shí)到達(dá)C島.
(1)求A，C兩島之間的直線距離.
(2)求∠BAC的正弦值.
【解析】(1)在△ABC中，由已知，AB=10×5=50，BC=10×3=30，
∠ABC=180°-75°+15°=120°.
根據(jù)余弦定理，得AC2=502+302-2×50×30cos 120°=4 900，所以AC=70.故A，C兩島之間的直線距離是70海里.
(2)在△ABC中，據(jù)正弦定理，得=，所以
sin∠BAC===.故∠BAC的正弦值是.
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2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第一課 考點(diǎn)突破素養(yǎng)提升 新人教A版必修2
