2019-2020學年高中數(shù)學 綜合測試題1 計數(shù)原理 北師大版選修2-3

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1、第一章　計數(shù)原理綜合測試題 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題中只有一項符合題目要求) 1．設東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆犯饔?、3、3、4條路，只從一面上山，而從任意一面下山的走法最多，應(　　) A．從東邊上山　　　　　　 B．從西邊上山 C．從南邊上山 D．從北邊上山 答案　D 2．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y＝x2，值域為{1，4}的“同族函數(shù)”共有(　　) A．7個 B．8個 C．9個 D．10個 答案　C 解析　由題意，問題的關鍵在于確定函數(shù)定義域的個數(shù)：

2、第一步，先確定函數(shù)值1的原象：因為y＝x2，當y＝1時，x＝1或x＝－1，為此有三種情況：即{1}，{－1}，{1，－1}；第二步，確定函數(shù)值4的原象，因為y＝4時，x＝2或x＝－2，為此也有三種情況：{2}，{－2}，{2，－2}．由分步計數(shù)原理，得到：3×3＝9個．選C. 3．已知(x2＋)n的展開式的各項系數(shù)和為32，則展開式中x4的系數(shù)為(　　) A．5 B．40 C．20 D．10 答案　D 解析　令x＝1，得2n＝32，所以n＝5，則C5r(x2)5－r()r＝C5rx10－3r，令10－3r＝4，得r＝2，所以展開式中x4的系數(shù)為C52＝10. 4．二項式(＋

3、)n的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是(　　) A．180 B．90 C．45 D．360 答案　A 解析　因為(＋)n的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，所以n＝10，Tr＋1＝C10r·()10－r·()r＝2rC10r·x5－r，令5－r＝0，則r＝2，T3＝4C102＝180.故應選A. 5．在航天員進行的一項太空實驗中，先后要實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實施時必須相鄰，請問實驗順序的編排方法共有(　　) A．24種 B．48種 C．96種 D．144種 答案　C 解析　當A出現(xiàn)在第一步時，再排

4、A，B，C以外的三個程序，有A33種，A與A，B，C以外的三個程序生成4個可以排列程序B、C的空檔，此時共有A33A41A22種排法；當A出現(xiàn)在最后一步時的排法與此相同，故共有2A33A41A22＝96種編排方法． 6．有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這三項任務，不同的選法有(　　) A．2 520 B．2 025 C．1 260 D．5 040 答案　A 解析　先從10人中選出2人承擔甲任務有C102種選法，再從剩下的8人中選出2人分別承擔乙、丙任務，有A82種選法，由分步乘法計數(shù)原理共有C102A82＝2 520種不同的選法．

5、故選A. 7．有5列火車停在某車站并行的5條軌道上，若快車A不能停在第3道上，貨車B不能停在第1道上，則5列火車的停車方法共有(　　) A．78種 B．72種 C．120種 D．96種 答案　A 解析　不考慮不能停靠的車道，5輛車共有5！＝120種停法． A停在3道上的停法：4?。?4(種)；B種停在1道上的停法：4?。?4(種)； A、B分別停在3道、1道上的停法：3?。?(種)． 故符合題意的停法：120－24－24＋6＝78(種)．故選A. 8．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a0＋a1＋a2＋…＋an＝16，則自然數(shù)n等于(　　)

6、A．6 B．5 C．4 D．3 答案　C 解析　令x＝1，得2n＝16，則n＝4.故選C. 9．6個人排隊，其中甲、乙、丙3人兩兩不相鄰的排法有(　　) A．30種 B．144種 C．5種 D．4種 答案　B 解析　分兩步完成：第一步，其余3人排列有A33種排法；第二步，從4個可插空檔中任選3個給甲、乙、丙3人站有A43種插法．由分步乘法計數(shù)原理可知，一共有A33A43＝144種． 10．已知展開式中常數(shù)項為1 120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是 (　　) A．28 B．38 C．1或38 D．1或28 答案　C 解析　Tr＋

7、1＝(－a)rC8rx8－2r，令8－2r＝0?r＝4. ∴T5＝C84(－a)4＝1 120，∴a＝±2.當a＝2時，和為1； 當a＝－2時，和為38. 11．有A、B、C、D、E、F共6個集裝箱，準備用甲、乙、丙三輛卡車運送，每臺卡車一次運兩個，若卡車甲不能運A箱，卡車乙不能運B箱，此外無其他任何限制；要把這6個集裝箱分配給這3臺卡車運送，則不同的分配方案的種數(shù)為(　　) A．168 B．84 C．56 D．42 答案　D 解析　分兩類：①甲運B箱，有C41·C42·C22種；②甲不運B箱，有C42·C32·C22. ∴不同的分配方案共有C41·C42·C22＋C4

8、2·C32·C22＝42種．故選D. 12．從2名女教師和5名男教師中選出三位教師參加2015年高考某考場的監(jiān)考工作．要求一女教師在室內(nèi)流動監(jiān)考，另外兩位教師固定在室內(nèi)監(jiān)考，問不同的安排方案種數(shù)為(　　) A．30 B．180 C．630 D．1 080 答案　A 解析　分兩類進行：第一類，在兩名女教師中選出一名，從5名男教師中選出兩名，且該女教師只能在室內(nèi)流動監(jiān)考，有C21·C52種選法；第二類，選兩名女教師和一名男教師有C22·C51種選法，且再從選中的兩名女教師中選一名作為室內(nèi)流動監(jiān)考人員，即有C22·C51·C21共10種選法，∴共有C21·C52＋C22·C51·C

9、21＝30種，故選A. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上) 13．已知(x＋2)n的展開式中共有5項，則n＝________，展開式中的常數(shù)項為________．(用數(shù)字作答) 答案　4　16 解析　∵展開式共有5項，∴n＝4，常數(shù)項為C4424＝16. 14．5個人排成一排，要求甲、乙兩人之間至少有一人，則不同的排法有________種． 答案　72 解析　甲、乙兩人之間至少有一人，就是甲、乙兩人不相鄰，則有A33·A42＝72(種)． 15．已知(x＋1)6(ax－1)2的展開式中含x3項的系數(shù)是20，則a的值等于________．

10、答案　0或5 16．用數(shù)字2，3組成四位數(shù)，且數(shù)字2，3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個．(用數(shù)字作答) 答案　14 解析　因為四位數(shù)的每個數(shù)位上都有兩種可能性，其中四個數(shù)字全是2或3的情況不合題意，所以適合題意的四位數(shù)有24－2＝14個． 三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17．(10分)4個相同的紅球和6個相同的白球放入袋中，現(xiàn)從袋中取出4個球；若取出的紅球個數(shù)不少于白球個數(shù)，則有多少種不同的取法？ 解析　依題意知，取出有4個球中至少有2個紅球，可分三類：①取出的全是紅球有C44種方法；②取出的4個球中有3個紅球的

11、取法有C43C61；③取出的4個球中有2個紅球的取法有C42C62種，由分類計數(shù)原理，共有C44＋C43·C61＋C42·C62＝115(種)． 18．(12分)從1到6的六個數(shù)字中取兩個偶數(shù)和兩個奇數(shù)組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)．試問： (1)能組成多少個不同的四位數(shù)？ (2)四位數(shù)中，兩個偶數(shù)排在一起的有幾個？ (3)兩個偶數(shù)不相鄰的四位數(shù)有幾個？(所有結果均用數(shù)值表示) 解析　(1)四位數(shù)共有C32C32A44＝216個． (2)上述四位數(shù)中，偶數(shù)排在一起的有C32C32A33A22＝108個． (3)兩個偶數(shù)不相鄰的四位數(shù)有C32C32A22A32＝108個． 19．(12

12、分)已知(1＋2)n的展開式中，某一項的系數(shù)恰好是它的前一項系數(shù)的2倍，而且是它的后一項系數(shù)的，試求展開式中二項式系數(shù)最大的項． 解析　由題意知展開式中第k＋1項系數(shù)是第k項系數(shù)的2倍，是第k＋2項系數(shù)的， ∴解得n＝7. ∴展開式中二項式系數(shù)最大兩項是： T4＝C73(2)3＝280x與T5＝C74(2)4＝560x2. 20．(12分)某單位有三個科室，為實現(xiàn)減負增效，每科室抽調(diào)2人，去參加再就業(yè)培訓，培訓后這6人中有2人返回原單位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，問共有多少種不同的安排方法？ 解析　6人中有2人返回原單位，可分兩類： (1)2人來自同科室：C31C

13、21＝6種； (2)2人來自不同科室：C32C21C21，然后2人分別回到科室，但不回原科室有3種方法，故有C32C21C21·3＝36種． 由分類計數(shù)原理共有6＋36＝42種方法． 21．(12分)10件不同廠生產(chǎn)的同類產(chǎn)品： (1)在商品評選會上，有2件商品不能參加評選，要選出4件商品，并排定選出的4件商品的名次，有多少種不同的選法？ (2)若要選6件商品放在不同的位置上陳列，且必須將獲金質獎章的兩件商品放上，有多少種不同的布置方法？ 解析　(1)10件商品，除去不能參加評選的2件商品，剩下8件，從中選出4件進行排列，有A84＝1 680(或C84·A44)(種)． (2)分

14、步完成．先將獲金質獎章的兩件商品布置在6個位置中的兩個位置上，有A62種方法，再從剩下的8件商品中選出4件，布置在剩下的4個位置上，有A84種方法，共有A62·A84＝50 400(或C84·A66)(種)． 22．(12分)已知(x2＋1)(x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11. (1)求a2的值； (2)求展開式中系數(shù)最大的項； (3)求(a1＋3a3＋…＋11a11)2－(2a2＋4a4＋…＋10a10)2的值． 解析　(1)(x2＋1)(x－1)9＝(x2＋1)(C90x9－C91x8＋C92x7－C93x6＋C94x5－C95x4＋C96x3－C97x2＋C

15、98x－C99)， 則a2＝－C99－C97＝－37. (2)展開式中的系數(shù)中，數(shù)值為正數(shù)的系數(shù)為a1＝C98＝9，a3＝C96＋C98＝93，a5＝C94＋C96＝210，a7＝C92＋C94＝162，a9＝C90＋C92＝37，a11＝C90＝1， 故展開式中系數(shù)最大的項為210x5. (3)對(x2＋1)(x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11兩邊同時求導，得(11x2－2x＋9)(x－1)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋11a11x10， 令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋10a10＋11a11＝0， 所以(a1＋3a3＋…＋11a11)2－(2a2＋4a4＋…＋10a10)2＝(a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋10a10＋11a11)(a1－2a2＋3a3－4a4＋…－10a10＋11a11)＝0. 6