數(shù)字信號處理習(xí)題集附答案.doc

《數(shù)字信號處理習(xí)題集附答案.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)字信號處理習(xí)題集附答案.doc（73頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一章 數(shù)字信號處理概述簡答題：1 在A/D變換之前和D/A變換之后都要讓信號通過一個低通濾波器，它們分別起什么作用？答：在A/D變化之前讓信號通過一個低通濾波器，是為了限制信號的最高頻率，使其滿足當采樣頻率一定時，采樣頻率應(yīng)大于等于信號最高頻率2倍的條件。此濾波器亦稱位“抗折疊”濾波器。在D/A變換之后都要讓信號通過一個低通濾波器，是為了濾除高頻延拓譜，以便把抽樣保持的階梯形輸出波平滑化，故友稱之為“平滑”濾波器。判斷說明題：2模擬信號也可以與數(shù)字信號一樣在計算機上進行數(shù)字信號處理，自己要增加一道采樣的工序就可以了。 （ ）答：錯。需要增加采樣和量化兩道工序。3一個模擬信號處理系統(tǒng)總可以轉(zhuǎn)換

2、成功能相同的數(shù)字系統(tǒng)，然后基于數(shù)字信號處理理論，對信號進行等效的數(shù)字處理。（ ）答：受采樣頻率、有限字長效應(yīng)的約束，與模擬信號處理系統(tǒng)完全等效的數(shù)字系統(tǒng)未必一定能找到。因此數(shù)字信號處理系統(tǒng)的分析方法是先對抽樣信號及系統(tǒng)進行分析，再考慮幅度量化及實現(xiàn)過程中有限字長所造成的影響。故離散時間信號和系統(tǒng)理論是數(shù)字信號處理的理論基礎(chǔ)。第二章 離散時間信號與系統(tǒng)分析基礎(chǔ)一、連續(xù)時間信號取樣與取樣定理計算題：1過濾限帶的模擬數(shù)據(jù)時，常采用數(shù)字濾波器，如圖所示，圖中T表示采樣周期（假設(shè)T足夠小，足以防止混迭效應(yīng)），把從的整個系統(tǒng)等效為一個模擬濾波器。（a）如果，求整個系統(tǒng)的截止頻率。（b）對于，重復(fù)（a）的計

3、算。解 （a）因為當，在數(shù) 模變換中 所以得截止頻率對應(yīng)于模擬信號的角頻率為因此 由于最后一級的低通濾波器的截止頻率為，因此對沒有影響，故整個系統(tǒng)的截止頻率由決定，是625Hz。 （b）采用同樣的方法求得，整個系統(tǒng)的截止頻率為 二、離散時間信號與系統(tǒng)頻域分析計算題：1設(shè)序列的傅氏變換為，試求下列序列的傅里葉變換。（1） （2）（共軛）解：（1）由序列傅氏變換公式 DTFT可以得到DTFT （2）（共軛）解：DTFT2計算下列各信號的傅里葉變換。 （a） （b）（c） （d）解：（a） （b） （c）（d）利用頻率微分特性，可得3序列的傅里葉變換為，求下列各序列的傅里葉變換。 （1） （2） (

4、3) 解： （1） （2） （3）4序列的傅里葉變換為，求下列各序列的傅里葉變換。 （1） （2） (3) 解：（1） （2） （3）5令和表示一個序列及其傅立葉變換，利用表示下面各序列的傅立葉變換。（1）（2） 解：（1） （2）6設(shè)序列傅立葉變換為，求下列序列的傅立葉變換。（1） 為任意實整數(shù)（2）（3）解：（1） （2） n為偶數(shù) 0 n為奇數(shù) （3）7計算下列各信號的傅立葉變換。（1）（2）（3）【解】（1） （2）假定和的變換分別為和，則所以 （3） 8求下列序列的時域離散傅里葉變換 ， ， 解： 三、離散時間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù) 填空題：1設(shè)是線性相位FIR系統(tǒng)，已知中的3個零點分別為1，

5、0.8，1+j，該系統(tǒng)階數(shù)至少為（ ）。解：由線性相位系統(tǒng)零點的特性可知，的零點可單獨出現(xiàn)，的零點需成對出現(xiàn)，的零點需4個1組，所以系統(tǒng)至少為7階。簡答題：2何謂最小相位系統(tǒng)？最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有何特點？解：一個穩(wěn)定的因果線性移不變系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)可表示成有理方程式 ，他的所有極點都應(yīng)在單位圓內(nèi)，即。但零點可以位于Z平面的任何地方。有些應(yīng)用中，需要約束一個系統(tǒng)，使它的逆系統(tǒng)也是穩(wěn)定因果的。這就需要的零點也位于單位圓內(nèi)，即。一個穩(wěn)定因果的濾波器，如果它的逆系統(tǒng)也是穩(wěn)定因果的，則稱這個系統(tǒng)是最小相位。等價的，我們有如下定義?！径x】一個有理系統(tǒng)函數(shù)，如果它的零點和極點都位于單位圓內(nèi)，則有最小相

6、位。 一個最小相位系統(tǒng)可由它的傅里葉變換的幅值唯一確定。從求的過程如下：給定，先求，它是的函數(shù)。然后，用替代，我們得到。最后，最小相位系統(tǒng)由單位圓內(nèi)的的極、零點形成。一個穩(wěn)定因果系統(tǒng)總可以分解成一個最小相位系統(tǒng)和一個全通系統(tǒng)的乘積，即完成這個因式分解的過程如下：首先，把的所有單位圓外的零點映射到它在單位圓內(nèi)的共軛倒數(shù)點，這樣形成的系統(tǒng)函數(shù)是最小相位的。然后，選擇全通濾波器，把與之對應(yīng)的中的零點映射回單位圓外。3何謂全通系統(tǒng)？全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有何特點？解：一個穩(wěn)定的因果全通系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)對應(yīng)的傅里葉變換幅值，該單位幅值的約束條件要求一個有理系統(tǒng)函數(shù)方程式的零極點必須呈共軛倒數(shù)對出現(xiàn)，即。因而

7、，如果在處有一個極點，則在其共軛倒數(shù)點處必須有一個零點。4有一線性時不變系統(tǒng)，如下圖所示，試寫出該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)、系統(tǒng)（轉(zhuǎn)移）函數(shù)、差分方程和卷積關(guān)系表達式。解：頻率響應(yīng)： 系統(tǒng)函數(shù)： 差分方程： 卷積關(guān)系：第三章 離散傅立葉變換一、離散傅立葉級數(shù)計算題：1如果是一個周期為N的周期序列，那么它也是周期為2N的周期序列。把看作周期為N的周期序列有（周期為N）；把看作周期為2N的周期序列有（周期為2N）；試用表示。解： 對后一項令，則 所以 二、離散傅立葉變換定義填空題2某DFT的表達式是，則變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個頻率樣點之間的間隔是（ ）。解：3某序列DFT的表達式是，由此可看出，該序列的時域

8、長度是（ ），變換后數(shù)字頻域上相鄰兩個頻率樣點之間隔是（ ）。解：N 4如果希望某信號序列的離散譜是實偶的，那么該時域序列應(yīng)滿足條件（ ）。 解：純實數(shù)、偶對稱5采樣頻率為的數(shù)字系統(tǒng)中，系統(tǒng)函數(shù)表達式中代表的物理意義是（ ），其中時域數(shù)字序列的序號代表的樣值實際位置是（ ）；的N點DFT中，序號代表的樣值實際位置又是（ ）。解：延時一個采樣周期，6用8kHz的抽樣率對模擬語音信號抽樣，為進行頻譜分析，計算了512點的DFT。則頻域抽樣點之間的頻率間隔為_,數(shù)字角頻率間隔為 _和模擬角頻率間隔 _。解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s判斷說明題：7一個信號序列，如果能做序列傅

9、氏變換對它進行分析，也就能做DFT對它進行分析。 （ ）解：錯。如果序列是有限長的，就能做DFT對它進行分析。否則，頻域采樣將造成時域信號的混疊，產(chǎn)生失真。計算題8令表示N點的序列的N點離散傅里葉變換，本身也是一個N點的序列。如果計算的離散傅里葉變換得到一序列，試用求。解：因為 所以9序列，其4點DFT如下圖所示?，F(xiàn)將按下列（1），（2），（3）的方法擴展成8點，求它們8點的DFT？（盡量利用DFT的特性）（1） （2） （3） 解：（1）（2）（3）10設(shè)是一個2N點的序列，具有如下性質(zhì)： 另設(shè)，它的N點DFT為，求的2N點DFT和的關(guān)系。解： 推導(dǎo)過程略11試求以下有限長序列的N點DFT（

10、閉合形式表達式）（1） （2）解：（1）因為，所以（2）由，得所以12計算下列序列的N點DFT： （1） （2），解：（1）， （2） , k=m或k=-m= 0, 其它13已知一個有限長序列 （1） 求它的10點離散傅里葉變換（2） 已知序列的10點離散傅立葉變換為，求序列（3） 已知序列的10點離散傅立葉變換為，求序列解；（1）=1+2=1+2=1+2，（2）由可以知道，是向右循環(huán)移位2的結(jié)果，即（3）由可以知道，一種方法是先計算 =然后由下式得到10點循環(huán)卷積 另一種方法是先計算的10點離散傅立葉變換再計算乘積 由上式得到 14（1）已知序列：，求的N點DFT。（2）已知序列：，則的9點

11、DFT是 正確否？用演算來證明你的結(jié)論。解：（1） = 0， 其它（2） 可見，題給答案是正確的。15一個8點序列的8點離散傅里葉變換如圖5.29所示。在的每兩個取樣值之間插入一個零值，得到一個16點序列，即 ，為偶數(shù)0 ，為奇數(shù)（1）求的16點離散傅里葉變換，并畫出的圖形。（2）設(shè)的長度N為偶數(shù)，且有，求。解：（1）因n為奇數(shù)時，故 ， 另一方面 因此 所以 按照上式可畫出的圖形，如圖5.34所示。16計算下列有限長序列的DFT，假設(shè)長度為N。 （1） （2）解：（1） (2) 17長度為8的有限長序列的8點DFT為，長度為16的一個新序列定義為 0 試用來表示。解： 而 因此，當時，；當時

12、，令，得到：即 于是有 18試計算的離散傅里葉變換的值?！窘狻?所以 證明題：19設(shè)表示長度為N的有限長序列的DFT。（1） 證明如果滿足關(guān)系式則（2） 證明當N為偶數(shù)時，如果 則解 （1）令顯然可得 （2） （將n分為奇數(shù)和偶數(shù)兩部分表示） 顯然可得 簡答題：21在離散傅里葉變換中引起混迭效應(yīng)的原因是什么？怎樣才能減小這種效應(yīng)？解：因為為采樣時沒有滿足采樣定理減小這種效應(yīng)的方法：采樣時滿足采樣定理，采樣前進行濾波，濾去高于折疊頻率的頻率成分。22試說明離散傅里葉變換與Z變換之間的關(guān)系。解：離散傅立葉變換是Z變換在單位圓上的等間隔采樣。三、離散傅立葉變換性質(zhì)填空題：1已知序列，序列長度，寫出序

13、列的值（ ）。解：2已知，則和的5點循環(huán)卷積為（ ）。解： 3已知則的4點循環(huán)卷積為（ ）。解：證明題：4試證N點序列的離散傅立葉變換滿足Parseval恒等式 證： 5是一個離散傅里葉變換對，試證明離散傅里葉變換的對稱性： 證明略。6長為N的有限長序列，分別為的圓周共軛偶部及奇部，也即證明：證 7若證： （1） （2）由（2），將互換，則有 （這應(yīng)該是反變換公式） （用，且求和取主值區(qū)） 與（1）比較 所以8若，求證。證： 而 （為整數(shù)） 0 所以 于是 9令表示N點序列的N點DFT，試證明：（a） 如果滿足關(guān)系式，則。（b） 當N為偶數(shù)時，如果，則。證： （a）N為偶數(shù)： N為奇數(shù)：而中間

14、的一項應(yīng)當滿足： 因此必然有 這就是說，當N為奇數(shù)時，也有。（b）當N為偶數(shù)： 當N為偶數(shù)時，為奇數(shù)，故；又由于故有10設(shè)，求證。【解】因為 根據(jù)題意 因為 所以 11證明：若為實偶對稱，即，則也為實偶對稱。【解】 根據(jù)題意 下面我們令進行變量代換，則 又因為為實偶對稱,所以，所以 可將上式寫為 所以 即證。注意：若為奇對稱，即，則為純虛數(shù)并且奇對稱，證明方法同上。計算題：12已知，用圓周卷積法求和的線性卷積。解： ， 因為的長度為,的長度為所以的長度為,故應(yīng)求周期的圓周卷積的值，即所以13序列，序列。（1）求線性卷積（2）若用基2 FFT的循環(huán)卷積法（快速卷積）來得到兩個序列的線性卷積運算結(jié)

15、果，F(xiàn)FT至少應(yīng)取多少點？ 解：（1）所以，（2）若用基2FFT的循環(huán)卷積法（快速卷積）來完成兩序列的線性卷積運算，因為的長度為；所以得長度為。故FFT至少應(yīng)取點。14有限長為N=100的兩序列 做出示意圖，并求圓周卷積及做圖。解 示意圖略，圓周卷積15已知是長度為N的有限長序列，現(xiàn)將的每兩點之間補進個零值，得到一個長為的有限長序列 求：DFT與的關(guān)系。 解：因為 令 16已知是N點有限長序列，?，F(xiàn)將長度變成點的有限長序列 試求點DFT與的關(guān)系。解：由可得 所以在一個周期內(nèi)，的抽樣點數(shù)是倍，相當于在的每兩個值之間插入個其他的數(shù)值（不一定為零），而當?shù)恼麛?shù)倍時，相等。17已知是N點有限長序列，。

16、現(xiàn)將的每兩點之間補進個零值點，得到一個點的有限長序列 試求點DFT與的關(guān)系。解：由可得而 所以是將（周期為N）延拓次形成的，即周期為。18已知序列和它的6點離散傅立葉變換。（1）若有限長序列的6點離散傅立葉變換為，求。（2）若有限長序列的6點離散傅立葉變換為的實部，即，求。（3）若有限長序列的3點離散傅立葉變換 ，求。解：（1）由知，是向右循環(huán)移位4的結(jié)果，即 （2） 由上式得到 （3） 由于 所以 即 或 19令表示N點的序列的N點離散傅里葉變換，本身也是一個N點的序列。如果計算的離散傅里葉變換得到一序列，試用求。解 因為 所以20為了說明循環(huán)卷積計算（用DFT算法），分別計算兩矩形序列的卷

17、積，如果，求 （1）兩個長度為6點的6點循環(huán)卷積。 （2）兩個長度為6點的12點循環(huán)卷積。【解】這是循環(huán)卷積的另一個例子。令 圖3-6中，N定義為DFT長度。若，則N點DFT為 如果我們將和直接相乘，得 由此可得 這個結(jié)果繪在圖3-6中。顯然，由于序列是對于旋轉(zhuǎn)，則乘積的和始終等于N。當然也可以把和看作是2L點循環(huán)卷積，只要給他們增補L個零即可。若我們計算增長序列的2L點循環(huán)卷積，就得到圖3-7所示序列?？梢钥闯鏊扔谟邢揲L序列和的線性卷積。注意如圖3-7所，時 所以圖3-7（e）中矩形序列的DFT為（） 循環(huán)卷積的性質(zhì)可以表示為 考慮到DFT關(guān)系的對偶性，自然兩個N點序列乘積的DFT等于他們

18、對英的離散傅里葉變換的循環(huán)卷積。具體地說，若，則 或 21設(shè)是一個2N點序列，具有如下性質(zhì) 另設(shè)，它的N點DFT為。求得2N點DFT和的關(guān)系。【答案】22已知某信號序列，試計算（1）和的循環(huán)卷積和；（2）和的線性卷積和；（3）寫出利用循環(huán)卷積計算線性卷積的步驟?！敬鸢浮浚?） （2） （3）略23如圖表示一個5點序列。（1）試畫出（2）試畫出解：簡答題：24試述用DFT計算離散線性卷積的方法。解：計算長度為M,N兩序列的線性卷積，可將兩序列補零至長度為M+N-1,而后求補零后兩序列的DFT，并求其乘積，最后求乘積后序列的IDFT，可得原兩序列的線性卷積。25已知是兩個N點實序列的DFT值，今需

19、要從求的值，為了提高運算效率，試用一個N點IFFT運算一次完成。解：依據(jù)題意 取序列 對作N點IFFT可得序列。又根據(jù)DFT性質(zhì) 由原題可知，都是實序列。再根據(jù)，可得 四、頻域取樣填空題：1從滿足采樣定理的樣值信號中可以不失真地恢復(fù)出原模擬信號。采用的方法，從時域角度看是（ ）；從頻域角度看是（ ）。解：采樣值對相應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的加權(quán)求和加低通，頻域截斷2由頻域采樣恢復(fù)時可利用內(nèi)插公式，它是用（ ）值對（ ）函數(shù)加權(quán)后求和。解： 內(nèi)插3頻域N點采樣造成時域的周期延拓，其周期是（ ）。解：（頻域采樣點數(shù)時域采樣周期）簡答題：4 已知有限長序列的變換為，若對在單位圓上等間隔抽樣點，且，試分析此個樣點

20、序列對應(yīng)的IDFT與序列的關(guān)系。解：如果 即是在單位圓上點等間隔抽樣，根據(jù)頻域抽樣定理，則存在 上式表明，將序列以為周期進行周期延拓，取其主值區(qū)間上的值，即得序列。由于，故在對以為周期進行周期延拓時，必然存在重疊。5FFT算法的基本思想是什么？解：答案略。6簡述時域取樣定理和頻域取樣定理的基本內(nèi)容。解：答案略。計算題：7設(shè)是長度為M的有限長序列，其Z變換為今欲求在單位圓上N個等距離點上的采樣值，其中解答下列問題（用一個N點的FFT來算出全部的值）（1）當時，寫出用一個N點FFT分別算出的過程； (2) 若求的IDFT，說明哪一個結(jié)果和等效，為什么?解：（1），對序列末尾補零至N個點得序列，計算

21、的N點FFT即可得到。時，對序列以N為周期進行周期延拓得到一個新的序列，求序列的前M點的FFT即可得。（2）時得到的結(jié)果與等效，因為其滿足頻域取樣定理。8已知，今對其z變換在單位圓上等分采樣，采樣值為，求有限長序列IDFT解 方法一 IDFT方法二交換求和次序 （因為 ，）所以 9研究一個長度為M點的有限長序列。 我們希望計算求z變換在單位圓上N個等間隔點上的抽樣，即在上的抽樣。當時，試找出只用一個N點DFT就能計算的N個抽樣的方法，并證明之。解：若，可將補零到N點，即 則 10對有限長序列的Z變換在單位圓上進行5等份取樣，得到取樣值，即求的逆傅里葉變換。解： 11設(shè)如圖所示的序列的Z變換為，

22、對在單位圓上等間隔的4點上取樣得到，即試求的4點離散傅里葉逆變換，并畫出的圖形。解：因為對在單位圓上等間隔的4點上取樣，將使以4為周期進行周期延拓，所以，根據(jù)上式可畫出的圖形，如下圖所示。四、用離散傅立葉變換對連續(xù)時間信號逼近問題簡答題：1理解DFT分析信號頻譜中出現(xiàn)的現(xiàn)象以及改善這些現(xiàn)象的方法?解：答案略2補零和增加信號長度對譜分析有何影響？是否都可以提高頻譜分辨率?解：時域補零和增加信號長度，可以使頻譜譜線加密，但不能提高頻譜分辨率。3試說明連續(xù)傅里葉變換采樣點的幅值和離散傅里葉變換幅值存在什么關(guān)系？解：兩個幅值一樣。4解釋DFT中頻譜混迭和頻譜泄漏產(chǎn)生的原因，如何克服或減弱？解：如果采樣

23、頻率過低，再DFT計算中再頻域出現(xiàn)混迭線性，形成頻譜失真；需提高采樣頻率來克服或減弱這種失真。泄漏是由于加有限窗引起，克服方法是盡量用旁瓣小主瓣窄的窗函數(shù)。計算題：5用某臺FFT儀做譜分析。使用該儀器時，選用的抽樣點數(shù)N必須是2的整數(shù)次冪。已知待分析的信號中，上限頻率kHz。要求譜分辨率Hz。試確定下列參數(shù)：1.一個記錄中的最少抽樣點數(shù)；2.相鄰樣點間的最大時間間隔；3.信號的最小記錄時間。解：因為待分析的信號中上限頻率所以抽樣頻率應(yīng)滿足：因為要求譜分辨率，所以因為選用的抽樣點數(shù)N必須是2的整數(shù)次冪，所以一個記錄中的最少抽樣點數(shù)相鄰樣點間的最大時間間隔信號的最小記錄時間6（1）模擬數(shù)據(jù)以10.

24、24千赫速率取樣，且計算了1024個取樣的離散傅里葉變換。求頻譜取樣之間的頻率間隔。 （2）以上數(shù)字數(shù)據(jù)經(jīng)處理以后又進行了離散傅里葉反變換，求離散傅里葉反變換后抽樣點的間隔為多少？整個1024點的時寬為多少？解：（1）頻率間隔（赫）（2）抽樣點的間隔 整個1024點的時寬T=97.661024=100ms7頻譜分析的模擬信號以8kHz被抽樣，計算了512個抽樣的DFT，試確定頻譜抽樣之間的頻率間隔，并證明你的回答。證明：由 得 其中是以角頻率為變量的頻譜的周期，是頻譜抽樣之間的頻譜間隔。又 則 對于本題有 所以 8設(shè)有一譜分析用的信號處理器，抽樣點數(shù)必須為2的整數(shù)冪，假定沒有采用任何特殊數(shù)據(jù)處

25、理措施，要求頻率分辨力，如果采用的抽樣時間間隔為0.1ms，試確定：（1）最小記錄長度；（2）所允許處理的信號的最高頻率；（3）在一個記錄中的最少點數(shù)。解：（1） 因為，所以 即最小記錄長度為0.1s （2） 因為，而 所以 即允許處理的信號最高頻率為5kHz。（3），又因N 必須為2的整數(shù)冪，所以一個記錄中的最少點數(shù)為。第四章 快速傅立葉變換一、 計算DFT效率及其改善途徑填空題：1如果一臺通用機算計的速度為：平均每次復(fù)乘需100，每次復(fù)加需20，今用來計算N=1024點的DFT。問直接運算需（ ）時間，用FFT運算需要（ ）時間。解：（1）直接運算：需復(fù)數(shù)乘法次，復(fù)數(shù)加法次。直接運算所用計

26、算時間為（2）基2FFT運算：需復(fù)數(shù)乘法次，復(fù)數(shù)加法次。用FFT計算1024點DTF所需計算時間為2N點FFT的運算量大約是（ ）。 解：次復(fù)乘和次復(fù)加3快速傅里葉變換是基于對離散傅里葉變換 _和利用旋轉(zhuǎn)因子的_ 來減少計算量，其特點是 _,_和_。解：快速傅里葉變換是基于對離散傅里葉變換 長度逐次變短 和利用旋轉(zhuǎn)因子的 周期性 來減少計算量，其特點是 蝶形計算、 原位計算 和 碼位倒置。簡答題：4FFT主要利用了DFT定義中的正交完備基函數(shù)的周期性和對稱性，通過將大點數(shù)的DFT運算轉(zhuǎn)換為多個小數(shù)點的DFT運算，實現(xiàn)計算量的降低。請寫出的周期性和對稱性表達式。答：周期性：對稱性：5基2FFT快

27、速計算的原理是什么？它所需的復(fù)乘、復(fù)加次數(shù)各是多少？解：原理：利用的特性，將N點序列分解為較短的序列，計算短序列的DFT，最后再組合起來。復(fù)乘次數(shù)：，復(fù)加次數(shù)：二、 按時間抽取FFT算法簡答題：1簡略推導(dǎo)按時間抽取基2-FFT算法的蝶形公式，并畫出N=8時算法的流圖，說明該算法的同址運算特點。解：答案略。作圖題：3畫出基2 時間抽取的FFT流圖，并利用該流圖計算序列的DFT。解：答案略。4對于長度為8點的實序列，試問如何利用長度為4點的FFT計算的8點DFT？寫出其表達式，并畫出簡略流程圖。解： 按照式和式可畫出如下圖所示的流程圖。三、按頻率抽取FFT算法計算題：1是N點序列的DFT，N為偶數(shù)

28、。兩個點序列定義為 和分別表示序列和的點DFT，試由和確定的點DFT。解： DFT （為偶數(shù)） DFT（為奇數(shù)） 解上述方程可得簡答題：2 簡略推導(dǎo)按頻率抽取基2-FFT算法的蝶形公式，并畫出時算法的流圖，說明該算法的同址運算特點?！敬鸢浮科渫愤\算特點為輸入按自然順序存放，輸出序列按碼位顛倒順序存放。作圖題：3 畫出基2 時域抽取4點FFT的信號流圖。解：答案略。四、 其它FFT算法簡答題：1已知兩個N點實序列和得DFT分別為和，現(xiàn)在需要求出序列和，試用一次N點IFFT運算來實現(xiàn)。解：依據(jù)題意 取序列 對作N點IFFT可得序列。又根據(jù)DFT性質(zhì) 由原題可知，都是實序列。再根據(jù)，可得 2已知長

29、度為2N的實序列的DFT的各個數(shù)值，現(xiàn)在需要由計算，為了提高效率，請設(shè)計用一次N點IFFT來完成。解：如果將按奇偶分為兩組，即令 那么就有 其中、分別是實序列、的N點DFT，、可以由上式解出： 由于是已知的，因此可以將前后分半按上式那樣組合起來，于是就得到了和。到此，就可以像4.9題那樣來處理了，也即令根據(jù)、，做一次N點IFFT運算，就可以同時得到和，它們分別是的偶數(shù)點和奇數(shù)點序列，于是序列也就求出了。五、 快速傅立葉變換應(yīng)用簡答題：1 采用FFT算法，可用快速卷積完成線性卷積。現(xiàn)預(yù)計算線性卷積，試寫采用快速卷積的計算步驟（注意說明點數(shù)）。答：如果，的長度分別為,那么用長度的圓周卷積可計算線性

30、卷積。用FFT運算來求值（快速卷積）的步驟如下：（1） 對序列，補零至長為N，使，并且(M為整數(shù))，即（2） 用FFT計算，的離散傅立葉變換 （N點） （N點）（3） 計算（4） 用IFFT計算的離散傅立葉變換得： （N點）第五章 數(shù)字濾波器一、數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)填空題：1FIR濾波器是否一定為線性相位系統(tǒng)？（ ）。解：不一定計算題：2設(shè)某FIR數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)，其他值時。試求的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)的表示式，并畫出該濾波器流圖的線性相位結(jié)構(gòu)形式。解： 所以的幅頻響應(yīng)為的相頻響應(yīng)為作圖題：3有人設(shè)計了一只數(shù)字濾波器，得到其系統(tǒng)函數(shù)為： 請采用并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)該系統(tǒng)。解：答案略4用級聯(lián)型結(jié)構(gòu)和并聯(lián)型結(jié)

31、構(gòu)實現(xiàn)一下傳遞函數(shù)（1）（2）解：（1） 級聯(lián)型結(jié)構(gòu)及并聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖略（2） 級聯(lián)型結(jié)構(gòu)及并聯(lián)型結(jié)構(gòu)圖略5用橫截型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)以下系統(tǒng)函數(shù)：解： 結(jié)構(gòu)圖略。6設(shè)某FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 試畫出此濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)。解：由題中所給的條件可知則 即是偶對稱，對稱中心在處，N為奇數(shù)（N=5）。線性相位結(jié)構(gòu)如下圖示 7畫出由下列差分方程定義的因果線性離散時間系統(tǒng)的直接型、直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的信號流程圖，級聯(lián)型和并聯(lián)型只用1階節(jié)， 解：（1）直接型（2）直接型（3）級聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)寫成（4）并聯(lián)型8用級聯(lián)型及并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)：解：用級聯(lián)型結(jié)構(gòu)實現(xiàn) 信號流圖如圖（a）所示。用并聯(lián)型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)

32、 信號流圖如圖（b）所示。（a）（b）9已知濾波器單位抽樣響應(yīng)為 畫出橫截型結(jié)構(gòu)。解：橫截型結(jié)構(gòu)如圖所示。10用卷積型和級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)：解： (8.3) (8.4)由（8.3）式得到級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如圖T8.11（a）所示，由（8.4）式得到卷積型結(jié)構(gòu)如圖T8.11（b）所示。二、IIR數(shù)字濾波器設(shè)計填空題：1已知一IIR濾波器的，試判斷濾波器的類型為（ ）。解：全通系統(tǒng)2脈沖響應(yīng)不變法的基本思路是（ ）。解：3寫出設(shè)計原型模擬低通的三種方法：（1）（ ），（2）（ ），（3）（ ）。解：（1）巴特沃茲逼近，（2）切比雪夫逼近，（3）橢圓濾波器4設(shè)計數(shù)字濾波器的方法之一是先設(shè)計模擬濾波器，然

33、后通過模擬S域（拉氏變換域）到數(shù)字Z域的變換，將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，其中常用的雙線性變換的關(guān)系式是（ ）。解：答案略5設(shè)計IIR DF時采用的雙線性變換法，將S域軸上的模擬抽樣角頻率變換到Z域單位圓上的數(shù)字頻率（ ）處。解：簡答題：6試分析脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字濾波器的基本思想、方法及其局限性。解：答案略7從以下幾個方面比較脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法的特點：基本思路，如何從S平面映射到Z平面，頻域變換的線性關(guān)系。解：答案略。判斷說明題：8將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，除了雙線性變換法外，脈沖響應(yīng)不變法也是常用方法之一，它可以用來將模擬低通，帶通和高通濾波器轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的數(shù)字濾波器。（

34、）答：由于采用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換時，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。所以當模擬濾波器的頻響是限帶于半抽樣頻率之內(nèi)時，周期延拓不會造成頻譜混疊，變換得到的數(shù)字濾波器的頻響才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響。故脈沖響應(yīng)不變法只適用于設(shè)計頻率嚴格有限的低通、帶通濾波器，不適用于設(shè)計高通濾波器。9采用雙線性變換法設(shè)計IIR DF時，如果設(shè)計出的模擬濾波器具有線性頻響特性，那么轉(zhuǎn)換后的數(shù)字濾波器也具有線性頻響特性。（）答：采用雙線性變換法設(shè)計IIR DF時，數(shù)字頻率與模擬頻率的關(guān)系不是線性的，即。因此，變換前的線性頻響曲線在經(jīng)過非線性變換后，頻響曲線的各頻率成分的相對關(guān)系發(fā)生變化，不再

35、具有線性特性。計算題：10假設(shè)某模擬濾波器是一個低通濾波器，又知（用了變換）于是數(shù)字濾波器的通帶中心位于：（1）（是低通）（2）（是高通）（3）在（0，）內(nèi)的某一頻率上是判定哪個結(jié)論對。解：只要找出對應(yīng)于的數(shù)字頻率的值即可。由代入上式，得頻率點的對應(yīng)關(guān)系為S平面 Z平面 即將模擬低通中心頻率映射到處，所以答案為（2）11設(shè)有一模擬濾波器 抽樣周期T=2，試用雙線性變換法將它轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字系統(tǒng)函數(shù)。解由變換公式 及，可得 所以 12下圖表示一個數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)。（1）用沖激響應(yīng)不變法，試求原型模擬濾波器的頻率響應(yīng)。（2）當采用雙線性變換法時，試求原型模擬濾波器的頻率響應(yīng)。解（1） 沖激響應(yīng)不變法

36、因為大于折疊頻率時為零，故用此法無失真。由圖可得 又由，則有 （2） 雙線性變換法 根據(jù)雙線性變換公式，可得：推出 即 故 13用雙線性變換法設(shè)計一個3階Butterworth數(shù)字帶通濾波器，抽樣頻率，上下邊帶截止頻率分別為，。附：低階次巴特沃斯濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s):階 次系 統(tǒng) 函 數(shù)1Wpc/(s+Wpc)2Wpc2/(s2+1.414Wpcs+Wpc3)3Wpc3/(s3+2Wpcs2+2Wpc2s+Wpc3)4Wpc4/(s4+2.613Wpc s3+3.414Wpc 2s2+2.613Wpc 3s+Wpc 4)解：該數(shù)字帶通濾波器的上下邊帶截止頻率：數(shù)字低通原型濾波器的截止頻率可

37、以自選，為了使下面參數(shù)k的表示比較簡單，這里選。則相應(yīng)的模擬低通濾波器的截止頻率于是可以得到3階模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)而數(shù)字低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 下面將數(shù)字低通變換位數(shù)字帶通。于是得到變換公式：最后可以得到所要求的數(shù)字帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù) 三、FIR數(shù)字濾波器設(shè)計填空題：1用頻率取樣法設(shè)計線性相位FIR濾波器時，控制濾波器阻帶衰減的方法為（ ）。解：增加過濾點2已知一FIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，試判斷濾波器的類型（低通，高通，帶通，帶阻）為（ ）。解：高通3要獲得線性相位的FIR數(shù)字濾波器，其單位脈沖響應(yīng)必須滿足條件: （ ） （ ）解：（1）是實數(shù)（2）滿足以為中心的偶對稱或奇對稱，即

38、4FIR系統(tǒng)稱為線性相位的充要條件是（ ）。解：（1）是實數(shù)（2）滿足以為中心的偶對稱或奇對稱，即5FIR濾波器（單位取樣序列h（n）為偶對稱且其長度N為偶數(shù)）的幅度函數(shù)對點奇對稱，這說明頻率處的幅度是（ ），這類濾波器不宜做（ ）。解：0 高通、帶阻濾波器6用窗口法設(shè)計出一個FIR低通濾波器后，發(fā)現(xiàn)它過渡帶太寬。這樣情況下宜采取的修改措施是（ ）。解：加大窗口長度，或換用其他形狀的窗口7線性相位FIR濾波器傳遞函數(shù)的零點呈現(xiàn)（ ）的特征。解：互為倒數(shù)的共軛對（四零點組、二零點組或單零點組）判斷說明題：8所謂線性相位FIR濾波器，是指其相位與頻率滿足如下關(guān)系式：為常數(shù) （ ）解：錯。所謂線性相

39、位濾FIR波器，是指其相位與頻率滿足如下關(guān)系式：。9用頻率抽樣法設(shè)計FIR濾波器時，減少采樣點數(shù)可能導(dǎo)致阻帶最小衰耗指標的不合格。（ ）解：錯。減小采樣點數(shù)，不會改變通阻帶邊界兩抽樣點間的幅度落差，因而不會改變阻帶最小衰耗。10只有當FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為實數(shù)，且滿足奇/偶對稱條件時，該FIR系統(tǒng)才是線性相位的。 （ ）解：錯。只有當FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為實數(shù)，且滿足奇/偶對稱條件時，該FIR系統(tǒng)才是線性相位的。11FIR濾波器一定是線性相位的，而IIR濾波器以非線性相頻特性居多。 （ ）解：錯。FIR濾波器只有滿足一定條件時，才是線性相位的。簡答題：12利用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器時

40、，如何選擇窗函數(shù)？解：答案略。13什么是吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象? 窗函數(shù)的旁瓣峰值衰耗和濾波器設(shè)計時的阻帶最小衰耗各指什么，有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 答：增加窗口長度N只能相應(yīng)地減小過渡帶寬度，而不能改變肩峰值。例如，在矩形窗地情況下，最大肩峰值為8.95%;當N增加時，只能使起伏振蕩變密，而最大肩峰值總是8.95%,這種現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)。旁瓣峰值衰耗適用于窗函數(shù)，它是窗譜主副瓣幅度之比，即旁瓣峰值衰耗=20lg(第一旁瓣峰值/主瓣峰值)。阻帶最小衰耗適用于濾波器。工程上習(xí)慣于用相對衰耗來描述濾波器。相對衰耗定義為。當濾波器是用窗口法得出時，阻帶最小衰耗取決于窗譜主副瓣面積之比。14何為線性相位

41、濾波器?FIR濾波器成為線性相位濾波器的充分條件是什么？答：線性相位的濾波器是指其相位函數(shù)與數(shù)字頻率成線性關(guān)系，即。FIR濾波器成為線性相位的充分條件是：是實數(shù)。滿足以為中心的偶對稱或者奇對稱，即。15仔細觀察下圖。（1）這是什么類型具有什么特性的數(shù)字濾波器？（2）寫出其差分方程和系統(tǒng)函數(shù)。解：（1）因為為奇對稱，N=6為偶數(shù)。所以是第四類線性相位的FIR DF，適合用做希爾伯特濾波器及微分器。（2）系統(tǒng)函數(shù)：差分方程：16設(shè)是一個N點序列，表示一個因果的FIR濾波器，如果要求該濾波器的相位特性為：為常數(shù)。說明：需要的充分必要條件，并確定N和m的關(guān)系。解：充分必要條件： N與m的關(guān)系：17試述

42、窗函數(shù)法設(shè)計FIR數(shù)字濾波器的基本步驟？解；原理：在時域內(nèi)用窗函數(shù)對理想濾波器的時域特性截斷，用截斷后長沖激響應(yīng)去逼近理想濾波器的，所得到的頻率響應(yīng)18FIR濾波器具有線性相位的條件是什么？其相位表達式是什么？解：線性相位條件： 相位表達式：，是起始相位。計算題：19如下圖所示，兩個長度為8的有限長序列和是循環(huán)位移關(guān)系。試問：（1）它們的8點離散傅立葉變換的幅度是否相等？（2）做一個低通FIR數(shù)字濾波器，要求之一作為其沖激響應(yīng)，說明下列哪種說法正確？為什么？用； 用；兩者相同解：可看成是由循環(huán)移序而得到 根據(jù)DFT的循環(huán)移序特性，得到 故 （2）用，即說法比較正確。原因是：理想低通的函數(shù)，是非因果，不可實現(xiàn)的，要實現(xiàn)必須加時延。 加時延截斷后的圖形正如。而在數(shù)值最高處截斷，其頻譜的泄漏大于，顯然不好。所以作為低通濾波器，從衰減特性看，是優(yōu)于的。