《數(shù)字信號處理》第三版答案非常詳細(xì)完整.doc
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1、答案很詳細(xì),考試前或者平時(shí)作業(yè)的時(shí)候可以好好研究,祝各位考試成功! 電子科技大學(xué)微電子與固體電子學(xué)陳鋼教授著數(shù)字信號處理課后答案1.2 教材第一章習(xí)題解答1. 用單位脈沖序列及其加權(quán)和表示題1圖所示的序列。解:2. 給定信號: (1)畫出序列的波形,標(biāo)上各序列的值;(2)試用延遲單位脈沖序列及其加權(quán)和表示序列;(3)令,試畫出波形;(4)令,試畫出波形;(5)令,試畫出波形。解:(1)x(n)的波形如題2解圖(一)所示。(2)(3)的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以2,畫出圖形如題2解圖(二)所示。(4)的波形是x(n)的波形左移2位,在乘以2,畫出圖形如題2解圖(三)所示。(5)畫時(shí),先
2、畫x(-n)的波形,然后再右移2位,波形如5. 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述,與分別表示系統(tǒng)輸入和輸出,判斷系統(tǒng)是否是線性非時(shí)變的。(1);(3),為整常數(shù);(5);(7)。解:(1)令:輸入為,輸出為故該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。(3)這是一個(gè)延時(shí)器,延時(shí)器是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng),下面予以證明。令輸入為,輸出為,因?yàn)楣恃訒r(shí)器是一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)。又因?yàn)楣恃訒r(shí)器是線性系統(tǒng)。(5) 令:輸入為,輸出為,因?yàn)楣氏到y(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。又因?yàn)橐虼讼到y(tǒng)是非線性系統(tǒng)。(7) 令:輸入為,輸出為,因?yàn)楣试撓到y(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。又因?yàn)楣氏到y(tǒng)是線性系統(tǒng)。6. 給定下述系統(tǒng)的差分方程,試判斷系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng),
3、并說明理由。(1);(3);(5)。解:(1)只要,該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng),因?yàn)檩敵鲋慌cn時(shí)刻的和n時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。如果,則,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。(3)如果,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是非因果的,因?yàn)檩敵鲞€和x(n)的將來值有關(guān).(5)系統(tǒng)是因果系統(tǒng),因?yàn)橄到y(tǒng)的輸出不取決于x(n)的未來值。如果,則,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7. 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)和輸入序列如題7圖所示,要求畫出輸出輸出的波形。解:解法(1):采用圖解法圖解法的過程如題7解圖所示。解法(2):采用解析法。按照題7圖寫出x(n)和h(n)的表達(dá)式:因?yàn)?所以 將x(n)的表達(dá)式代入上式,得到8. 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)
4、和輸入分別有以下三種情況,分別求出輸出。(1);(2);(3)。解:(1) 先確定求和域,由和確定對于m的非零區(qū)間如下:根據(jù)非零區(qū)間,將n分成四種情況求解:最后結(jié)果為y(n)的波形如題8解圖(一)所示。(2)y(n)的波形如題8解圖(二)所示.(3)y(n)對于m的非零區(qū)間為。最后寫成統(tǒng)一表達(dá)式:11. 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述:;設(shè)系統(tǒng)是因果的,利用遞推法求系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)。解:令:歸納起來,結(jié)果為12. 有一連續(xù)信號式中,(1)求出的周期。(2)用采樣間隔對進(jìn)行采樣,試寫出采樣信號的表達(dá)式。(3)畫出對應(yīng)的時(shí)域離散信號(序列) 的波形,并求出的周期。第二章教材第二章習(xí)題解答1. 設(shè)和分別
5、是和的傅里葉變換,試求下面序列的傅里葉變換:(1);(2);(3);(4)。解:(1)令,則(2)(3)令,則(4) 證明: 令k=n-m,則2. 已知求的傅里葉反變換。解: 3. 線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(傳輸函數(shù))如果單位脈沖響應(yīng)為實(shí)序列,試證明輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為。解:假設(shè)輸入信號,系統(tǒng)單位脈沖相應(yīng)為h(n),系統(tǒng)輸出為上式說明,當(dāng)輸入信號為復(fù)指數(shù)序列時(shí),輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列,且頻率相同,但幅度和相位決定于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù),利用該性質(zhì)解此題。上式中是w的偶函數(shù),相位函數(shù)是w的奇函數(shù),4. 設(shè)將以4為周期進(jìn)行周期延拓,形成周期序列,畫出和的波形,求出的離散傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。解:畫出x(n)
6、和的波形如題4解圖所示。,以4為周期,或者,以4為周期5. 設(shè)如圖所示的序列的FT用表示,不直接求出,完成下列運(yùn)算:(1);(2);(5)解:(1)(2)(5)6. 試求如下序列的傅里葉變換:(2);(3)解:(2)(3) 7. 設(shè):(1)是實(shí)偶函數(shù),(2)是實(shí)奇函數(shù),分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下,的傅里葉變換性質(zhì)。解:令 (1)x(n)是實(shí)、偶函數(shù),兩邊取共軛,得到因此上式說明x(n)是實(shí)序列,具有共軛對稱性質(zhì)。由于x(n)是偶函數(shù),x(n)sinwn是奇函數(shù),那么因此該式說明是實(shí)函數(shù),且是w的偶函數(shù)??偨Y(jié)以上x(n)是實(shí)、偶函數(shù)時(shí),對應(yīng)的傅里葉變換是實(shí)、偶函數(shù)。(2)x(n)是實(shí)、奇函數(shù)。上
7、面已推出,由于x(n)是實(shí)序列,具有共軛對稱性質(zhì),即由于x(n)是奇函數(shù),上式中是奇函數(shù),那么因此這說明是純虛數(shù),且是w的奇函數(shù)。10. 若序列是實(shí)因果序列,其傅里葉變換的實(shí)部如下式: 求序列及其傅里葉變換。解:12. 設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng),輸入序列為,完成下面各題:(1)求出系統(tǒng)輸出序列;(2)分別求出、和的傅里葉變換。解:(1)(2)13. 已知,式中,以采樣頻率對進(jìn)行采樣,得到采樣信號和時(shí)域離散信號,試完成下面各題:(1)寫出的傅里葉變換表示式;(2)寫出和的表達(dá)式;(3)分別求出的傅里葉變換和序列的傅里葉變換。解:(1)上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在,引入奇異函數(shù)函數(shù),它的傅里葉變換
8、可以表示成:(2) (3)式中式中上式推導(dǎo)過程中,指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在,只有引入奇異函數(shù)函數(shù),才能寫出它的傅里葉變換表達(dá)式。14. 求以下序列的Z變換及收斂域:(2);(3);(6) 解:(2) (3)(6)16. 已知:求出對應(yīng)的各種可能的序列的表達(dá)式。解:有兩個(gè)極點(diǎn),因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界,因此收斂域有以下三種情況:三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。(1)當(dāng)收斂域時(shí),令,因?yàn)閏內(nèi)無極點(diǎn),x(n)=0;,C內(nèi)有極點(diǎn)0,但z=0是一個(gè)n階極點(diǎn),改為求圓外極點(diǎn)留數(shù),圓外極點(diǎn)有,那么(2)當(dāng)收斂域時(shí),C內(nèi)有極點(diǎn)0.5;,C內(nèi)有極點(diǎn)0.5,0,但0是一個(gè)n階極點(diǎn),改成求c外極點(diǎn)留數(shù),c外極
9、點(diǎn)只有一個(gè),即2,最后得到(3)當(dāng)收斂域時(shí),C內(nèi)有極點(diǎn)0.5,2;n0,由收斂域判斷,這是一個(gè)因果序列,因此x(n)=0。或者這樣分析,C內(nèi)有極點(diǎn)0.5,2,0,但0是一個(gè)n階極點(diǎn),改成求c外極點(diǎn)留數(shù),c外無極點(diǎn),所以x(n)=0。最后得到17. 已知,分別求:(1)的Z變換;(2)的Z變換;(3)的z變換。解:(1)(2)(3)18. 已知,分別求:(1)收斂域?qū)?yīng)的原序列;(2)收斂域?qū)?yīng)的原序列。解:(1)當(dāng)收斂域時(shí),內(nèi)有極點(diǎn)0.5,,c內(nèi)有極點(diǎn)0.5,0,但0是一個(gè)n階極點(diǎn),改求c外極點(diǎn)留數(shù),c外極點(diǎn)只有2, ,最后得到(2(當(dāng)收斂域時(shí),c內(nèi)有極點(diǎn)0.5,2, c內(nèi)有極點(diǎn)0.5,2,0
10、,但極點(diǎn)0是一個(gè)n階極點(diǎn),改成求c外極點(diǎn)留數(shù),可是c外沒有極點(diǎn),因此, 最后得到25. 已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為,試:(1)用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出;(2)用ZT法求網(wǎng)絡(luò)輸出。解:(1)用卷積法求,,,最后得到(2)用ZT法求令,c內(nèi)有極點(diǎn)因?yàn)橄到y(tǒng)是因果系統(tǒng),,,最后得到28. 若序列是因果序列,其傅里葉變換的實(shí)部如下式:求序列及其傅里葉變換。解:求上式IZT,得到序列的共軛對稱序列。因?yàn)槭且蚬蛄校囟ㄊ请p邊序列,收斂域?。?。時(shí),c內(nèi)有極點(diǎn),n=0時(shí),c內(nèi)有極點(diǎn),0,所以又因?yàn)樗?.2 教材第三章習(xí)題解答1. 計(jì)算以下諸序列的N點(diǎn)DFT,在變換區(qū)間內(nèi),序列定義為(2);(4);(6);
11、(8);(10)。解:(2)(4)(6)(8)解法1 直接計(jì)算解法2 由DFT的共軛對稱性求解因?yàn)樗约唇Y(jié)果與解法1所得結(jié)果相同。此題驗(yàn)證了共軛對稱性。(10)解法1上式直接計(jì)算較難,可根據(jù)循環(huán)移位性質(zhì)來求解X(k)。因?yàn)?所以 等式兩邊進(jìn)行DFT得到故 當(dāng)時(shí),可直接計(jì)算得出X(0)這樣,X(k)可寫成如下形式:解法2 時(shí),時(shí),所以,即2. 已知下列,求(1);(2)解:(1)=(2)3. 長度為N=10的兩個(gè)有限長序列 作圖表示、和。解:、和分別如題3解圖(a)、(b)、(c)所示。14. 兩個(gè)有限長序列和的零值區(qū)間為: 對每個(gè)序列作20點(diǎn)DFT,即如果試問在哪些點(diǎn)上,為什么?解:如前所示,
12、記,而。長度為27,長度為20。已推出二者的關(guān)系為只有在如上周期延拓序列中無混疊的點(diǎn)上,才滿足所以15. 用微處理機(jī)對實(shí)數(shù)序列作譜分析,要求譜分辨率,信號最高頻率為1kHZ,試確定以下各參數(shù):(1)最小記錄時(shí)間;(2)最大取樣間隔;(3)最少采樣點(diǎn)數(shù);(4)在頻帶寬度不變的情況下,將頻率分辨率提高一倍的N值。解:(1)已知(2)(3)(4)頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變,應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大一倍為0.04s實(shí)現(xiàn)頻率分辨率提高一倍(F變?yōu)樵瓉淼?/2)18. 我們希望利用長度為N=50的FIR濾波器對一段很長的數(shù)據(jù)序列進(jìn)行濾波處理,要求采用重疊保留法通過DFT來實(shí)現(xiàn)。所謂重疊保留法,就是對輸入
13、序列進(jìn)行分段(本題設(shè)每段長度為M=100個(gè)采樣點(diǎn)),但相鄰兩段必須重疊V個(gè)點(diǎn),然后計(jì)算各段與的L點(diǎn)(本題取L=128)循環(huán)卷積,得到輸出序列,m表示第m段計(jì)算輸出。最后,從中取出個(gè),使每段取出的個(gè)采樣點(diǎn)連接得到濾波輸出。(1)求V;(2)求B;(3)確定取出的B個(gè)采樣應(yīng)為中的哪些采樣點(diǎn)。解:為了便于敘述,規(guī)定循環(huán)卷積的輸出序列的序列標(biāo)號為0,1,2,,127。先以與各段輸入的線性卷積考慮,中,第0點(diǎn)到48點(diǎn)(共49個(gè)點(diǎn))不正確,不能作為濾波輸出,第49點(diǎn)到第99點(diǎn)(共51個(gè)點(diǎn))為正確的濾波輸出序列的一段,即B=51。所以,為了去除前面49個(gè)不正確點(diǎn),取出51個(gè)正確的點(diǎn)連續(xù)得到不間斷又無多余點(diǎn)的
14、,必須重疊100-51=49個(gè)點(diǎn),即V=49。下面說明,對128點(diǎn)的循環(huán)卷積,上述結(jié)果也是正確的。我們知道因?yàn)殚L度為N+M-1=50+100-1=149所以從n=20到127區(qū)域, ,當(dāng)然,第49點(diǎn)到第99點(diǎn)二者亦相等,所以,所取出的第51點(diǎn)為從第49到99點(diǎn)的。綜上所述,總結(jié)所得結(jié)論V=49,B=51選取中第4999點(diǎn)作為濾波輸出。5.2 教材第五章習(xí)題解答1. 設(shè)系統(tǒng)用下面的差分方程描述:,試畫出系統(tǒng)的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解:將上式進(jìn)行Z變換(1)按照系統(tǒng)函數(shù),根據(jù)Masson公式,畫出直接型結(jié)構(gòu)如題1解圖(一)所示。(2)將的分母進(jìn)行因式分解 按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu):(a)
15、 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖(二)(a)所示(b) 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖(二)(b)所示(3)將進(jìn)行部分分式展開根據(jù)上式畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題1解圖(三)所示。2. 設(shè)數(shù)字濾波器的差分方程為,試畫出該濾波器的直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解:將差分方程進(jìn)行Z變換,得到(1)按照Massion公式直接畫出直接型結(jié)構(gòu)如題2解圖(一)所示。(2)將的分子和分母進(jìn)行因式分解:按照上式可以有兩種級聯(lián)型結(jié)構(gòu):(a) 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題2解圖(二)(a)所示。(b) 畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題2解圖(二)(b)所示。3. 設(shè)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為,試畫出各種可能的級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。解:由于系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母各有兩個(gè)因式,可以有兩
16、種級聯(lián)型結(jié)構(gòu)。(1) ,畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖(a)所示。(2) ,畫出級聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3解圖(b)所示。4.圖中畫出了四個(gè)系統(tǒng),試用各子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)分別表示各總系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),并求其總系統(tǒng)函數(shù)。圖d解:(d) 5. 寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)及差分方程。圖d解:(d) 6. 寫出圖中流圖的系統(tǒng)函數(shù)。圖f解:(f) 8已知FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)為,試用頻率采樣結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)該濾波器。設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)N=5,要求畫出頻率采樣網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),寫出濾波器參數(shù)的計(jì)算公式。解:已知頻率采樣結(jié)構(gòu)的公式為式中,N=5 它的頻率采樣結(jié)構(gòu)如題8解圖所示。6.2 教材第六章習(xí)題解答1. 設(shè)計(jì)一個(gè)巴特沃斯低通濾波器,要求通
17、帶截止頻率,通帶最大衰減,阻帶截止頻率,阻帶最小衰減。求出濾波器歸一化傳輸函數(shù)以及實(shí)際的。解:(1)求階數(shù)N。將和值代入N的計(jì)算公式得所以取N=5(實(shí)際應(yīng)用中,根據(jù)具體要求,也可能取N=4,指標(biāo)稍微差一點(diǎn),但階數(shù)低一階,使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)電路得到簡化。)(2)求歸一化系統(tǒng)函數(shù),由階數(shù)N=5直接查表得到5階巴特沃斯歸一化低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)為或 當(dāng)然,也可以按(6.12)式計(jì)算出極點(diǎn):按(6.11)式寫出表達(dá)式代入值并進(jìn)行分母展開得到與查表相同的結(jié)果。(3)去歸一化(即LP-LP頻率變換),由歸一化系統(tǒng)函數(shù)得到實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù)。由于本題中,即,因此 對分母因式形式,則有 如上結(jié)果中,的值未代入相乘,這樣
18、使讀者能清楚地看到去歸一化后,3dB截止頻率對歸一化系統(tǒng)函數(shù)的改變作用。2. 設(shè)計(jì)一個(gè)切比雪夫低通濾波器,要求通帶截止頻率,通帶最在衰減速,阻帶截止頻率,阻帶最小衰減。求出歸一化傳輸函數(shù)和實(shí)際的。解:(1)確定濾波器技術(shù)指標(biāo):,(2)求階數(shù)N和:為了滿足指標(biāo)要求,取N=4。(2)求歸一化系統(tǒng)函數(shù)其中,極點(diǎn)由(6.2.38)式求出如下:(3)將去歸一化,求得實(shí)際濾波器系統(tǒng)函數(shù) 其中,因?yàn)?,所以。將兩對共軛極點(diǎn)對應(yīng)的因子相乘,得到分母為二階因子的形式,其系數(shù)全為實(shí)數(shù)。4. 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)為:(1);(2)。式中,a,b為常數(shù),設(shè)因果穩(wěn)定,試采用脈沖響應(yīng)不變法,分別將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。解
19、:該題所給正是模擬濾波器二階基本節(jié)的兩種典型形式。所以,求解該題具有代表性,解該題的過程,就是導(dǎo)出這兩種典型形式的的脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換公式,設(shè)采樣周期為T。(1)的極點(diǎn)為:,將部分分式展開(用待定系數(shù)法):比較分子各項(xiàng)系數(shù)可知:A、B應(yīng)滿足方程:解之得所以按照題目要求,上面的表達(dá)式就可作為該題的答案。但在工程實(shí)際中,一般用無復(fù)數(shù)乘法器的二階基本結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。由于兩個(gè)極點(diǎn)共軛對稱,所以將的兩項(xiàng)通分并化簡整理,可得用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器時(shí),直接套用上面的公式即可,且對應(yīng)結(jié)構(gòu)圖中無復(fù)數(shù)乘法器,便于工程實(shí)際中實(shí)現(xiàn)。(2) 的極點(diǎn)為:,將部分分式展開:通分并化簡整理得5. 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)
20、為:(1);(2)試用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法分別將其轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器,設(shè)T=2s。解:(1)用脈沖響應(yīng)不變法方法1 直接按脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)公式,的極點(diǎn)為:,代入T=2s方法2 直接套用4題(2)所得公式,為了套用公式,先對的分母配方,將化成4題中的標(biāo)準(zhǔn)形式:為一常數(shù),由于所以對比可知,套用公式得 或通分合并兩項(xiàng)得(2)用雙線性變換法 7. 假設(shè)某模擬濾波器是一個(gè)低通濾波器,又知,數(shù)字濾波器的通帶中心位于下面的哪種情況?并說明原因。(1) (低通);(2)(高通);(3)除0或外的某一頻率(帶通)。解:按題意可寫出故即原模擬低通濾波器以為通帶中心,由上式可知,時(shí),對應(yīng)于,故答案為(2)。
21、9. 設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器,要求通帶內(nèi)頻率低于時(shí),容許幅度誤差在1dB之內(nèi);頻率在0.3到之間的阻帶衰減大于10dB;試采用巴特沃斯型模擬濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì),用脈沖響應(yīng)不變法進(jìn)行轉(zhuǎn)換,采樣間隔T=1ms。解:本題要求用巴特沃斯型模擬濾波器設(shè)計(jì),所以,由巴特沃斯濾波器的單調(diào)下降特性,數(shù)字濾波器指標(biāo)描述如下:采用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換,所以,相應(yīng)模擬低通巴特沃斯濾波器指標(biāo)為:(1)求濾波器階數(shù)N及歸一化系統(tǒng)函數(shù):取N=5,查表6.1的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)的歸一化低通原型為:將部分分式展開:其中,系數(shù)為:(2)去歸一化求得相應(yīng)的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)。我們希望阻帶指標(biāo)剛好,讓通帶指標(biāo)留有富裕量,所以按(6.2.18)式求3dB截止頻率。其中。(3)用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù):我們知道,脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是存在頻率混疊失真,設(shè)計(jì)的濾波器阻帶指標(biāo)變差。另外,由該題的設(shè)計(jì)過程可見,當(dāng)N較大時(shí),部分分式展開求解系數(shù)或相當(dāng)困難,所以實(shí)際工作中用得很少,主要采用雙線性變換法設(shè)計(jì)。44
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