《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 刷題首選卷 第二部分 刷題型 解答題(五)文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 刷題首選卷 第二部分 刷題型 解答題(五)文(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、解答題(五)
17.近年來,共享單車已經(jīng)悄然進入了廣大市民的日常生活,并慢慢改變了人們的出行方式.某共享單車公司為了更好地服務(wù)用戶,在其官方APP中設(shè)置了用戶評價反饋系統(tǒng),以了解用戶對該公司的車輛狀況和優(yōu)惠活動的評價.現(xiàn)從評價系統(tǒng)中較為詳細的評價信息里隨機選出200條進行統(tǒng)計,車輛狀況和優(yōu)惠活動評價的2×2列聯(lián)表如下:
對優(yōu)惠活動好評
對優(yōu)惠活動不滿意
合計
對車輛狀況好評
100
30
130
對車輛狀況不滿意
40
30
70
合計
140
60
200
(1)能否在犯錯誤的概率不
2、超過0.001的前提下,認為對優(yōu)惠活動好評與對車輛狀況好評有關(guān)系?
(2)為了回饋用戶,該公司通過APP向用戶隨機派送騎行券.用戶可以將騎行券用于騎行付費,也可以通過APP轉(zhuǎn)贈給好友.某用戶共獲得了5張騎行券,其中只有2張是一元券.現(xiàn)該用戶從這5張騎行券中隨機選取2張轉(zhuǎn)贈給好友,求選取的2張中至少有1張是一元券的概率.
參考數(shù)據(jù):
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
參考公式:K2=,其中n=a+b+
3、c+d.
解 (1)由2×2列聯(lián)表的數(shù)據(jù),得K2的觀測值
k===≈8.48<10.828.
因此,在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,不能認為對優(yōu)惠活動好評與對車輛狀況好評有關(guān)系.
(2)把2張一元券分別記作A,B,其余3張券分別記作a,b,c,則從5張騎行券中隨機選取2張的所有情況有:{A,a},{A,b},{A,c},{B,a},{B,b},{B,c},{A,B},{a,b},{a,c},{b,c},共10種.
記“選取的2張中至少有1張是一元券”為事件M,則事件M包含的基本事件個數(shù)為7,
所以P(M)=,
所以該用戶從這5張騎行券中隨機選取2張轉(zhuǎn)贈給好友,選取的2張中
4、至少有1張是一元券的概率為.
18.已知△ABC,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=4,點D在線段AC上,∠DBC=.
(1)若△BCD的面積為24,求CD的長;
(2)若C∈,且c=12,tanA=,求CD的長.
解 (1)由S△BCD=·BD·BC·=24,解得BD=12.
在△BCD中,CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos45°,
即CD2=32+144-8×12,解得CD=4.
(2)因為tanA=,且A∈(0,π),可以求得sinA=,cosA=.
由正弦定理,得=,即=,
解得sinC=.
因為C∈,故cosC=,
故sin∠BDC=sin=
5、.
在△BCD中,由正弦定理可得
=,解得CD=2.
19.(2019·廣東天河區(qū)畢業(yè)綜合測試二)如圖,D是AC的中點,四邊形BDEF是菱形,平面BDEF⊥平面ABC,∠FBD=60°,AB⊥BC,AB=BC=.
(1)若點M是線段BF的中點,證明:BF⊥平面AMC;
(2)求六面體ABCEF的體積.
解 (1)證明:如圖,連接MD,F(xiàn)D.∵四邊形BDEF為菱形,且∠FBD=60°,
∴△DBF為等邊三角形.
∵M為BF的中點,
∴DM⊥BF,∵AB⊥BC,
AB=BC=,又D是AC的中點,∴BD⊥AC.
∵平面BDEF∩平面ABC=BD,平面ABC⊥平面BDEF
6、,AC?平面ABC,∴AC⊥平面BDEF.
又BF?平面BDEF,∴AC⊥BF,由DM⊥BF,
AC⊥BF,DM∩AC=D,∴BF⊥平面AMC.
(2)∵S菱形BDEF=2··BD·BF·sin60°=,又AC⊥平面BDEF,D是AC的中點,
∴V六面體ABCEF=2V四棱錐C-BDEF=2×S菱形BDEF·CD
=2×××1=.
∴六面體ABCEF的體積為.
20.(2019·湖南株洲二模)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,橢圓C截直線y=1所得的線段的長度為2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點,點D是橢圓C上的點,O是坐標原點,若
7、+=,判定四邊形OADB的面積是否為定值?若為定值,求出定值;如果不是,請說明理由.
解 (1)由解得a=2,b=c=,
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)當直線l的斜率不存在時,直線AB的方程為x=-1或x=1,此時四邊形OADB的面積為.
當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程是y=kx+m,則 ?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,
Δ=8(4k2+2-m2)>0,x1+x2=,x1x2=,所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=,|AB|=
=
=·,
又點O到直線AB的距離是d=,由+=,得xD=,yD=.
因為點D在曲線C上,所以+=1,整理得1+2k
8、2=2m2,
由題意知四邊形OADB為平行四邊形,所以四邊形OADB的面積為
SOADB=|AB|d=×
=.
由1+2k2=2m2得SOADB=, 故四邊形OADB的面積是定值,其定值為.
21.(2019·河南洛陽第二次統(tǒng)一考試)已知函數(shù)f(x)=x2-aln x.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)若a>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
解 (1)f(x)=x2-aln x的定義域為(0,+∞),f′(x)=x-=.
①當a≤0時,f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
②當a>0時,由f′(x)>0得x>,f
9、′(x)<0得0<x<.
即f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.
綜上,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當a>0時,f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)當a>0時,由(1)知f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,在(,+∞)上單調(diào)遞增,
①若≤1,即0<a≤1時,f(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,f(1)=,f(x)在區(qū)間(1,e)上無零點.
②若1<<e,即1<a<e2時,f(x)在(1,)上單調(diào)遞減,在(,e)上單調(diào)遞增,
f(x)min=f()=a(1-ln a).
∵f(x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個零點,
∴∴e<a<e
10、2.
③若≥e,即a≥e2時,f(x)在(1,e)上單調(diào)遞減,且f(1)=>0,f(e)=e2-a<0,則f(x)在區(qū)間(1,e)上有一個零點.
綜上,f(x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個零點時a的取值范圍是.
22.(2018·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為y=k|x|+2.以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ2+2ρcosθ-3=0.
(1)求C2的直角坐標方程;
(2)若C1與C2有且僅有三個公共點,求C1的方程.
解 (1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ,得C2的直角坐標方程為(x+1)2+y2=4.
(2)解法一:
11、由(1)知C2是圓心為A(-1,0),半徑為2的圓.
由題設(shè)知,C1是過點B(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線,曲線C1的方程為y=記y軸右邊的射線為l1,y軸左邊的射線為l2.由于點B在圓C2的外面,故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點,或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點.
當l1與C2只有一個公共點時,點A到l1所在直線的距離為2,所以=2,故k=-或k=0.
經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=-時,l1與C2只有一個公共點,l2與C2有兩個公共點.
當l2與C2只有一個公共點時,點A到l2所在直線的距離
12、為2,所以=2,故k=0或k=.
經(jīng)檢驗,當k=0時,l1與C2沒有公共點;當k=時,l2與C2沒有公共點.
綜上,所求C1的方程為y=-|x|+2.
解法二:因為C2:(x+1)2+y2=4,所以C2是以(-1,0)為圓心,2為半徑的圓.
又因為C1:y=k|x|+2是關(guān)于y軸對稱的曲線,
且C1:y=
顯然,若k=0時,C1與C2相切,此時只有一個交點;
若k>0時,C1與C2無交點.
若C1與C2有且僅有三個公共點,
則必須滿足k<0且y=kx+2(x>0)與C2相切,所以圓心到射線的距離為d,則d==2,所以k=0或k=-,因為k<0,所以k=-,
所以C1:y=
13、-|x|+2.
23.(2019·全國卷Ⅰ)已知a,b,c為正數(shù),且滿足abc=1.
證明:(1)++≤a2+b2+c2;
(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
證明 (1)因為a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又abc=1,故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca==++.當且僅當a=b=c=1時,等號成立.所以++≤a2+b2+c2.
(2)因為a,b,c為正數(shù)且abc=1,故有(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3=3(a+b)(b+c)(a+c)≥3×(2)×(2)×(2)=24.
當且僅當a=b=c=1時,等號成立.
所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.
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