2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺創(chuàng)新專題 題型1 選填題 練熟練穩(wěn) 少丟分 第4講 不等式、線性規(guī)劃練習(xí) 文
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1、第4講 不等式、線性規(guī)劃 [考情分析] 不等式的性質(zhì)、求解、證明及應(yīng)用是每年高考必考的內(nèi)容,對不等式的考查一般以選擇題、填空題為主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題.(2)不等式的相關(guān)知識可以滲透到高考的各個知識領(lǐng)域,往往作為解題工具與數(shù)列、函數(shù)、向量相結(jié)合,在知識的交匯處命題,難度中檔,在解答題中,特別是在解析幾何中利用不等式求最值、范圍或在解決導(dǎo)數(shù)問題時利用不等式進(jìn)行求解,難度偏高. 熱點題型分析 熱點1 不等式的性質(zhì)及解法 1.利用不等式的性質(zhì)比較大小要注意特殊值法的應(yīng)用. 2.一元二次不等式的解法 先化為一般形式ax2+bx+c>0(a≠0
2、),再求相應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系,確定一元二次不等式的解集. 3.簡單分式不等式的解法 (1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); (2)≥0(≤0)? 1.已知a>b>0,給出下列四個不等式: ①a2>b2;②2a>2b-1;③>-;④a3+b3>2a2b. 其中一定成立的不等式為( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 答案 A 解析 解法一:由a>b>0可得a2>b2,所以①成立; 由a>b>0可得a>b-1,而函數(shù)f(x)=2x在R上是增函數(shù), ∴f(a)>f(b-1
3、),即2a>2b-1,所以②成立; ∵a>b>0,∴>, ∴()2-(-)2=2-2b=2(-)>0, ∴>-,所以③成立; 若a=3,b=2,則a3+b3=35,2a2b=36, 有a3+b3<2a2b,所以④不成立.故選A. 解法二:令a=3,b=2, 可以得到①a2>b2,②2a>2b-1,③>-均成立,而④a3+b3>2a2b不成立,故選A. 2.函數(shù)f(x)=的定義域為( ) A.[0,3] B.(0,3) C.(-∞,0]∪[3,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞) 答案 A 解析 要使函數(shù)f(x)=有意義,則3x-x2≥0,即x2-3x≤0?x(x
4、-3)≤0,解得0≤x≤3,故選A.
3.不等式≤1的解集為( )
A.{x|x<1或x≥3} B.{x|1≤x≤3}
C.{x|1 5、為負(fù),由3x-x2≥0得出選項C.
3.解不等式時同解變形出錯,第3題易出現(xiàn)的問題有兩個方面:一是錯用不等式的性質(zhì)直接把不等式化為2x-4≤x-1求解;二是同解變形過程中忽視分母不為零的限制條件,導(dǎo)致增解.
熱點2 基本不等式及其應(yīng)用
1.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法則
(1)如果x>0,y>0,xy=p(定值),當(dāng)x=y(tǒng)時,x+y有最小值2.(簡記:積定和最小)
(2)如果x>0,y>0,x+y=s(定值),當(dāng)x=y(tǒng)時,xy有最大值s2.(簡記:和定積最大)
2.利用基本不等式解決條件最值問題的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或乘積為定值,主要有兩種思路:
(1)通過變形直接利 6、用基本不等式解決.
(2)對條件變形,根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點”,通過“1”的代換、添項、分離常數(shù)等手段使之能運用基本不等式.常見的轉(zhuǎn)化方法有:
①若+=1,則mx+ny=(mx+ny)·1=(mx+ny)·≥ma+nb+2(字母均為正數(shù));
②x+=x-a++a≥a+2(x>a,b>0).
1.下列結(jié)論正確的是( )
A.當(dāng)x>0且x≠1,lg x+≥2
B.<1(x∈R)
C.當(dāng)x>0時,+≥2
D.當(dāng)0 7、C,當(dāng)x>0時,+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立;對于D,當(dāng)0 8、=的最小值為9.
4.(2018·江蘇高考)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為________.
答案 9
解析 由題意可知,S△ABC=S△ABD+S△BCD,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得acsin120°=a×1×sin60°+c×1×sin60°,化簡得ac=a+c,+=1,因此4a+c=(4a+c)=5++≥5+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時取等號,則4a+c的最小值為9.
1.利用均值不等式求解最值時,要注意三個條件,即“一正——各項都是正數(shù);二定——和或積為定值;三等 9、——能取到使等號成立的值”,這三個條件缺一不可.
2.第2題易出錯的地方是:不會“湊”,不能根據(jù)函數(shù)解析式的特征適當(dāng)變形湊出兩式之和為定值;第3題是分子展開后不能變形湊出兩式之積為定值.第4題利用“1”的代換或配湊使和為定值或積為定值時,代數(shù)式的變形要注意保持等價.
熱點3 簡單的線性規(guī)劃問題
1.解決線性規(guī)劃問題的一般步驟
(1)畫出可行域;(2)根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點;(3)求出目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值.
2.常見代數(shù)式的幾何意義
(1)z=Ax+By表示與直線y=-x+在y軸上的截距成比例的數(shù);
(2)z=(x-a)2+(y-b)2區(qū)域內(nèi)動點(x 10、,y)與定點(a,b)的距離的平方;
(3)z=表示區(qū)域內(nèi)動點(x,y)與定點(a,b)連線的斜率.
3.求解線性規(guī)劃中含參問題的基本方法
(1)首先把不含參數(shù)的平面區(qū)域確定好;
(2)把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用,根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)確定最值,通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍.
4.解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟
(1)分析題意,設(shè)出未知量;
(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù);
(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解;
(4)作答.
題型1 已知約束條件,求目標(biāo)函數(shù)的最值
1.(2019·全國卷Ⅱ)若變量x,y滿足約束條件則z=3x-y的最大值 11、是________.
答案 9
解析 作出已知約束條件對應(yīng)的可行域(圖中陰影部分),由圖易知,當(dāng)直線y=3x-z過點C時,-z最小,即z最大.
由解得
即C點坐標(biāo)為(3,0),故zmax=3×3-0=9.
2.(2019·晉城一模)若x,y滿足約束條件
則z=x2+y2-4x-6y+13的最小值為________.
答案
解析 畫出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分所示),
由于z=x2+y2-4x-6y+13=(x-2)2+(y-3)2,故z表示可行域內(nèi)的點A(x,y)與定點P(2,3)間距離的平方,即z=|PA|2.
由圖形可得|PA|的最小值即為點P(2,3 12、)到直線x+y-4=0的距離d==,
所以zmin=d2=.
第1、2題易錯在不能準(zhǔn)確把握目標(biāo)函數(shù)z的幾何意義而不知如何變形.
題型2 已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)
1.(2019·華南師大附中一模)已知a>0,x,y滿足約束條件若z=2x+y的最小值為1,則a=( )
A. B.
C.1 D.2
答案 A
解析 由約束條件畫出可行域(如圖所示三角形及其內(nèi)部).由得B(1,-2a).當(dāng)直線2x+y-z=0過點B時,z=2x+y取得最小值,所以1=2×1-2a,解得a=,故選A.
2.已知x,y滿足約束條件若z=ax+y的最大值為4,則a=( )
A.3 B. 13、2
C.-2 D.-3
答案 B
解析 不等式組在直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示,
若z=ax+y的最大值為4,
則y=-ax+z截距的最大值為4.
①若a<0,則不滿足條件;
②若a>0,當(dāng)-a<-1,即a>1時,x=2,y=0是最優(yōu)解,此時a=2;當(dāng)-a>-1,即01(舍).故選B.
第1題易在分析動直線的位置時出錯,忽略直線y=a(x-3)恒過定點(3,0)而不好確定可行域;第2題需明確目標(biāo)函數(shù)中z與直線y=-ax+z截距最值相同,易忽視關(guān)于a的正負(fù)討論而漏解或錯解.
題型3 線性規(guī)劃的實際應(yīng) 14、用
(2019·黃岡聯(lián)考)一個小型加工廠用一臺機器生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝飲料,生產(chǎn)一桶甲飲料需要白糖4千克,果汁18千克,用時3小時;生產(chǎn)一桶乙飲料需要白糖1千克,果汁15千克,用時1小時.現(xiàn)庫存白糖10千克,果汁66千克,生產(chǎn)一桶甲飲料利潤為200元,生產(chǎn)一桶乙飲料利潤為100元,在使用該機器用時不超過9小時的條件下,生產(chǎn)甲、乙兩種飲料利潤之和的最大值為________.
答案 600
解析 設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種飲料分別為x桶、y桶,利潤為z元,
則得即
目標(biāo)函數(shù)z=200x+100y.
作出可行域(如圖陰影部分所示).當(dāng)直線z=200x+100y經(jīng)過可行域上點B時,z取得最大值.
15、
解方程組得點B的坐標(biāo)(2,2),故zmax=200×2+100×2=600.
1.線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化,即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是:一、準(zhǔn)確無誤地作出可行域;二、畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時,要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較,避免出錯;三、一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得.
2.在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用問題時要注意結(jié)合實際問題的實際意義,判斷所設(shè)未知數(shù)x,y的取值范圍,特別注意分析x,y是否是整數(shù)、是否是非負(fù)數(shù)等.
真題自檢感悟
1.(2019·全國卷Ⅰ)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則( )
A.a
16、 B.a(chǎn) 17、∈R,若關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒成立,則a的取值范圍是( )
A. B.
C.[-2,2] D.
答案 A
解析 關(guān)于x的不等式f(x)≥在R上恒成立等價于-f(x)≤a+≤f(x),
即-f(x)-≤a≤f(x)-在R上恒成立,
令g(x)=-f(x)-.
當(dāng)x≤1時,g(x)=-(x2-x+3)-=-x2+-3
=-2-,
當(dāng)x=時,g(x)max=-;
當(dāng)x>1時,g(x)=--=-≤-2,
當(dāng)且僅當(dāng)=,且x>1,即x=時,“=”成立,
故g(x)max=-2.
綜上,g(x)max=-.
令h(x)=f(x)-,
當(dāng)x≤1時,h(x)=x 18、2-x+3-=x2-+3
=2+,
當(dāng)x=時,h(x)min=;
當(dāng)x>1時,h(x)=x+-=+≥2,
當(dāng)且僅當(dāng)=,且x>1,即x=2時,“=”成立,
故h(x)min=2.
綜上,h(x)min=2.
故a的取值范圍為.故選A.
4.(2018·天津高考)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則2a+的最小值為________.
答案
解析 由a-3b+6=0可知a-3b=-6,且2a+=2a+2-3b,
因為對于任意x,2x>0恒成立,
結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得,
2a+2-3b≥2=2=.
當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.
綜上可得2a+的最小值為.
專題作業(yè) 19、
一、選擇題
1.(2019·北京高考)若x,y滿足|x|≤1-y,且y≥-1,則3x+y的最大值為( )
A.-7 B.1
C.5 D.7
答案 C
解析 由|x|≤1-y,且y≥-1,得作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè)z=3x+y,則y=-3x+z.作直線l0:y=-3x,并進(jìn)行平移.顯然當(dāng)l0過點A(2,-1)時,z取最大值,zmax=3×2-1=5.故選C.
2.不等式≤0的解集為( )
A.
B.
C.∪[1,+∞)
D.∪[1,+∞)
答案 A
解析 ≤0?
解得即- 20、列不等式成立的是( )
A.a+<<log2(a+b)
B.<log2(a+b)<a+
C.a+<log2(a+b)<
D.log2(a+b)<a+<
答案 B
解析 ∵a>b>0,ab=1,
∴l(xiāng)og2(a+b)>log2(2)=1.
∵a>b>0且ab=1,∴a2>ab>b2,則a>1,02,∴0<<,則<.
∵a+=a+a=2a>a+b>log2(a+b),
∴ 21、選B.
4.(2019·北京師范大學(xué)附中模擬)已知a>0,b>0,并且,,成等差數(shù)列,則a+9b的最小值為( )
A.16 B.9
C.5 D.4
答案 A
解析 ∵,,成等差數(shù)列,∴+=1.
∴a+9b=(a+9b)=10++≥10+2=16,當(dāng)且僅當(dāng)=且+=1,即a=4,b=時等號成立.∴a+9b的最小值為16,故選A.
5.已知函數(shù)f(x)=x++2的值域為(-∞,0)∪(4,+∞),則a的值是( )
A. B. C.1 D.2
答案 C
解析 由題意可得a>0,①當(dāng)x>0時,f(x)=x++2≥2+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號;②當(dāng)x<0時,f(x)=x++ 22、2≤-2+2,當(dāng)且僅當(dāng)x=-時取等號,所以解得a=1,故選C.
6.(2018·天津高考)已知a=log2e,b=ln 2,c=log,則a,b,c的大小關(guān)系為( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
答案 D
解析 由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知,
a=log2e>1,b=ln 2=∈(0,1),c=log=log23>log2e,據(jù)此可得,c>a>b.故選D.
7.已知x,y>0且x+4y=1,則+的最小值為( )
A.8 B.9 C.10 D.11
答案 B
解析 ∵x,y>0且x+4y=1,∴+=(x+4y)=5+4·+≥5+2=5 23、+4=9,
當(dāng)且僅當(dāng)4·=即或(舍去)時等號成立.故選B.
8.(2019·華大新高考聯(lián)盟模擬)若實數(shù)x,y滿足不等式組則x2+y2的取值范圍是( )
A. B.[0,2]
C. D.[0,]
答案 B
解析 畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界),
x2+y2的幾何意義是陰影內(nèi)的點到原點的距離的平方,顯然O點為最小值點,而A(1,1)為最大值點,故x2+y2的取值范圍是[0,2].故選B.
9.若x,y滿足約束條件則的最大值為( )
A.1 B.-1
C.3 D.0
答案 C
解析 作出可行域如圖中陰影部分所示,由斜率的意義知,是可行域內(nèi)一點與原點連線的 24、斜率,由圖可知,點A(1,3)與原點連線的斜率最大,故的最大值為3.故選C.
10.若直線l:kx-y+1=0上不存在滿足不等式組的點(x,y),則實數(shù)k的取值范圍為( )
A.(-∞,0]∪
B.
C.(-∞,0)∪
D.
答案 D
解析 實數(shù)x,y滿足對應(yīng)的可行域如圖中陰影部分:
直線l:kx-y+1=0可化為y=kx+1,故直線l過定點C(0,1),由圖可知,當(dāng)直線l過的交點A(1,1)時,k=0;當(dāng)直線l過的交點B時,k=.
由此可知當(dāng)0 25、為( )
A.16 B.9
C.6 D.1
答案 C
解析 ∵正數(shù)a,b滿足:+=1,∴a>1且b>1.+=1可變形為=1,∴ab=a+b,∴ab-a-b=0,∴(a-1)(b-1)=1,∴a-1=,∵a-1>0,
∴+=+9(a-1)≥2=6,當(dāng)且僅當(dāng)=9(a-1),即a=時取“=”,∴+的最小值為6.故選C.
12.(2019·太原模擬)已知正數(shù)a,b滿足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m對任意實數(shù)x恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是( )
A.[3,+∞) B.(-∞,3]
C.(-∞,6] D.[6,+∞)
答案 D
解析 ∵a>0,b>0,且+=1, 26、
∴a+b=(a+b)=10++
≥10+2=16,
當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=4,b=12時等號成立,所以(a+b)min=16.
若不等式a+b≥-x2+4x+18-m對任意實數(shù)x恒成立,則-x2+4x+18-m≤16,即m≥-x2+4x+2對任意實數(shù)x恒成立,
∵-x2+4x+2=-(x-2)2+6≤6,∴m≥6.
∴實數(shù)m的取值范圍是[6,+∞).故選D.
二、填空題
13.已知實數(shù)x,y滿足如果目標(biāo)函數(shù)z=x-y的最小值為-1,則實數(shù)m等于________.
答案 5
解析 繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界),
聯(lián)立直線方程可得交點坐標(biāo)為A,由目標(biāo) 27、函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點A處取得最小值,所以-=-1,解得m=5.
14.(2017·江蘇高考)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是________.
答案 30
解析 一年的總運費為6×=(萬元).
一年的總存儲費用為4x萬元.
總運費與總存儲費用的和為萬元.
因為+4x≥2 =240,
當(dāng)且僅當(dāng)=4x,即x=30時取得等號,
所以當(dāng)x=30時,一年的總運費與總存儲費用之和最小.
15.(2019·衡水中學(xué)檢測)設(shè)滿足的實數(shù)x,y所在的平面區(qū)域為Ω,則Ω的外接圓方程 28、是______________.
答案 (x-1)2+(y-3)2=10
解析 作出不等式組表示的平面區(qū)域Ω,如圖陰影部分所示.則區(qū)域Ω是四邊形ABCO(含內(nèi)部及邊界).易知BC⊥AB,則外接圓的圓心為AC的中點,又A(0,6),C(2,0),則該四邊形外接圓的圓心為(1,3),半徑r=|AC|=.故所求圓的方程為(x-1)2+(y-3)2=10.
16.若實數(shù)x,y滿足x2+y2≤1,則|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是________.
答案 3
解析 x2+y2≤1表示圓x2+y2=1及其內(nèi)部,易得直線6-x-3y=0與圓相離,故|6-x-3y|=6-x-3y,當(dāng)2x+y-2≥0時,|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4,如下圖所示,可行域為小的弓形內(nèi)部,目標(biāo)函數(shù)z=x-2y+4,則可知當(dāng)x=,y=時,zmin=3,當(dāng)2x+y-2≤0時,|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y,可行域為大的弓形內(nèi)部,目標(biāo)函數(shù)z=8-3x-4y,同理可知當(dāng)x=,y=時,zmin=3,綜上所述,(|2x+y-2|+|6-x-3y|)min=3.
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