2020屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤練（三十四）數(shù)列求和 文（含解析）新人教A版

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1、課時(shí)跟蹤練(三十四) A組　基礎(chǔ)鞏固 1．?dāng)?shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項(xiàng)和Sn的值等于(　　) A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－ 解析：該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(2n－1)＋，則Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－. 答案：A 2．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，前n項(xiàng)和為9，則n等于(　　) A．9 B．99 C．10 D．100 解析：因?yàn)閍n＝＝－， 所以Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1，令－1＝9，得n＝99，故選B. 答案：B 3

2、．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了(　　) A．192里 B．96里 C．48里 D．24里 解析：由題意，知每天所走路程形成以a1為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，則＝378，解得a1＝192，則a2＝96，即第二天走了96里．故選B. 答案：B 4．(2019·廣州模擬)數(shù)列{an}滿足a2＝2，an＋2＋(－1)n＋1an＝1＋(－1)n(n

3、∈N*)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S100＝(　　) A．5 100 B．2 550 C．2 500 D．2 450 解析：由an＋2＋(－1)n＋1an＝1＋(－1)n(n∈N*)，可得a1＋a3＝a3＋a5＝a5＋a7＝…＝0，a4－a2＝a6－a4＝a8－a6＝…＝2，由此可知，數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)相鄰兩項(xiàng)的和為0，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為a2＝2、公差為2的等差數(shù)列，所以S100＝50×0＋50×2＋×2＝2 550，故選B. 答案：B 5．已知函數(shù)f(x)＝xa的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，令an＝，n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 019＝(　　) A.－

4、1 B.－1 C.－1 D.＋1 解析：由f(4)＝2得4a＝2，解得a＝，則f(x)＝x. 所以an＝＝＝－， S2 019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝(－)＋(－)＋(－) ＋…＋(－)＝－1. 答案：C 6．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＝sin ，n∈N*，則S2 019＝________． 解析：an＝sin ，n∈N*，顯然每連續(xù)四項(xiàng)的和為0. S2 019＝S4×504＋a2 017＋a2 018＋a2 019 ＝0＋1＋0＋(－1)＝0. 答案：0 7．計(jì)算：3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n＋2)·2－n＝______

5、__． 解析：設(shè)S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×， 則S＝3×＋4×＋5×＋…＋(n＋2)×. 兩式相減得S＝3×＋－. 所以S＝3＋－ ＝3＋－ ＝4－. 答案：4－ 8．(2019·邵陽(yáng)模擬)設(shè)數(shù)列{(n2＋n)an}是等比數(shù)列，且a1＝，a2＝，則數(shù)列{3nan}的前15項(xiàng)和為________． 解析：等比數(shù)列{(n2＋n)an}的首項(xiàng)為2a1＝，第二項(xiàng)為6a2＝，故公比為，所以(n2＋n)an＝·＝，所以an＝，則3nan＝＝－，其前n項(xiàng)和Sn＝1－，所以當(dāng)n＝15時(shí)，S15＝1－＝. 答案： 9．已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且b2＝3，b3

6、＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)cn＝an＋bn，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和． 解：(1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，則q＝＝＝3， 所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27，所以bn＝3n－1(n＝1，2，3，…)． 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因?yàn)閍1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2. 所以an＝2n－1(n＝1，2，3，…)． (2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1

7、＝＋＝n2＋. 10．(2019·深圳一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，an＋1＝2＋Sn(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝1＋log2(an)2，求證：數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn<. (1)解：因?yàn)閍n＋1＝2＋Sn(n∈N*)， 所以an＝2＋Sn－1(n≥2)． 所以an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an， 所以an＋1＝2an(n≥2)， 又因?yàn)閍2＝2＋a1＝4，a1＝2，所以a2＝2a1， 所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， 則an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)． (2)證明：因?yàn)閎n＝1＋log2(an)2

8、，則bn＝2n＋1. 則＝， 所以Tn＝ ＝<. B組　素養(yǎng)提升 11．(2019·廈門質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，則其前100項(xiàng)和為(　　) A．250 B．200 C．150 D．100 解析：n＝2k(k∈N*)時(shí)，a2k＋1－a2k＝2，n＝2k－1(k∈N*)時(shí)，a2k＋a2k－1＝2，n＝2k＋1(k∈N*)時(shí)，a2k＋2＋a2k＋1＝2，所以a2k＋1＋a2k－1＝4，a2k＋2＋a2k＝0，所以{an}的前100項(xiàng)和＝(a1＋a3)＋…＋(a97＋a99)＋(a2＋a4)＋…＋(a98＋a100)＝25×4＋25×0＝10

9、0.故選D. 答案：D 12．(2019·鄭州畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，記Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，則T2 018＝(　　) A. B. C. D. 解析：因?yàn)閍n＋2－2an＋1＋an＝0，所以an＋2＋an＝2an＋1， 所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，又a1＝1，a2＝2， 所以d＝1，則an＝n，Sn＝， 所以＝＝2， 所以Tn＝＋＋…＋＝ 2＝2＝，則T2 018＝.故選C. 答案：C 13．(2019·廣東“六校聯(lián)盟”聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足

10、Sn＝2an－1(n∈N*)，則數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn為________． 解析：因?yàn)镾n＝2an－1(n∈N*) 所以n＝1時(shí)，a1＝2a1－1，解得a1＝1，n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－1－(2an－1－1)，化為an＝2an－1， 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以an＝2n－1. 所以nan＝n·2n－1. 則數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n·2n－1. 2Tn＝2＋2×22＋…＋(n－1)×2n－1＋n·2n， 兩式相減得－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝(1－n)·2n－1， 所以

11、Tn＝(n－1)2n＋1. 答案：(n－1)2n＋1 14．[一題多解]設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝(2n－1)an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)當(dāng)n≥2時(shí)，由an＋1＝2Sn＋3得an＝2Sn－1＋3， 兩式相減，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an， 所以an＋1＝3an， 所以＝3. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，則＝3. 所以數(shù)列{an}是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列． 所以an＝3×3n－1＝3n. (2)法一

12、　由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n， 所以Tn＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n－1)·3n，① 3Tn＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n－1)·3n＋1，② ①－②得－2Tn＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－(2n－1)·3n＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n)－(2n－1)·3n＋1＝3＋2×－(2n－1)·3n＋1 ＝－6－(2n－2)·3n＋1. 所以Tn＝(n－1)·3n＋1＋3. 法二　由(1)得bn＝(2n－1)an＝(2n－1)·3n. 因?yàn)?2n－1)·3n＝(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝(0＋3)＋(33＋0)＋(2×34－33)＋…＋[(n－1)·3n＋1－(n－2)·3n] ＝(n－1)·3n＋1＋3. 6