2020版高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓6 函數(shù)的奇偶性與周期性 理（含解析）北師大版

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1、課后限時集訓(六)　函數(shù)的奇偶性與周期性 (建議用時：40分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上遞增的是(　　) A．y＝ex　　　　　　　 B．y＝sin x C．y＝cos x D．y＝ln x2 D　[y＝ex不是偶函數(shù)，所以A不正確；y＝sin x是奇函數(shù)，所以B不正確；y＝cos x是偶函數(shù)，在(0，＋∞)上不是遞增函數(shù)，所以C不正確；y＝ln x2是偶函數(shù)，在(0，＋∞)上是遞增函數(shù)，所以D正確．故選D.] 2．已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝2x＋m，則f(－2)＝(　　) A．－3 B．

2、－ C. D．3 A　[因為f(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，則f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.] 3．已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 B　[由已知得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，則有 解得g(1)＝3.] 4．(2019·江西六校聯(lián)考)設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝則g[f(－8)]＝(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 A　[∵函

3、數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝ ∴f(－8)＝－f(8)＝－log3 9＝－2，∴g[f(－8)]＝g(－2)＝f(－2)＝－f(2)＝－log3 3＝－1.故選A.] 5．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(1)＝1，則f(2 019)＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．－2 B　[由題意得f(x＋4)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)以8為周期，∴f(2 019)＝f(3)＝f(1)＝1，故選B.] 6．(2019·皖南八校聯(lián)考)偶函數(shù)f(x)在(－∞，

4、0]上是增函數(shù)，且f(1)＝－1，則滿足f(2x－3)＞－1的實數(shù)x的取值范圍是(　　) A．(1,2) B．(－1,0) C．(0,1) D．(－1,1) A　[因為偶函數(shù)f(x)在(－∞，0]上是增函數(shù)， 所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)． 由f(1)＝－1且滿足f(2x－3)＞－1＝f(1)， 等價于f(|2x－3|)＞f(1)， |2x－3|＜1，可得－1＜2x－3＜1,2＜2x＜4,1＜x＜2， 所以實數(shù)x的取值范圍是(1,2)，故選A.] 7．(2019·廣州模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且當x∈

5、(－1,0)時，f(x)＝2x＋，則f(log220)＝(　　) A．1 B. C．－1 D．－ C　[由于x∈R，且f(－x)＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由于f(x)＝f(x＋4)，所以函數(shù)的周期為4，log216＜log220＜log232，即4＜log220＜5,0＜log220－4＜1， ∴0＜log2＜1， ∴f(log220)＝f(log220－4)＝f ＝－f＝－f＝－ ＝－＝－1，故選C.] 二、填空題 8．(2019·山西八校聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝－，當2≤x≤3時，f(x)＝x，則f＝________. 　

6、[∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)， ∴f＝f，又2≤x≤3時，f(x)＝x， ∴f＝，∴f＝.] 9．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上遞增．若實數(shù)a滿足f(2|a－1|)＞f(－)，則a的取值范圍是________． 　[∵f(2|a－1|)＞f(－)＝f()， 又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上遞減，∴2|a－1|＜＝2， ∴|a－1|＜，∴＜a＜.] 10．定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．現(xiàn)有以下三個命題： ①8是函數(shù)f(x)的一個周期；②f(x)的圖像關于直線x＝2對稱；③f(

7、x)是偶函數(shù)． 其中正確命題的序號是________． ①②③　[∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期為4，故①正確；又f(4－x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的圖像關于直線x＝2對稱，故②正確；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正確．] B組　能力提升 1．已知f(x)＝asin x＋b＋4，若f(lg 3)＝3，則f＝(　　) A. B．－ C．5 D．8 C　[因為f(x)＋f(－x)＝8，f＝f(－lg 3)，所以f＝8－f(lg 3)＝5，故選C.] 2．(2019·衡

8、水調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,0) B．[0,1] C．[－1,1] D．[－2,2] C　[由函數(shù)方程可知f(x)是偶函數(shù)，故f(－a)＝f(a)，原不等式等價于f(a)≤f(1)，即f(|a|)≤f(1)，而函數(shù)在[0，＋∞)上遞增，故|a|≤1，解得－1≤a≤1.] 3．(2018·洛陽一模)若函數(shù)f(x)同時滿足下列兩個條件，則稱該函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”： (1)任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0； (2)任意x1，x2∈R，且x1≠x2，都有＜0. ①f(x)＝sin x；②f(x)＝－2x

9、3；③f(x)＝1－x；④f(x)＝ln(＋x)． 以上四個函數(shù)中，“優(yōu)美函數(shù)”的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 B　[由條件(1)，得f(x)是奇函數(shù)，由條件(2)，得f(x)是R上的減函數(shù)． 對于①，f(x)＝sin x在R上不單調(diào)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對于②，f(x)＝－2x3既是奇函數(shù)，又在R上遞減，故是“優(yōu)美函數(shù)”；對于③，f(x)＝1－x不是奇函數(shù)，故不是“優(yōu)美函數(shù)”；對于④，易知f(x)在R上遞增，故不是“優(yōu)美函數(shù)”．故選B.] 4．(2019·滄州模擬)已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，對于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成

10、立，當x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2時，都有＞0.給出下列命題： ①f(3)＝0； ②直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖像的一條對稱軸； ③函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為增函數(shù)； ④函數(shù)y＝f(x)在[－9,9]上有四個零點． 其中所有正確命題的序號為________． ①②④　[∵f(x＋6)＝f(x)＋f(3)， 令x＝－3得，f(－3)＝0，又f(x)為偶函數(shù)，∴f(3)＝0，即①正確； 由f(3)＝0得f(x＋6)＝f(x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(6－x)＝f(6＋x)，故f(x)關于直線x＝6對稱，又f(x)的周期為6，故②正確； 當x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2時，都有＞0，所以函數(shù)y＝f(x)在[0,3]上為增函數(shù)．因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)在[－3,0]上為減函數(shù)，而f(x)的周期為6，所以函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為減函數(shù)．故③錯誤； f(3)＝0，f(x)的周期為6，所以f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0，所以函數(shù)y＝f(x)在[－9,9]上有四個零點．故④正確．] - 5 -