2020屆高考數(shù)學一輪復習 第八篇 平面解析幾何 第3節(jié) 橢圓課時作業(yè) 理（含解析）新人教A版

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1、第3節(jié) 橢圓 課時作業(yè) 基礎(chǔ)對點練(時間：30分鐘) 1．(改編題)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為2，則橢圓C的方程為(　　) (A)＋y2＝1 (B)x2＋＝1 (C)＋＝1 (D)＋y2＝1或＋＝1 A　解析：由e＝＝得，a2＝2b2，依題意×2a×2b＝2，即ab＝，解方程組得 所以橢圓C的方程為＋y2＝1.故選A. 2．(改編題)點P在橢圓＋＝1(a＞b＞0)上，F(xiàn)1、F2是橢圓的兩個焦點，∠F1PF2＝90°，且△F1PF2的三條邊長成等差數(shù)列，則此橢圓的離心率是(　　) (A)　　　　　　　　　　 (B) (C)

2、 (D) A　解析：設(shè)|PF1|＝m＜|PF2|，則由橢圓的定義可得|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－m，而|F1F2|＝2c.因為△F1PF2的三條邊長成等差數(shù)列，所以2|PF2|＝|PF1|＋|F1F2|，即m＋2c＝2(2a－m)，解得m＝(4a－2c)，即|PF1＝(4a－2c)，所以|PF2|＝2a－(4a－2c)＝(2a＋2c)．又∠F1PF2＝90°，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，即2＋2＝(2c)2，整理得5a2－2ac－7c2＝0，解得a＝c或a＝－c(舍去)．故e＝＝.故選A. 3．(2019湖南調(diào)研)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，點M、N、

3、F分別為橢圓C的左頂點、上頂點、左焦點，若∠MFN＝∠NMF＋90°，則橢圓C的離心率是(　　) (A) (B) (C) (D) A　解析：cos∠MFN＝cos(∠NMF＋90°)＝－sin∠NMF 即－＝－ ∴c2(a2＋b2)＝a2b2 即c2(2a2－c2)＝a2(a2－c2) ∴c4－3a2c2＋a4＝0 即e4－3e2＋1＝0，e2＝， e＝＝＝，故選A. 4．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段PF1的中點在y軸上，則的值為(　　) (A) (B) (C) D. B　解析：由題意知a＝3，b＝.由橢圓定義知|PF1|＋|PF

4、2|＝6.在△PF1F2中，因為PF1的中點在y軸上，O為F1F2的中點，由三角形中位線性質(zhì)可得PF2⊥x軸，所以|PF2|＝＝，所以|PF1|＝6－|PF2|＝，所以＝，故選B. 5．橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F，若F關(guān)于直線x＋y＝0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為(　　) (A) (B) (C) (D)－1 D　解析：設(shè)A(m，n)，則 解得A(，c)，代入橢圓方程中，有＋＝1， ∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2， ∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)， ∴c4－8a2c2＋4a2＝0， ∴e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4

5、±2，∴e＝－1.故選D. 6．(2018三明5月)已知中心是坐標原點的橢圓C過點，且它的一個焦點為(2,0)，則C的標準方程為________． 解析：橢圓的焦點位于x軸，則設(shè)橢圓的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 橢圓C過點，則：＋＝1，① 它的一個焦點為(2,0)，則a2－b2＝4，② ①②聯(lián)立可得：，則C的標準方程為＋y2＝1. 答案：＋y2＝1 7．若x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是________． 解析：將橢圓的方程化為標準形式得＋＝1，因為x2＋ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，所以＞2，解得0＜k＜1. 答案：(0,1) 8．設(shè)橢圓

6、E：＋＝1(a＞b＞0)的右頂點為A、右焦點為F，B為橢圓E上在第二象限內(nèi)的點，直線BO交E于點C，若直線BF平分線段AC，則E的離心率是________． 解析：設(shè)AC的中點為M，連接OM，F(xiàn)M，則OM為△ABC的中位線，B，F(xiàn)，M在一條線上，于是△OFM～△AFB，且＝，即＝，解得e＝＝. 答案： 9．(2019聊城調(diào)研)已知A為橢圓＋＝1上的動點，MN為圓(x－1)2＋y2＝1的一條直徑，則·的最大值為________． 解析：記圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C(1,0)， 設(shè)A(x，y)，x∈[－3,3]，則|AC|2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋5－x2＝x2－2x

7、＋6，當x＝－3時，(|AC|2)max＝4＋6＋6＝16. ·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝||2－1≤15，故·的最大值為15. 答案：15 10．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，直線x＋y＋1＝0與以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切． (1)求橢圓C的方程； (2)過點M(2,0)的直線l與橢圓C相交于不同的兩點S和T，若橢圓C上存在點P滿足＋＝t(其中O為坐標原點)，求實數(shù)t的取值范圍． 解析：(1)由題意，以橢圓C的右焦點為圓心，以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為(x－c)2＋y2＝a2， ∴圓心

8、到直線x＋y＋1＝0的距離d＝＝a，(*) ∵橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構(gòu)成等腰直角三角形，∴b＝c，a＝c，代入(*)式得b＝c＝1，∴a＝b＝， 故所求橢圓方程為＋y2＝1. (2)由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)，設(shè)P(x0，y0)， 將直線l的方程代入橢圓方程得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， ∴Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)＞0，解得k2＜. 設(shè)S(x1，y1)，T(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝－. 由＋＝t，得tx0＝x1＋x2，ty0＝y(tǒng)1＋y2，

9、 當t＝0時，直線l為x軸，則橢圓上任意一點P滿足＋＝t，符合題意； 當t≠0時， ∴x0＝·，y0＝·. 將上式代入橢圓方程得＋＝1， 整理得t2＝＝， 由k2＜知，0＜t2＜4，所以t∈(－2,0)∪(0,2)， 綜上可得，實數(shù)t的取值范圍是(－2,2)． 能力提升練(時間：15分鐘) 11．(2019昆明二模)已知F1，F(xiàn)2是橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，過原點的直線交E于A，B兩點，·＝0，且＝，則E的離心率為(　　) (A) (B) (C) (D) D　解析：∵·＝0，∴⊥，連接AF1，BF1，由橢圓的對稱性可知，F(xiàn)1AF2B是矩形，設(shè)||＝3t

10、，則||＝4t，可知||＝4t,2a＝3t＋4t，a＝t，由勾股定理可知，2c＝＝5t，c＝t，e＝＝，故選D. 12．(2019煙臺三模)已知動點P在橢圓＋＝1上，若點A的坐標為(3,0)，點M滿足||＝1，·＝0，則||的最小值是(　　) (A)4 (B) (C)15 (D)16 B　解析：設(shè)P(x，y)，A(3,0)為焦點，所以||＝，而焦半徑4≤PA≤10，所以||∈[，3]，故選B. 13．已知橢圓＋＝1的焦點分別是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點，若連接F1，F(xiàn)2，P三點恰好能構(gòu)成直角三角形，則點P到y(tǒng)軸的距離是________． 解析：依題意：F1(0，－3)，F(xiàn)2(0

11、,3)．又因為3＜4，所以∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°，設(shè)P(x,3)，代入橢圓方程得：x＝±，即點P到y(tǒng)軸的距離為. 答案： 14．已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)，M，N是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上任意一點，且直線PM，PN的斜率分別為k1，k2，若|k1k2|＝，則橢圓的離心率e＝________. 解析：設(shè)P(x，y)，M(x0，y0)，N(－x0，－y0)， 則k1＝，k2＝， 由題意有|k1k2|＝＝＝， 因為P，M，N在橢圓上， 所以＋＝1，＋＝1， 兩式相減得＋＝0，即＝－， 所以＝，即＝，解得e＝＝. 答案： 15．點A，B分別是橢圓

12、＋＝1長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF. (1)求點P的坐標； (2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點P到點M的距離d的最小值． 解：(1)由題意可知點A(－6,0)，F(xiàn)(4,0)設(shè)點P的坐標為(x，y)，則＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)，且y＞0，由已知得即2x2＋9x－18＝0，解得或(舍) ∴點p的坐標為. (2)直線AP的方程為x－y＋6＝0，設(shè)點M的坐標為(m,0)，由題意可知＝|m－6|.又－6≤m≤6，∴m＝2，∴d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2＝2＋15.∴當

13、x＝時，d取得最小值. 16．(2019衡水中學)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點(0，)，離心率為，左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)． (1)求橢圓的方程； (2)若直線：y＝－x＋m與橢圓交于A，B兩點，與以F1F2為直徑的圓交于C，D兩點，且滿足＝，求直線的方程． 解析：(1)由題設(shè)知，解得，∴橢圓的方程為＋＝1. (2)由題設(shè)，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1， ∴以圓心(0,0)到直線的距離d＝. 由d＜1，得|m|＜，(*)． ∴|CD|＝2＝2＝. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－mx＋m2－3＝0， 由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3， ∴|AB|＝＝. 由＝，得＝1，解得m＝±，滿足(*)． ∴直線的方程為y＝－x＋或y＝－x－. 8