2020版高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓20 三角函數(shù)的圖像與性質 理（含解析）北師大版

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1、課后限時集訓(二十)　三角函數(shù)的圖像與性質 (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．下列函數(shù)中最小正周期為π且圖像關于直線x＝對稱的是(　　) A．y＝2sin　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin B　[由函數(shù)的最小正周期為π，可排除C.由函數(shù)圖像關于直線x＝對稱知，該直線過函數(shù)圖像的最高點或最低點，對于A，因為sin＝sin π＝0，所以選項A不正確．對于B，sin＝sin ＝1，所以選項B正確，選B．] 2．(2018·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，則(　　) A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3

2、 B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4 B　[易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，則f(x)的最小正周期為π，當x＝kπ(k∈Z)時，f(x)取得最大值，最大值為4.] 3．(2018·烏魯木齊二模)若銳角φ滿足sin φ－cos φ＝，則函數(shù)f(x)＝cos2(x＋φ)的遞減區(qū)間為(　　) A.(k∈Z) B．(k∈Z) C.(k∈Z) D．(k∈Z) B　[由題知φ是銳角且滿足sin φ－cos φ＝，得φ＝，又

3、∵f(x)＝cos2(x＋φ)＝cos(2x＋2φ)＋＝cos＋，由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)得f(x)的遞減區(qū)間為(k∈Z)，故選B．] 4．(2018·廣州一模)已知函數(shù)f(x)＝sin(ω＞0)在區(qū)間上遞增，則ω的取值范圍為(　　) A. B． C. D． B　[因為x∈，所以ωx＋∈.因為函數(shù)f(x)在區(qū)間上遞增， 所以(k∈Z)，解得(k∈Z)．因為ω＞0，所以k＝0，可得0＜ω≤，故選B．] 5．(2019·成都模擬)已知函數(shù)f(x)＝cossin x，則下列說法正確的是(　　) A．函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝2π B．函數(shù)f(x)的圖像關于點

4、對稱 C．函數(shù)f(x)在區(qū)間上為減函數(shù) D．函數(shù)f(x)的圖像關于直線x＝對稱 D　[因為函數(shù)f(x)＝cossin x＝·sin x＝sin 2x－·＝(sin 2x＋cos 2x)－＝sin－，故它的最小正周期為＝π，故A錯誤；令x＝，求得f＝－＝，為函數(shù)f(x)的最大值，故函數(shù)f(x)的圖像關于直線x＝對稱，且f(x)的圖像不關于點對稱，故B錯誤，D正確；在區(qū)間上，2x＋∈，函數(shù)f(x)＝sin－為增函數(shù)，故C錯誤， 故選 D．] 二、填空題 6．(2018·江蘇高考)已知函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖像關于直線x＝對稱，則φ的值為________． －　[由題意可知sin＝

5、±1，即＋φ＝kπ＋，k∈Z， ∴φ＝kπ－，k∈Z. 又∵－＜φ＜，∴φ＝－.] 7．(2018·北京高考)設函數(shù)f(x)＝cos(ω＞0)．若f(x)≤f對任意的實數(shù)x都成立，則ω的最小值為________． 　[由于f(x)≤f對任意的實數(shù)x都成立，所以f(x)max＝f＝cos＝1， ∴ω－＝2kπ，k∈Z. ∴ω＝8k＋，k∈Z. 又ω＞0，∴當k＝0時，ωmin＝.] 8．函數(shù)f(x)＝cos xsin－cos2x＋在閉區(qū)間上的最小值是________． －　[f(x)＝cos x－cos2x＋＝sin 2x－(2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝si

6、n，當x∈時，2x－∈，則當2x－＝－，即x＝－時，函數(shù)f(x)取得最小值－.] 三、解答題 9．(2019·合肥質檢)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)的最小正周期為π. (1)求函數(shù)y＝f(x)圖像的對稱軸方程； (2)討論函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性． [解]　(1)∵f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，且T＝π，∴ω＝2.于是f(x)＝sin.令2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，故函數(shù)f(x)的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z)． (2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(k∈Z)．注意到x∈，令k＝0，得函數(shù)

7、f(x)在上的遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為. 10．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期為π. (1)求當f(x)為偶函數(shù)時φ的值； (2)若f(x)的圖像過點，求f(x)的遞增區(qū)間． [解]　由f(x)的最小正周期為π，則T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)． (1)當f(x)為偶函數(shù)時，f(－x)＝f(x)， 所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)， 展開整理得sin 2xcos φ＝0， 由已知上式對任意x∈R都成立， 所以cos φ＝0.因為0＜φ＜，所以φ＝. (2)因為f＝， 所以sin＝，即＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ(k∈Z

8、)， 故φ＝2kπ或φ＝＋2kπ(k∈Z)， 又因為0＜φ＜，所以φ＝， 即f(x)＝sin， 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z) 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 故f(x)的遞增區(qū)間為. B組　能力提升 1．(2018·合肥二模)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)，f＝，f＝0，且f(x)在(0，π)上單調(diào)．下列說法正確的是(　　) A．ω＝ B．f＝ C．函數(shù)f(x)在上遞增 D．函數(shù)y＝f(x)的圖像關于點對稱 C　[由五點法作圖知，為五點法中的第二個零點，則＋φ＝π?、?又根據(jù)正弦函數(shù)的圖像及已知條件知為靠近第二個零點的點，所

9、以＋φ＝?、?由①②解得ω＝，φ＝，所以f(x)＝2sin，所以f＝，故A，B不正確；由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋3kπ≤x≤－＋3kπ(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)在上遞增，故C正確；因為f＝－1≠0，所以函數(shù)y＝f(x)的圖像不關于點對稱，故D錯誤，故選C.] 2．(2016·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－為f(x)的零點，x＝為y＝f(x)圖像的對稱軸，且f(x)在上單調(diào)，則ω的最大值為(　　) A．11 B．9 C．7 D．5 B　[因為f(x)＝sin(ωx＋φ)的一個零點為x＝－，x＝為y＝f(x)圖像的對稱軸， 所以·k＝

10、(k為奇數(shù))． 又T＝，所以ω＝k(k為奇數(shù))． 又函數(shù)f(x)在上單調(diào)， 所以≤×，即ω≤12. 若ω＝11，又|φ|≤，則φ＝－，此時，f(x)＝sin，f(x)在上遞增，在上遞減，不滿足條件． 若ω＝9，又|φ|≤，則φ＝，此時，f(x)＝sin，滿足f(x)在上單調(diào)的條件．故選 B．] 3．已知函數(shù)f(x)＝cos－(ω＞0)在[0，π]上恰有三個零點，則ω的取值范圍是________． 　[令t＝ωx－∈，則問題轉化為y＝cos t與y＝的圖像在上恰有三個不同的交點，注意到cos＝cos ＝cos ＝cos ＝，從而三個交點的橫坐標只能是－，，，所以≤ωπ－＜，解得2≤

11、ω＜，故答案為.] 4．已知函數(shù)f(x)＝a＋B． (1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間； (2)若x∈[0，π]時，函數(shù)f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值． [解]　f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin＋a＋B． (1)當a＝－1時， f(x)＝－sin＋b－1， 由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴當a＝－1時，f(x)的遞增區(qū)間為(k∈Z)． (2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤， ∴－≤sin≤1，依題意知a≠0. ①當a＞0時， ∴a＝3－3，b＝5. ②當a＜0時， ∴a＝3－3，b＝8. 綜上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8. - 7 -