《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺創(chuàng)新專題 題型2 解答題 規(guī)范踩點(diǎn) 多得分 第6講 解析幾何 第1課時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺創(chuàng)新專題 題型2 解答題 規(guī)范踩點(diǎn) 多得分 第6講 解析幾何 第1課時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 文(7頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1課時(shí) 直與圓錐曲線的位置關(guān)系
[考情分析] 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題的重要位置,題目可能涉及線段中點(diǎn)、弦長(zhǎng)等問題,解決這類問題,往往利用數(shù)形結(jié)合的思想、“設(shè)而不求”的方法、對(duì)稱的方法及韋達(dá)定理等,難度屬于中上等.
熱點(diǎn)題型分析
熱點(diǎn) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
判斷直線與圓錐曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)或求交點(diǎn)問題的兩種常用方法:
(1)代數(shù)法:即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程構(gòu)成方程組,通過消元得一元方程,此方程根的個(gè)數(shù)即為交點(diǎn)個(gè)數(shù),由方程組的解得交點(diǎn)坐標(biāo).
(2)幾何法:即畫出直線與圓錐曲線,根據(jù)圖形判斷公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l
2、與橢圓C:+=1交于A,B兩點(diǎn).線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0).
(1)證明:k<-;
(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且F+F+F=0.證明:||,||,||成等差數(shù)列,并求該數(shù)列的公差.
解 (1)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則+=1,+=1.
兩式相減,并由=k,得+·k=0.
由題設(shè),知=1,=m,于是k=-.①
由點(diǎn)M(1,m)在橢圓C內(nèi),得m< =,
且m>0,即0
3、=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.
又點(diǎn)P在C上,
所以m=,從而P,|F|=.
于是|F|==
=2-.同理|F|=2-.
所以|F|+|F|=4-(x1+x2)=3.
故2|F|=|F|+|F|,
即||,||,||成等差數(shù)列.
設(shè)該數(shù)列的公差為d,則
2|d|=|||-|||=|x1-x2|
= . ②
將m=代入①,得k=-1.
所以直線l的方程為y=-x+,代入C的方程,并整理,得
7x2-14x+=0.
故x1+x2=2,x1x2=,代入②解得|d|=.
所以該數(shù)列的公差為或-.
解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的解題
4、步驟:
(1)設(shè)直線方程及交點(diǎn)坐標(biāo)(直線方程設(shè)為點(diǎn)斜式時(shí),要注意對(duì)直線斜率是否存在進(jìn)行分類討論;設(shè)成x=my+n的形式時(shí),要注意對(duì)直線是否能與x軸平行進(jìn)行分類討論);
(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組,消元得一元方程(要注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零);
(3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式;
(4)結(jié)合已知條件和圖形分析,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式、弦長(zhǎng)公式及三角形面積公式等進(jìn)行求解.
(2019·全國(guó)卷Ⅰ)已知拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn)為F,斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A,B,與x軸的交點(diǎn)為P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若=3,求|AB|.
解 設(shè)直線
5、l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由題設(shè)得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+.
又|AF|+|BF|=4,所以x1+x2=.
由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
則x1+x2=-.
從而-=,得t=-.
所以l的方程為y=x-.
(2)由=3可得y1=-3y2.
由可得y2-2y+2t=0,
所以y1+y2=2,從而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.
代入C的方程得x1=3,x2=,即A(3,3),B.
故|AB|=.
專題作業(yè)
1.(2017·天津高考)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,離心率為.已
6、知A是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為.
(1)求橢圓的方程和拋物線的方程;
(2)設(shè)l上兩點(diǎn)P,Q關(guān)于x軸對(duì)稱,直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(點(diǎn)B異于點(diǎn)A),直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若△APD的面積為,求直線AP的方程.
解 (1)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-c,0).
依題意,得=,=a,a-c=,
解得a=1,c=,p=2,進(jìn)而得b2=a2-c2=.
所以橢圓的方程為x2+=1,
拋物線的方程為y2=4x.
(2)設(shè)直線AP的方程為x=my+1(m≠0),與直線l的方程x=-1聯(lián)立,可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為,
故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.
將x=my+1與x2+=1聯(lián)立
7、,消去x,
整理,得(3m2+4)y2+6my=0,
解得y=0或y=.
由點(diǎn)B異于點(diǎn)A,可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為
.
由點(diǎn)Q的坐標(biāo)為,
可得直線BQ的方程為
(x+1)-=0,
令y=0,解得x=,
故點(diǎn)D的坐標(biāo)為.
所以|AD|=1-=.
又因?yàn)椤鰽PD的面積為,
所以··=,
整理,得3m2-2|m|+2=0,
解得|m|=,所以m=±.
所以直線AP的方程為
3x+y-3=0或3x-y-3=0.
2.(2019·北京高考)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過點(diǎn)A(0,1).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)O為原點(diǎn),直線l:y=kx
8、+t(t≠±1)與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P,Q,直線AP與x軸交于點(diǎn)M,直線AQ與x軸交于點(diǎn)N.若|OM|·|ON|=2,求證:直線l經(jīng)過定點(diǎn).
解 (1)由題意,得b2=1,c=1,所以a2=b2+c2=2.
所以橢圓C的方程為+y2=1.
(2)證明:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
則直線AP的方程為y=x+1.
令y=0,得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)xM=-.
又y1=kx1+t,從而|OM|=|xM|=.
同理,|ON|=.
由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,
則x1+x2=-,x1x2=.
所以|OM|·|ON|=·
=
=
=2.
又|OM|·|
9、ON|=2,所以2=2.
解得t=0,所以直線l經(jīng)過定點(diǎn)(0,0).
3.(2019·唐山市高三一模)已知橢圓Γ:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2,B為直線l:x=-3上的動(dòng)點(diǎn),M(m,0),AM⊥BM.當(dāng)AB⊥l時(shí),M與F重合.
(1)求橢圓Γ的方程;
(2)若直線BM交橢圓Γ于P,Q兩點(diǎn),若AP⊥AQ,求m的值.
解 (1)依題意,得A(0,b),F(xiàn)(-c,0),a=,當(dāng)AB⊥l時(shí),B(-3,b),由AF⊥BF,得kAF·kBF=·=-1,又b2+c2=6.解得c=2,b=.所以,橢圓Γ的方程為+=1.
(2)由(1),得A(0,),依題意,顯然m≠0,
10、所以kAM=-,又AM⊥BM,所以kBM=,所以直線BM的方程為y=(x-m),設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2).將y=(x-m)與+=1聯(lián)立,得(2+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0,所以x1+x2=,x1x2=.
|PM|·|QM|=|(x1-m)(x2-m)|=·|x1x2-m(x1+x2)+m2|=·=,|AM|2=2+m2,由AP⊥AQ,得|AM|2=|PM|·|QM|,所以=1,解得m=±1.
4.(2019·四川診斷)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F(-2,0),上頂點(diǎn)B(0,2).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線y=x+m與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M,N,且線段MN的中點(diǎn)G在圓x2+y2=1上,求m的值.
解 (1)由題意可得c=2,b=2,
由a2=b2+c2得a2=22+22=8,
故橢圓C的方程為+=1.
(2)設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),
線段MN的中點(diǎn)G(x0,y0),
由消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,
則Δ=96-8m2>0,所以-2