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1、中檔題保分練(一)
1.(2018·海淀區(qū)模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=,2Sn=Sn-1+1(n≥2,n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)記bn=an(n∈N*),求{}的前n項和Tn.
解析:(1)當n=2時,由2Sn=Sn-1+1及a1=,得2S2=S1+1,即2a1+2a2=a1+1,解得a2=.又由2Sn=Sn-1+1,① 可知2Sn+1=Sn+1,②
②-①得2an+1=an,即an+1=an(n≥2),且n=1時,=適合上式,
因此數(shù)列{an}是以為首項,公比為的等比數(shù)列,故an=(n∈N*).
(2)由(1)及bn=an(n∈N*
2、) ,可知bn=logn=n,
所以==-,
故Tn=++…+==1-=.
2.(2018·濱州模擬)在如圖所示的幾何體ABCDEF中,底面ABCD為菱形,AB=2a,∠ABC=120?,AC與BD相交于O點,四邊形BDEF為直角梯形,DE∥BF,BD⊥DE,DE=2BF=2a,平面BDEF⊥底面ABCD.
(1)證明:平面AEF⊥平面AFC;
(2)求二面角E-AC-F的余弦值.
解析:(1)證明:因為底面ABCD為菱形,所以AC⊥BD,
又平面BDEF⊥底面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,
因此AC⊥平面BDEF,從而AC⊥EF.又BD⊥DE,所以DE⊥平面
3、ABCD,
由AB=2a,DE=2BF=2a,∠ABC=120?,
可知AF==a,BD=2a,
EF==a,AE==2a,
從而AF2+EF2=AE2,故EF⊥AF.
又AF∩AC=A,所以EF⊥平面AFC.
又EF?平面AEF,所以平面AEF⊥平面AFC.
(2)取EF中點G,由題可知OG∥DE,所以OG⊥平面ABCD,又在菱形ABCD中,OA⊥OB,所以分別以,,的方向為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系O-xyz(如圖所示),
則 O(0,0,0),A(a,0,0),C(-a,0,0),E(0,-a,2a),F(xiàn)(0,a,a),
所以=(0,-a,2a)-(a,0,0
4、)=(-a,-a,2a),=(-a,0,0)-(a,0,0)=(-2a,0,0),=(0,a,a)-(0,-a,2a)=(0,2a,-a).
由(1)可知EF⊥平面AFC,所以平面AFC的法向量可取為=(0,2a,-a).
設平面AEC的法向量為n=(x,y,z),
則即
即令z=,得y=4,
所以n=(0,4,).
從而cos〈n,〉===.
故所求的二面角E-AC-F的余弦值為.
3.(2018·綿陽模擬)某校為緩解高三學生的高考壓力,經(jīng)常舉行一些心理素質(zhì)綜合能力訓練活動,經(jīng)過一段時間的訓練后從該年級800名學生中隨機抽取100名學生進行測試,并將其成績分為A、B、C、
5、D、E五個等級,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖所示(視頻率為概率),根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),回答下列問題:
(1)試估算該校高三年級學生獲得成績?yōu)锽的人數(shù);
(2)若等級A、B、C、D、E分別對應100分、90分、80分、70分、60分,學校要求平均分達 90分以上為“考前心理穩(wěn)定整體過關”,請問該校高三年級目前學生的“考前心理穩(wěn)定整體”是否過關?
(3)為了解心理健康狀態(tài)穩(wěn)定學生的特點,現(xiàn)從A、B兩種級別中,用分層抽樣的方法抽取11個學生樣本,再從中任意選取3個學生樣本分析,求這3個樣本為A級的個數(shù)ξ的分布列與數(shù)學期望.
解析:(1)從條形圖中可知這100人中,有56名學生成績等級為B,
所以可以
6、估計該校學生獲得成績等級為B的概率為=,
則該校高三年級學生獲得成績?yōu)锽的人數(shù)約有800×=448.
(2)這100名學生成績的平均分為×(32×100+56×90+7×80+3×70+2×60)=91.3,
因為91.3>90,所以該校高三年級目前學生的“考前心理穩(wěn)定整體”已過關.
(3)由題可知用分層抽樣的方法抽取11個學生樣本,其中A級4個,B級7個,從而任意選取3個,這3個為A級的個數(shù)ξ的可能值為0,1,2,3.
則P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==.
因此可得ξ的分布列為:
ξ
0
1
2
3
P
則
7、E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.
4.請在下面兩題中任選一題作答
(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)在直角坐標系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù),a>0),在以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2:ρ=4sin θ .
(1)試將曲線C1與C2化為直角坐標系xOy中的普通方程,并指出兩曲線有公共點時a的取值范圍;
(2)當a=3時,兩曲線相交于A,B兩點,求|AB|.
解析:(1)曲線C1:,消去參數(shù)t可得普通方程為(x-3)2+(y-2)2=a2.
曲線C2:ρ=4sin θ,兩邊同乘ρ.可得普通方程為x2+(y-2)2=4.
把(y-2)2=4-x2代入
8、曲線C1的普通方程得:a2=(x-3)2+4-x2=13-6x,
而對C2有x2≤x2+(y-2)2=4,即-2≤x≤2,所以1≤a2≤25.故當兩曲線有公共點時,a的取值范圍為[1,5].
(2)當a=3時,曲線C1:(x-3)2+(y-2)2=9,
兩曲線交點A,B所在直線方程為x=.
曲線x2+(y-2)2=4的圓心到直線x=的距離為d=,
所以|AB|=2=.
(選修4-5:不等式選講)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|x+1|.
(1)在下面給出的直角坐標系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象,并由圖象找出滿足不等式f(x)≤3的解集;
(2)若函數(shù)y=f(x)的最小值記為m,設a,b∈R,且有a2+b2=m,試證明:+≥.
解析:(1)因為f(x)=|2x-1|+|x+1|=
所以作出圖象如圖所示,并從圖可知滿足不等式f(x)≤3的解集為[-1,1].
(2)證明:由圖可知函數(shù)y=f(x)的最小值為,即m=.所以a2+b2=,從而a2+1+b2+1=,
從而+=[(a2+1)+(b2+1)]=≥=.
當且僅當=時,等號成立,
即a2=,b2=時,有最小值,
所以+≥得證.
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