2020屆高考數(shù)學一輪總復習 第九單元 解析幾何 第70講 圓錐曲線的綜合應用（三）練習 理（含解析）新人教A版

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1、第70講　圓錐曲線的綜合應用(三) (與直線、圓及其他知識的交匯與綜合) 1．(經(jīng)典真題)設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N. (1)若直線MN的斜率為，求C的離心率； (2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b. (1)根據(jù)c＝及題設知M(c，)， 因為＝，所以2b2＝3ac，將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac， 得2c2＋3ac－2a2＝0，解得＝或＝－2(舍去)． 故C的離心率為. (2)由題意，原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸， 所以直線MF1

2、與y軸的交點D(0,2) 是線段MF1的中點，故＝4，即b2＝4a，① 由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 設N(x1，y1)，由題意知y1<0，則 即 代入C的方程，得＋＝1. 將①及c＝代入②得＋＝1， 解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2. 2．(2018·天津卷·文)設橢圓＋＝1(a>b>0)的右頂點為A，上頂點為B，已知橢圓的離心率為，|AB|＝. (1)求橢圓的方程． (2)設直線l：y＝kx(k＜0)與橢圓交于P，Q兩點，l與直線AB交于點M，且點P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值． (1)設橢

3、圓的焦距為2c， 由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b. 又|AB|＝＝，從而a＝3，b＝2. 所以，橢圓的方程為＋＝1. (2)設點P的坐標為(x1，y1)，點M的坐標為(x2，y2)，由題意知，x2>x1>0，點Q的坐標為(－x1，－y1)． 由△BPM的面積是△BPQ面積的2倍， 可得|PM|＝2|PQ|，從而x2－x1＝2[x1－(－x1)]， 即x2＝5x1. 易知直線AB的方程為2x＋3y＝6， 由方程組消去y，可得x2＝. 由方程組消去y，可得x1＝. 由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，兩邊平方，整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－，或

4、k＝－. 當k＝－時，x2＝－9<0，不合題意，舍去； 當k＝－時，x2＝12，x1＝，符合題意． 所以，k的值為－. 3．(2018·福建省高三質(zhì)量檢測)在平面直角坐標系xOy中，點F的坐標為(0，)，以MF為直徑的圓與x軸相切． (1)求點M的軌跡E的方程； (2)設T是軌跡E上橫坐標為2的點，OT的平行線l交E于A，B兩點，交E在T處的切線于點N，求證：|NT|2＝|NA|·|NB|. (1)(方法1)設點M的坐標為(x，y)，因為F(0，)， 所以MF的中點坐標為(，)， 因為以MF為直徑的圓與x軸相切， 所以＝，即|MF|＝， 所以＝，化簡得x2＝2y， 所

5、以點M的軌跡方程為x2＝2y. (方法2)以點MF為直徑的圓的圓心為點C，與x軸的切點為D， 連接CD，則CD⊥x軸，且|MF|＝2|CD|. 作直線l′：y＝－，過點M作MH⊥l′于點H，交x軸于點I， 則|CD|＝，所以|MF|＝|MI|＋|OF|， 又|IH|＝|OF|＝，所以|MF|＝|MH|， 所以點M的軌跡是以F為焦點，l′為準線的拋物線， 所以M的軌跡E的方程為x2＝2y. (2)因為T是軌跡E上橫坐標為2的點， 由(1)得T(2，2)，所以直線OT的斜率為1， 因為l∥OT，所以l的方程為y＝x＋m(m≠0)． 由y＝x2，得y′＝x，則E在點T處的切線斜

6、率為2. 所以E在T處的切線的方程為y＝2x－2， 由得所以N(m＋2，2m＋2)， 所以|NT|2＝[(m＋2)－2]2＋[(2m＋2)－2]2＝5m2. 由消去y，得x2－2x－2m＝0， 由Δ＝4＋8m>0，得m>－且m≠0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2，x1x2＝－2m， 因為點N，A，B在直線l上， 所以|NA|＝|x1－(m＋2)|，|NB|＝|x2－(m＋2)|， 所以|NA|·|NB|＝2|x1－(m＋2)|·|x2－(m＋2)| ＝2|x1x2－(m＋2)(x1＋x2)＋(m＋2)2| ＝2|－2m－2(m＋2)＋(m＋2)2

7、|＝2m2， 所以|NT|2＝|NA|·|NB|. 4．(2018·全國卷Ⅲ)已知斜率為k的直線l與橢圓C：＋＝1交于A，B兩點，線段AB的中點為M(1，m)(m＞0)． (1)證明：k＜－； (2)設F為C的右焦點，P為C上一點，且＋＋＝0.證明：||，||，||成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差． (1)設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＋＝1，＋＝1. 兩式相減，并由＝k得＋·k＝0. 由題設知＝1，＝m，于是k＝－.① 由題設得0＜m＜，故k＜－. (2)由題意得F(1，0)．設P(x3，y3)，則 (x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝

8、(0，0)． 由(1)及題設得x3＝3－(x1＋x2)＝1， y3＝－(y1＋y2)＝－2m＜0. 又點P在C上，所以m＝，從而P(1，－)， ||＝， 于是||＝ ＝ ＝2－. 同理||＝2－. 所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3. 故2||＝||＋||，即||，||，||成等差數(shù)列． 設該數(shù)列的公差為d，則 2|d|＝|||－|||＝|x1－x2| ＝.② 將m＝代入①得k＝－1， 所以l的方程為y＝－x＋，代入C的方程，并整理得 7x2－14x＋＝0. 故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝. 所以該數(shù)列的公差為或－. 5