2020版高考數(shù)學一輪復習 課后限時集訓62 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布 理（含解析）新人教A版

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1、課后限時集訓(六十二)　離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布 (建議用時：60分鐘) A組　基礎達標 一、選擇題 1．(2019·孝感模擬)已知袋中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從中隨機取出3個球，其中取出1個白球計1分，取出1個紅球計2分，記X為取出3個球的總分值，則E(X)＝(　　) A.　　B.　　C．4　　D. B　[由題意知，X的所有可能取值為3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.] 2．已知某批零件的長度誤差ξ(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(　　

2、) (附：正態(tài)分布N(μ，σ2)中，P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 4) A．0.045 6 B．0.135 9 C．0.271 8 D．0.317 4 B　[因為P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4， 所以P(3＜ξ＜6)＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，故選B.] 3．已知隨機變量ξ的分布列為 ξ －1 0 1 2 P x y 若E(ξ)＝，則D(ξ)＝(　　) A．1 B. C. D．2 B　[∵E(ξ)＝，∴由隨機變量ξ的分

3、布列知，∴則D(ξ)＝2×＋2×＋2×＋2×＝.] 4．已知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測的次數(shù)為ξ，則E(ξ)＝(　　) A．3 B. C. D．4 B　[ξ的可能取值為2,3,4，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，則E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝，故選B.] 5．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每名學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設某學生每次發(fā)球成功的概率為p(0＜p＜1)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學期望E(X)＞1.75，則p的取值范圍是(　　) A. B. C. D.

4、C　[由已知條件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，則E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜.由p∈(0,1)，可得p∈.] 二、填空題 6．設X為隨機變量，X～B，若隨機變量X的均值E(X)＝2，則P(X＝2)等于________． 　[由X～B，E(X)＝2，得 np＝n＝2，∴n＝6， 則P(X＝2)＝C24＝.] 7．(2019·?？谀M)某超市經(jīng)營的某種包裝優(yōu)質(zhì)東北大米的質(zhì)量X(單位：kg)服從正態(tài)分布N(25,0.22)，任意選取一袋這種大米，質(zhì)量在2

5、4.8～25.4 kg的概率為________．(附：若Z～N(μ，σ2)，則P(|Z－μ|＜σ)＝0.682 6，P(|Z－μ|＜2σ)＝0.954 4，P(|Z－μ|＜3σ)＝0.997 4) 0．818 5　[∵X～N(25,0.22)，∴μ＝25，σ＝0.2. ∴P(24.8≤X≤25.4)＝P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝×(0.682 6＋0.954 4)＝0.341 3＋0.477 2＝0.818 5.] 8．口袋中有5只球，編號為1,2,3,4,5，從中任意取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則E(X)＝________. 4．5　[X的取值為3,4,5. 又P(X＝3

6、)＝＝，P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝. 所以隨機變量X的分布列為 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 ∴E(X)＝3×0.1＋4×0.3＋5×0.6＝4.5.] 三、解答題 9．(2019·武漢模擬)某市高中某學科競賽中，某區(qū)4 000名考生的競賽成績的頻率分布直方圖如圖所示． (1)求這4 000名考生的平均成績(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表)； (2)認為考生競賽成績z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2分別取考生的平均成績和考生成績的方差s2，那么該區(qū)4 000名考生成績超過84.81分(含84.81分)的人數(shù)大約為多少？ (

7、3)如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計全市參賽考生成績的情況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機抽取4名考生，記成績不超過84.81分的考生人數(shù)為ξ，求P(ξ≤3)．(精確到0.001) 附：①s2＝204.75，≈14.31； ②Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.954 4； ③0.841 34≈0.501. [解]　(1)由題意知： 中間值 45 55 65 75 85 95 概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 ∴＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋8

8、5×0.15＋95×0.1＝70.5(分)， ∴這4 000名考生的平均成績?yōu)?0.5分． (2)由題知Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ＝＝70.5， σ2＝204.75，σ≈14.31， ∴Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，即N(70.5,14.312)． 而P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝P(56.19＜Z＜84.81)＝0.682 6， ∴P(Z≥84.81)＝＝0.158 7. ∴競賽成績超過84.81分的人數(shù)大約為0.158 7×4 000＝634.8≈635. (3)全市參賽考生成績不超過84.81分的概率為1－0.158 7＝0.841 3. 而ξ～B(4,0.841

9、 3)， ∴P(ξ≤3)＝1－P(ξ＝4)＝1－C×0.841 34≈1－0.501＝0.499. 10．(2019·遼寧五校聯(lián)考)某商場銷售某種品牌的空調(diào)，每周周初購進一定數(shù)量的空調(diào)，商場每銷售一臺空調(diào)可獲利500元，若供大于求，則多余的每臺空調(diào)需交保管費100元；若供不應求，則可從其他商店調(diào)劑供應，此時每臺空調(diào)僅獲利潤200元． (1)若該商場周初購進20臺空調(diào)，求當周的利潤(單位：元)關于當周需求量n(單位：臺，n∈N)的函數(shù)解析式f(n)； (2)該商場記錄了去年夏天(共10周)空調(diào)需求量n(單位：臺)，整理得下表： 周需求量n 18 19 20 21 22 頻數(shù)

10、 1 2 3 3 1 以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，若商場周初購進20臺空調(diào)，X表示當周的利潤(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學期望． [解]　(1)當n≥20時，f(n)＝500×20＋200×(n－20)＝200n＋6 000； 當n≤19時，f(n)＝500×n－100×(20－n)＝600n－2 000， ∴f(n)＝(n∈N)． (2)由(1)得f(18)＝8 800，f(19)＝9 400， f(20)＝10 000，f(21)＝10 200，f(22)＝10 400， ∴P(X＝8 800)＝0.1，P(X＝9 400)＝0.2，P(X

11、＝10 000)＝0.3，P(X＝10 200)＝0.3，P(X＝10 400)＝0.1， X的分布列為 X 8 800 9 400 10 000 10 200 10 400 P 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1 ∴E(X)＝8 800×0.1＋9 400×0.2＋10 000×0.3＋10 200×0.3＋10 400×0.1＝9 860. B組　能力提升 1．(2019·西安質(zhì)檢)已知隨機變量ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 P a b c 其中a，b，c成等差數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點的概率為(　　) A

12、. B. C. D. B　[由題意知a，b，c∈[0,1]，且解得b＝，又函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一個零點，故對于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝.] 2．(2019·杭州模擬)已知0＜a＜，隨機變量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a －a 當a增大時，(　　) A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 B．E(ξ)減小，D(ξ)增大 C．E(ξ)增大，D(ξ)減小 D．E(ξ)減小，D(ξ)減小 B　[由題意得，E(ξ)＝－a＋，D(ξ)＝2×a＋2＋2×＝－a2＋2a＋， 又∵0＜a＜，∴當a增大時

13、，E(ξ)減小，D(ξ)增大．] 3．2018年高考前第二次適應性訓練結(jié)束后，某校對全市的英語成績進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)英語成績的頻率分布直方圖形狀與正態(tài)分布N(95,82)的密度曲線非常擬合．據(jù)此估計：在全市隨機抽取的4名高三同學中，恰有2名同學的英語成績超過95分的概率是________． 　[由題意可知每名學生的英語成績ξ～N(95,82)， ∴P(ξ＞95)＝，故所求概率P＝C4＝.] 4．某市為了調(diào)查學校“陽光體育活動”在高三年級的實施情況，從本市某校高三男生中隨機抽取一個班的男生進行投擲實心鉛球(重3 kg)測試，成績在6.9米以上的為合格．把所得數(shù)據(jù)進行整理后，分成5組畫出頻率分

14、布直方圖的一部分(如圖所示)，已知成績在[9.9,11.4)的頻數(shù)是4. (1)求這次鉛球測試成績合格的人數(shù)； (2)若從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機抽取兩名，記ξ表示兩人中成績不合格的人數(shù)，利用樣本估計總體，求ξ的分布列、均值與方差． [解]　(1)由頻率分布直方圖，知成績在[9.9,11.4)的頻率為1－(0.05＋0.22＋0.30＋0.03)×1.5＝0.1. 因為成績在[9.9,11.4)的頻數(shù)是4，故抽取的總?cè)藬?shù)為＝40. 又成績在6.9米以上的為合格，所以這次鉛球測試成績合格的人數(shù)為40－0.05×1.5×40＝37. (2)ξ的所有可能取值為0,1,2，利用樣本估計總體，從今年該市高中畢業(yè)男生中隨機抽取一名成績合格的概率為，成績不合格的概率為1－＝，可判斷ξ～B. P(ξ＝0)＝C×2＝， P(ξ＝1)＝C××＝， P(ξ＝2)＝C×2＝， 故所求分布列為 X 0 1 2 P ξ的均值為E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝， ξ的方差為D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝. - 6 -