2020版高考數(shù)學新設計大一輪復習 第三章 導數(shù)及其表示 第1節(jié) 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算習題 理（含解析）新人教A版

《2020版高考數(shù)學新設計大一輪復習 第三章 導數(shù)及其表示 第1節(jié) 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算習題 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學新設計大一輪復習 第三章 導數(shù)及其表示 第1節(jié) 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算習題 理（含解析）新人教A版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1節(jié)　變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算 最新考綱　1.了解導數(shù)概念的實際背景；2.通過函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義；3.能根據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)y＝c(c為常數(shù))，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的導數(shù)；4.能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單復合函數(shù)(僅限于形如y＝f(ax＋b)的復合函數(shù))的導數(shù). 知 識 梳 理 1.函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù) (1)定義：稱函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 ＝ 為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝. (2)幾何意義：函數(shù)f(x)

2、在點x0處的導數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處的切線的斜率.相應地，切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0). 2.函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù) 如果函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點處都有導數(shù)，其導數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，函數(shù)f′(x)＝ 稱為函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間內(nèi)的導函數(shù). 3.基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 基本初等函數(shù) 導函數(shù) f(x)＝c(c為常數(shù)) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－si

3、n__x f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝ax(a＞0) f′(x)＝axln__a f(x)＝ln x f′(x)＝ f(x)＝logax(a＞0，a≠1) f′(x)＝ 4.導數(shù)的運算法則 若f′(x)，g′(x)存在，則有： (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝(g(x)≠0). 5.復合函數(shù)的導數(shù) 復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′. [微點提醒] 1.f′(x0)代表

4、函數(shù)f(x)在x＝x0處的導數(shù)值；(f(x0))′是函數(shù)值f(x0)的導數(shù)，且(f(x0))′＝0. 2.′＝－. 3.曲線的切線與曲線的公共點的個數(shù)不一定只有一個，而直線與二次曲線相切只有一個公共點. 4.函數(shù)y＝f(x)的導數(shù)f′(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f′(x)|反映了變化的快慢，|f′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”. 基 礎 自 測 1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率.(　　) (2)函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導數(shù)f′(x)＝c

5、os x.(　　) (3)求f′(x0)時，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　　) (4)曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點.(　　) 解析　(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率，(1)錯. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，則f′(x)＝－cos x，(2)錯. (3)求f′(x0)時，應先求f′(x)，再代入求值，(3)錯. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(選修2－2P19B2改編)曲線y＝x3＋11在點P(1，12)處的切線與y軸交點的縱坐標是(　　) A.－9 B.－3 C.9 D.15 解

6、析　因為y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲線y＝x3＋11在點P(1，12)處的切線方程為y－12＝3(x－1).令x＝0，得y＝9. 答案　C 3.(選修2－2P3例題改編)在高臺跳水運動中，t s時運動員相對于水面的高度(單位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，則運動員的速度v＝________ m/s，加速度a＝______ m/s2. 解析　v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8. 答案?。?.8t＋6.5　－9.8 4.(2019·保定質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝x(2 018＋ln x)，若f′(x0)＝2 0

7、19，則x0等于(　　) A.e2 B.1 C.ln 2 D.e 解析　f′(x)＝2 018＋ln x＋x×＝2 019＋ln x. 由f′(x0)＝2 019，得2 019＋ln x0＝2 019，則ln x0＝0，解得x0＝1. 答案　B 5.(2018·天津卷)已知函數(shù)f(x)＝exln x，f′(x)為f(x)的導函數(shù)，則f′(1)的值為________. 解析　由題意得f′(x)＝exln x＋ex·，則f′(1)＝e. 答案　e 6.(2017·全國Ⅰ卷)曲線y＝x2＋在點(1，2)處的切線方程為________. 解析　設y＝f(x)，則f′(x)

8、＝2x－， 所以f′(1)＝2－1＝1， 所以在(1，2)處的切線方程為y－2＝1×(x－1)， 即y＝x＋1. 答案　y＝x＋1 考點一　導數(shù)的運算　多維探究 角度1　根據(jù)求導法則求函數(shù)的導數(shù) 【例1－1】 分別求下列函數(shù)的導數(shù)： (1)y＝exln x； (2)y＝x； (3)f(x)＝ln . 解　(1)y′＝(ex)′ln x＋ex(ln x)′＝exln x＋＝ex. (2)因為y＝x3＋1＋，所以y′＝3x2－. (3)因為y＝ln ＝ln， 所以y′＝··(1＋2x)′＝. 角度2　抽象函數(shù)的導數(shù)計算 【例1－2】 (2019·福州聯(lián)考)已知函

9、數(shù)f(x)的導函數(shù)是f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋ln ，則f(1)＝(　　) A.－e B.2 C.－2 D.e 解析　由已知得f′(x)＝2f′(1)－，令x＝1得f′(1)＝2f′(1)－1，解得f′(1)＝1，則f(1)＝2f′(1)＝2. 答案　B 規(guī)律方法　1.求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)分割成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導. 2.復合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元. 3.抽象函數(shù)求導，恰當賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解. 【訓練1】 (1)若y＝x－cos sin ，則y′＝________. (2)已知

10、f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________. 解析　(1)因為y＝x－sin x， 所以y′＝′＝x′－′＝1－cos x. (2)∵f′(x)＝2x＋2f′(1)， ∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2. ∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4. 答案　(1)1－cos x　(2)－4 考點二　導數(shù)的幾何意義　多維探究 角度1　求切線方程 【例2－1】 (2018·全國Ⅰ卷)設函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線方程為(　　) A.y＝－2x B.y＝－x C.

11、y＝2x D.y＝x 解析　因為函數(shù)f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax為奇函數(shù)，所以a－1＝0，則a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲線y＝f(x)在點(0，0)處的切線方程為y＝x. 答案　D 角度2　求切點坐標 【例2－2】 (1)(2019·鄭州月考)已知曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為(　　) A.3 B.2 C.1 D. (2)設曲線y＝ex在點(0，1)處的切線與曲線y＝(x>0)上點P處的切線垂直，則P的坐標為________. 解析　(1)設切點的橫坐標為x0(x0>0)，

12、 ∵曲線y＝－3ln x的一條切線的斜率為， ∴y′＝－，即－＝， 解得x0＝3或x0＝－2(舍去，不符合題意)，即切點的橫坐標為3. (2)∵函數(shù)y＝ex的導函數(shù)為y′＝ex， ∴曲線y＝ex在點(0，1)處的切線的斜率k1＝e0＝1. 設P(x0，y0)(x0>0)，∵函數(shù)y＝的導函數(shù)為y′＝－，∴曲線y＝(x>0)在點P處的切線的斜率k2＝－， 由題意知k1k2＝－1，即1·＝－1，解得x＝1，又x0>0，∴x0＝1. 又∵點P在曲線y＝(x>0)上，∴y0＝1，故點P的坐標為(1，1). 答案　(1)A　(2)(1，1) 角度3　求參數(shù)的值或取值范圍 【例2－3】

13、(1)函數(shù)f(x)＝ln x＋ax的圖象存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞) (2)(2019·東北三省四校聯(lián)考)已知曲線f(x)＝x＋＋b(x≠0)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝2x＋5，則a－b＝________. 解析　(1)由題意知f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解. ∴f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，則a＝2－. 因為x＞0，所以2－＜2，所以a的取值范圍是(－∞，2). (2)f′(x)＝1－，∴f′(1)＝1－a， 又f(1)＝1＋a

14、＋b，∴曲線在(1，f(1))處的切線方程為y－(1＋a＋b)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋2a＋b， 根據(jù)題意有解得 ∴a－b＝－1－7＝－8. 答案　(1)B　(2)－8 規(guī)律方法　1.求切線方程時，注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求過某點的切線方程，需先設出切點坐標，再依據(jù)已知點在切線上求解. 2.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①切點處的導數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上. 【訓練2

15、】 (1)(2018·東莞二調(diào))設函數(shù)f(x)＝x3＋ax2，若曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為x＋y＝0，則點P的坐標為(　　) A.(0，0) B.(1，－1) C.(－1，1) D.(1，－1)或(－1，1) (2)(2018·全國Ⅱ卷)曲線y＝2ln(x＋1)在點(0，0)處的切線方程為________________. 解析　(1)由f(x)＝x3＋ax2，得f′(x)＝3x2＋2ax. 根據(jù)題意可得f′(x0)＝－1，f(x0)＝－x0， 可列方程組 解得或 當x0＝1時，f(x0)＝－1， 當x0＝－1時，f(x0)＝1.

16、∴點P的坐標為(1，－1)或(－1，1). (2)由題意得y′＝.在點(0，0)處切線斜率k＝y(tǒng)′|x＝0＝2.∴曲線y＝2ln(x＋1)在點(0，0)處的切線方程為y－0＝2(x－0)，即y＝2x. 答案　(1)D　(2)y＝2x [思維升華] 1.對于函數(shù)求導，一般要遵循先化簡再求導的基本原則.求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用，在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤.對于復合函數(shù)求導，關(guān)鍵在于分清復合關(guān)系，適當選取中間變量，然后“由外及內(nèi)”逐層求導. 2.求曲線的切線方程要注意分清已知點是否是切點.若已知點是切點，

17、則可通過點斜式直接寫方程，若已知點不是切點，則需設出切點. 3.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題時，一般利用曲線、切線、切點的三個關(guān)系列方程求解. [易錯防范] 1.求導常見易錯點：①公式(xn)′＝nxn－1與(ax)′＝axln a相互混淆；②公式中“＋”“－”號記混，如出現(xiàn)如下錯誤：′＝，(cos x)′＝sin x；③復合函數(shù)求導分不清內(nèi)、外層函數(shù). 2.求切線方程時，把“過點切線”問題誤認為“在點切線”問題. 基礎鞏固題組 (建議用時：35分鐘) 一、選擇題 1.下列求導數(shù)的運算中錯誤的是(　　) A.(3x)′＝3xln 3 　 B.(x2ln x)′＝2xln

18、x＋x C.′＝ 　 D.(sin x·cos x)′＝cos 2x 解析　因為′＝，C項錯誤. 答案　C 2.(2018·日照質(zhì)檢)已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，則x0等于(　　) A.e2 B.e C. D.ln 2 解析　f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e. 答案　B 3.函數(shù)y＝x3的圖象在原點處的切線方程為(　　) A.y＝x B.x＝0 C.y＝0 D.不存在 解析　函數(shù)y＝x3的導數(shù)為y′＝3x2，則在原點處的切線斜率為0，所以在原點處的切

19、線方程為y－0＝0(x－0)，即y＝0. 答案　C 4.一質(zhì)點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為s＝t3－3t2＋8t，那么速度為零的時刻是(　　) A.1秒末 B.1秒末和2秒末 C.4秒末 D.2秒末和4秒末 解析　s′(t)＝t2－6t＋8，由導數(shù)的定義知v＝s′(t)， 令s′(t)＝0，得t＝2或4， 即2秒末和4秒末的速度為零. 答案　D 5.(2019·合肥一模)函數(shù)f(x)＝x－g(x)的圖象在點x＝2處的切線方程是y＝－x－1，則g(2)＋g′(2)＝(　　) A.7 B.4 C.0 D.－4 解析　∵f(x)＝x－g(x

20、)，∴f′(x)＝1－g′(x)，又由題意知f(2)＝－3，f′(2)＝－1，∴g(2)＋g′(2)＝2－f(2)＋1－f′(2)＝7. 答案　A 6.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，曲線y＝aex＋x在點(1，ae＋1)處的切線與直線2ex－y－1＝0平行，則實數(shù)a＝(　　) A. B. C. D. 解析　∵y′＝aex＋1，∴在點(1，ae＋1)處的切線的斜率為y′|x＝1＝ae＋1，又切線與直線2ex－y－1＝0平行，∴ae＋1＝2e，解得a＝. 答案　B 7.如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導函數(shù)的圖象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是(　　)

21、 解析　由y＝f′(x)的圖象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞減的，說明函數(shù)y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)上也是單調(diào)遞減的，故可排除A，C； 又由圖象知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖象在x＝x0處相交，說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖象在x＝x0處的切線的斜率相同，故可排除B.故選D. 答案　D 8.(2019·廣州調(diào)研)已知直線y＝kx－2與曲線y＝xln x相切，則實數(shù)k的值為(　　) A.ln 2 B.1 C.1－ln 2 D.1＋ln 2 解析　由y＝xln x得y′＝ln x＋1，設切點為(x0，y0)，則k＝ln x0＋1，∵切點

22、(x0，y0)(x0>0)既在曲線y＝xln x上又在直線y＝kx－2上，∴∴kx0－2＝x0ln x0，∴k＝ln x0＋，則ln x0＋＝ln x0＋1，∴x0＝2，∴k＝ln 2＋1. 答案　D 二、填空題 9.已知曲線f(x)＝2x2＋1在點M(x0，f(x0))處的瞬時變化率為－8，則點M的坐標為________. 解析　由題意得f′(x)＝4x，令4x0＝－8，則x0＝－2， ∴f(x0)＝9，∴點M的坐標是(－2，9). 答案　(－2，9) 10.已知a∈R，設函數(shù)f(x)＝ax－ln x的圖象在點(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為________.

23、 解析　f(1)＝a，切點為(1，a).f′(x)＝a－，則切線的斜率為f′(1)＝a－1，切線方程為：y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0得出y＝1，故l在y軸上的截距為1. 答案　1 11.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x)，且滿足關(guān)系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，則f′(2)＝________. 解析　因為f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x， 所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋， 所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋＝3f′(2)＋， 所以f′(2)＝－. 答案?。? 12.已知函數(shù)y＝f(x)的圖象在點(2，f(2))處的切線方程為y＝2x－1，

24、則曲線g(x)＝x2＋f(x)在點(2，g(2))處的切線方程為________________. 解析　由題意，知f(2)＝2×2－1＝3，∴g(2)＝4＋3＝7， ∵g′(x)＝2x＋f′(x)，f′(2)＝2，∴g′(2)＝2×2＋2＝6， ∴曲線g(x)＝x2＋f(x)在點(2，g(2))處的切線方程為y－7＝6(x－2)，即6x－y－5＝0. 答案　6x－y－5＝0 能力提升題組 (建議用時：15分鐘) 13.(2018·深圳二模)設函數(shù)f(x)＝x＋＋b，若曲線y＝f(x)在點(a，f(a))處的切線經(jīng)過坐標原點，則ab＝(　　) A.1 B.0 C.－1

25、 D.－2 解析　由題意可得，f(a)＝a＋＋b，f′(x)＝1－，所以f′(a)＝1－，故切線方程是y－a－－b＝(x－a)，將(0，0)代入得－a－－b＝(－a)，故b＝－，故ab＝－2. 答案　D 14.(2019·西安一模)定義1：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導，即f′(x)存在，且導函數(shù)f′(x)在區(qū)間D上也可導，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導數(shù)，記作f″(x)＝[f′(x)]′. 定義2：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導數(shù)恒為正，即f″(x)>0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù).已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋1在區(qū)間D上為凹函數(shù)，則x的取值范圍是______

26、__. 解析　因為f(x)＝x3－x2＋1，因為f′(x)＝3x2－3x，f″(x)＝6x－3，令f″(x)>0，解得x>，故x的取值范圍是. 答案　 15.函數(shù)g(x)＝ln x圖象上一點P到直線y＝x的最短距離為________. 解析　設點(x0，ln x0)是曲線g(x)＝ln x的切線中與直線y＝x平行的直線的切點，因為g′(x)＝(ln x)′＝，則1＝，∴x0＝1，則切點坐標為(1，0)， ∴最短距離為(1，0)到直線y＝x的距離， 即為＝. 答案　 16.若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析　∵f(x)＝x2－ax＋ln x，定義域為(0，＋∞)， ∴f′(x)＝x－a＋. ∵f(x)存在垂直于y軸的切線，∴f′(x)存在零點， 即x＋－a＝0有解， ∴a＝x＋≥2(當且僅當x＝1時取等號). 答案　[2，＋∞) 12