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1、浙江省杭州市富陽區(qū)新登中學(xué)2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬試題一選擇題(共10小題,每小題4分,共40分)1雙曲線=1的漸近線方程為()Ay=By=xCy=xDy=x2在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱AB,BB1的中點(diǎn),則直線BC1與EF所成角的余弦值是()ABCD3已知a、b、c為三條不重合的直線,下面有三個(gè)結(jié)論:若ab,ac則bc;若ab,ac則bc;若ab,bc則ac其中正確的個(gè)數(shù)為()A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)4設(shè)點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為C的左、右焦點(diǎn),且F1PF2=60,則PF1F2的面積為()ABCD5.對于曲線:上的任意一點(diǎn)P,如果存在非負(fù)實(shí)
2、數(shù)M和m,使不等式恒成立為坐標(biāo)原點(diǎn),M的最小值為,m的最大值為,則的值是A. 3 B. 4 C. 5 D. 136已知直線 l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0,則“l(fā)1l2”是“a=1”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7已知點(diǎn)F為拋物線y 2=8x的焦點(diǎn),O為原點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動點(diǎn),點(diǎn)A在拋物線上,且|AF|=4,則|PA|+|PO|的最小值為()ABC6D4+28已知圓O為RtABC的外接圓,AB=AC,BC=4,過圓心O的直線l交圓O于P,Q兩點(diǎn),則的取值范圍是()A8,1B8,0C16,1D16,09已知三
3、棱錐DABC,記二面角CABD的平面角為,直線DA與平面ABC所成的角為,直線DA與BC所成的角為,則()A B C D10如圖,斜線段AB與平面所成的角為60,B為斜足,平面上的動點(diǎn)P滿足PAB30,則點(diǎn)P的軌跡是()A、直線 B、拋物線 C、橢圓 D、雙曲線的一支二填空題(共6小題,雙空每空3分,單空每空4分,共30分)11.直線的斜率為 ;傾斜角大小為_12.已知圓:, 則圓在點(diǎn)處的切線的方程是_;過點(diǎn)(2,2)的切線方程是 .13某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積為 cm3,該幾何體的表面積為 cm214已知m,n,s,tR+,m+n=2,其中m、n是常數(shù),當(dāng)s+
4、t取最小值時(shí),m、n對應(yīng)的點(diǎn)(m,n)是雙曲線一條弦的中點(diǎn),則此弦所在的直線方程為 15在平面直角坐標(biāo)系xoy中,雙曲線的左支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p0)交于M,N兩點(diǎn)若|MF|+|NF|=4|OF|,則該雙曲線的離心率為 16在三棱錐TABC中,TA,TB,TC兩兩垂直,T在底面ABC內(nèi)的正投影為D,下列命題:D一定是ABC的垂心;D一定是ABC的外心;ABC是銳角三角形 其中正確的是 (寫出所有正確的命題的序號)三、解答題(共4題,50分)17(滿分12分)已知拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),過F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),直線AO,BO分別與直線m:x=2相
5、交于M,N兩點(diǎn)()求拋物線C的方程;()證明ABO與MNO的面積之比為定值18.(滿分12分)如圖所示,四棱錐SABCD中,SA底面ABCD,ABC=90SA=2,,BC=1,ACD=60,E為CD的中點(diǎn)(1)求證:BC平面SAE;(2)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值19(滿分12分)如圖,在四棱錐PABCD中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱PB上,ADBC,ABAD,PA=PD=2,BC=AD=1,AB=,PC=(1)證明:平面CEF平面PAD;(2)設(shè)=k(0k1),且二面角PCEF的大小為30,求實(shí)數(shù)k的值20(滿分14分)對于曲線C上一點(diǎn)T,若在曲線C上存在異于T的兩點(diǎn),滿足|TM|
6、=|TN|,且TMTN,則稱點(diǎn)T為曲線C的“T點(diǎn)”,TMN是點(diǎn)T的一個(gè)“特征三角形”已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,1),A1,A2分別為橢圓G的左、右頂點(diǎn)( I)證明:BA1A2不是點(diǎn)B的“特征三角形”;( II)當(dāng)a=2時(shí),已知點(diǎn)A2是橢圓G的“T點(diǎn)”,且A2MN是點(diǎn)A2的“特征三角形”,求出點(diǎn)M,N的一組坐標(biāo);( III)試判斷點(diǎn)B是否為橢圓G的“T點(diǎn)”,若是,求出其“特征三角形”的個(gè)數(shù);若不是,請說明理由高二數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)卷答案一選擇題(共10小題,每小題4分,共40分)題號12345678910答案CBBACBADAC二填空題(共6小題,雙空每空3分,單空每空4分,共30分)11.; 12
7、.;x=2或y=213 , 14x2y+1=015 16 三、解答題(共4題,50分)17(滿分12分)已知拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0),過F的直線l交拋物線C于A,B兩點(diǎn),直線AO,BO分別與直線m:x=2相交于M,N兩點(diǎn)()求拋物線C的方程;()證明ABO與MNO的面積之比為定值【解答】解:()由焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)可知,p=2拋物線C的方程為y2=4x()當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),ABO與MNO相似,當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線AB方程為y=k(x1),設(shè)M(2,yM),N(2,yN),A(x1,y1),B(x2,y2),由 整理得 k2x2(4+2k2)x+k2=0,A
8、OB=MON,x1x2=1綜上 18.(滿分12分)如圖所示,四棱錐SABCD中,SA底面ABCD,ABC=90,BC=1,ACD=60,E為CD的中點(diǎn)(1)求證:BC平面SAE;(2)求直線SD與平面SBC所成角的正弦值【解答】證明:(1)因?yàn)?,BC=1,ABC=90,所以AC=2,BCA=60,在ACD中,AC=2,ACD=60,由余弦定理可得:AD2=AC2+CD22ACCDcosACD解得:CD=4所以AC2+AD2=CD2,所以ACD是直角三角形,又E為CD的中點(diǎn),所以又ACD=60,所以ACE為等邊三角形,所以CAE=60=BCA,所以BCAE,又AE平面SAE,BC平面SAE,所
9、以BC平面SAE(2)由(1)可知BAE=90,以點(diǎn)A為原點(diǎn),以AB,AE,AS所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則S(0,0,2),所以,設(shè)為平面SBC的法向量,則,即設(shè)x=1,則y=0,即平面SBC的一個(gè)法向量為,所以所以直線SD與平面SBC所成角的正弦值為19(滿分12分)如圖,在四棱錐PABCD中,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在棱PB上,ADBC,ABAD,PA=PD=2,BC=AD=1,AB=,PC=(1)證明:平面CEF平面PAD;(2)設(shè)=k(0k1),且二面角PCEF的大小為30,求實(shí)數(shù)k的值【解答】(1)證明:由PA=PD=2,點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),PAAD,ABCE是
10、矩形,ECAD,平面PAD平面ABCD=AD,PE平面PAD,ECPA平面ABCDEC平面ABCDPAECBC=AD=1,ADBC,ABAD,ECAD,AD平面PAD,平面CEF平面PAD(2)由(1)可得PAAD,ECAD,PAEC,以E為坐標(biāo)原點(diǎn),向量,的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方形建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyzE(0,0,0),P(0,0,),C(0,0),B(1,0),設(shè)F(x,y,z),則=(x,y,z),=(1,),可得:x=k,y=,z=,即F(k,),設(shè)平面CEF的法向量為(p,q,r),=(k,),=(k,),即,令r=,則q=0,p=,即(,0,),PCE的法向量為
11、=(1,0,0),二面角PCEF的大小為30,即cos30=|=|=,解得:k=,故得實(shí)數(shù)k的值為20(滿分14分)對于曲線C上一點(diǎn)T,若在曲線C上存在異于T的兩點(diǎn),滿足|TM|=|TN|,且TMTN,則稱點(diǎn)T為曲線C的“T點(diǎn)”,TMN是點(diǎn)T的一個(gè)“特征三角形”已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,1),A1,A2分別為橢圓G的左、右頂點(diǎn)( I)證明:BA1A2不是點(diǎn)B的“特征三角形”;( II)當(dāng)a=2時(shí),已知點(diǎn)A2是橢圓G的“T點(diǎn)”,且A2MN是點(diǎn)A2的“特征三角形”,求出點(diǎn)M,N的一組坐標(biāo);( III)試判斷點(diǎn)B是否為橢圓G的“T點(diǎn)”,若是,求出其“特征三角形”的個(gè)數(shù);若不是,請說明理由【解答】(
12、本小題滿分14分)解:( I) 證明:,因?yàn)閍1,所以,即A1B與A2B不垂直所以BA1A2不是點(diǎn)B的“特征三角形”(4分)( II)當(dāng)a=2時(shí),橢圓因?yàn)辄c(diǎn)A2是橢圓G的“T點(diǎn)”,且A2MN是點(diǎn)A2的一個(gè)“特征三角形”,不妨設(shè)M(m,n),N(m,n)(2m2)由題意得:解得或(舍)所以(或)(8分)(III)點(diǎn)B是橢圓G的“T點(diǎn)”不妨設(shè)點(diǎn)B的“特征三角形”為BPQ設(shè)直線BP的方程為y=kx+1(k0),則直線BQ的方程為,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0因?yàn)锽(0,1),所以所以=同理可得因?yàn)閨BP|=|BQ|,所以,即(k1)k2+(1a2)k+1=0(1)所以k=1或k2+(1a2)k+1=0(2)由(2)式可得=(1a2)24=(a2+1)(a23)當(dāng)時(shí),(2)式有兩個(gè)相等的正根1,所以(1)式有三個(gè)相等的正根為k=1;當(dāng)時(shí),(2)式有兩個(gè)不等于1 的正根,所以(1)式有三個(gè)不相等的正根;當(dāng)時(shí),(2)式無實(shí)根,所以(1)式只有一個(gè)正根為k=1綜上:當(dāng)時(shí),滿足條件的“特征三角形”有1個(gè)當(dāng)時(shí),滿足條件的“特征三角形”有3個(gè)(14分)