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1、專題5 數(shù)學歸納法 【三年高考】1【2015江蘇高考，23】 已知集合，令表示集合所含元素的個數(shù).（1）寫出的值；（2）當時，寫出的表達式，并用數(shù)學歸納法證明.【解析】（1）（2）當時，（）下面用數(shù)學歸納法證明：3）若，則，此時有，結(jié)論成立；4）若，則，此時有，結(jié)論成立；5）若，則，此時有，結(jié)論成立；6）若，則，此時有，結(jié)論成立綜上所述，結(jié)論對滿足的自然數(shù)均成立2. 【2014江蘇，理23】已知函數(shù)，設為的導數(shù)，（1）求的值；（2）證明：對任意，等式都成立.【答案】(1)；（2）證明見解析【解析】（1）由已知，所以，故.（1）時命題已經(jīng)成立，（2）假設時，命題成立，即，對此式兩邊求導可得，即，
2、因此時命題也成立.綜合（1）（2）等式對一切都成立.令，得，所以.3【2016山東文12】觀察下列等式：；照此規(guī)律，_【答案】 【解析】通過觀察這一系列等式可以發(fā)現(xiàn)，等式右邊最前面的數(shù)都是，接下來是和項數(shù)有關(guān)的兩項的乘積，經(jīng)歸納推理可知是，所以第個等式右邊是.4【2015高考山東，理11】觀察下列各式： 照此規(guī)律，當nN時， .【答案】 【2018年高考命題預測】縱觀近幾年各地高考試題，江蘇高考對數(shù)學歸納法的考查主要在方法的運用的考查其應用幾乎涉及數(shù)學的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢，該部分命題的方向主要會在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，在新的高考中都會涉及和滲透；預計
3、2018年高考也將會有題目用到推理證明的方法。推理與證明是數(shù)學的基礎(chǔ)思維過程，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式，推理一般包括合情推理與演繹推理，在解決問題的過程中，合情推理具有猜測結(jié)論和發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索和提供思路的作用，有利于創(chuàng)新意識的培養(yǎng)數(shù)學歸納法是將無窮的歸納過程，根據(jù)歸納原理轉(zhuǎn)化為有限的特殊（直接驗證和演繹推理相結(jié)合）的過程，要很好地掌握其原理并靈活運用復習建議：數(shù)學歸納法證明關(guān)鍵是解題的步驟，必須符合數(shù)學歸納法的要求，解決此類題目時要建立合理的解題思路； 【2018年高考考點定位】高考的考查：數(shù)學歸納法（理科附加）內(nèi)容，由于推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學的方方面面的知識，代
4、表研究性命題的發(fā)展趨勢，選擇題、填空題、解答題都可能涉及到，該部分命題的方向主要會在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面，因此數(shù)學歸納法的應用是方方面面的，在高考中會涉及和滲透，但不可能單獨出題，一般可能在附加綜合題中在涉及到無窮的過程時考查數(shù)學歸納法【考點1】數(shù)學歸納法【備考知識梳理】1. 一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法2數(shù)學歸納法：設是一個與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：證明起始命題(或)成立；在假設成立的前提下，推出也成立，那么可以斷定對一切正整數(shù)成立3. 用數(shù)學歸納法證明一個與正
5、整數(shù)有關(guān)的命題時，其步驟為：歸納奠基：證明當取第一個自然數(shù)時命題成立；歸納遞推：假設，(，)時，命題成立，證明當時，命題成立；由得出結(jié)論【規(guī)律方法技巧】1. 明確數(shù)學歸納法的兩步證明數(shù)學歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法，它們的表述嚴格而且規(guī)范，兩個步驟缺一不可第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，第二步中，歸納假設起著“已知條件”的作用，在nk1時一定要運用它，否則就不是數(shù)學歸納法第二步的關(guān)鍵是“一湊假設，二湊結(jié)論”2. 用數(shù)學歸納法證明等式應注意的問題(1)用數(shù)學歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，以及初始值的值(2)由到時
6、，除考慮等式兩邊變化的項外還要充分利用時的式子，即充分利用假設，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明弄清左端應增加的項，明確等式左端變形目標，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項、配方等簡言之：兩個步驟、一個結(jié)論；遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設要用到，結(jié)論寫明莫忘掉來3. 數(shù)學歸納法證明不等式的注意問題(1)當遇到與正整數(shù)有關(guān)的不等式證明時，應用其他辦法不容易證，則可考慮應用數(shù)學歸納法(2)用數(shù)學歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由成立，推證時也成立，證明時用上歸納假設后，可采用分析法、綜合法、作差(作商)比較法、放縮法等證明4. “歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學歸納法綜合應
7、用的解題模式其一般思路是：通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學歸納法證明這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應用其關(guān)鍵是觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律5. 使用數(shù)學歸納法需要注意的三個問題在使用數(shù)學歸納法時還要明確：(1)數(shù)學歸納法是一種完全歸納法，其中前兩步在推理中的作用是：第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，二者缺一不可；(2)在運用數(shù)學歸納法時，要注意起點，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清題目；(3)第二步證明的關(guān)鍵是要運用歸納假設，特別要弄清楚由到時命題變化的情況6. 數(shù)學歸納法常用于與正整數(shù)有關(guān)命題的證明可用數(shù)學歸納法
8、例如根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，通過觀察項與項數(shù)的關(guān)系，猜想出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學歸納法進行證明，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維模式；利用數(shù)學歸納法證明不等式時，要注意放縮法的應用，放縮的方向應朝著結(jié)論的方向進行，可通過變化分子或分母，通過裂項相消等方法達到證明的目的【考點針對訓練】1.用數(shù)學歸納法證明不等式“”時，由不等式成立，推證時，左邊應增加的項數(shù)是【答案】【解析】時，左邊為，增加了，共項2.設個正數(shù)滿足（且）（1）當時，證明：；（2）當時，不等式也成立，請你將其推廣到（且）個正數(shù)的情形，歸納出一般性的結(jié)論并用數(shù)學歸納法證明【解析】（1）證明：因為（且）均為正實數(shù)，左右=0，所
9、以，原不等式成立 （2）歸納的不等式為：（且）記，當（）時，由（1）知，不等式成立；假設當（且）時，不等式成立，即則當時，= = =，因為，所以，所以當，不等式成立綜上所述，不等式（且）成立 【兩年模擬詳解析】1. 【2016-2017學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（二）】已知，其中，.（1）試求，的值；（2）試猜測關(guān)于的表達式，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）， （2）【解析】解：（1） ； ； .（2）猜想：.而 ， ，所以.用數(shù)學歸納法證明結(jié)論成立.當時，所以結(jié)論成立.假設當時， .當時， （*） 由歸納假設知（*）式等于 .所以當時，結(jié)論也成立.綜合，成立.2. 【2017年第三次全
10、國大聯(lián)考江蘇卷】已知每一項都是正數(shù)的數(shù)列滿足，（1）用數(shù)學歸納法證明：；（2）記為數(shù)列的前項和，證明：【解析】（1）因為，當時，成立；（2）由（1）知，所以，同理由數(shù)學歸納法可證，猜測：，下證這個結(jié)論因為，所以與異號,即與同號注意到，知，即所以有，從而可知，所以，所以10分3. 【2017年高考原創(chuàng)押題預測卷03（江蘇卷）】設表示的整數(shù)部分（）求；（）求滿足的的值；（）求證：【解析】（）因為，所以；因為，所以；又因為，所以；-（2分）（）當時，設，則，所以，即，所以，共8個值；-（5分）（）用數(shù)學歸納法推證:當時，左邊等于；右邊等于，等式成立；-（7分）假設當時，等式也成立，即，那么當時，即成
11、立，也就是說當時等式也成立，根據(jù)可知對任何等式都成立-（10分）4. 【2017年高考原創(chuàng)押題預測卷01（江蘇卷）】（本小題滿分10分）設為虛數(shù)單位，為正整數(shù)，（1）用數(shù)學歸納法證明：；（2）已知，試利用（1）的結(jié)論計算.【答案】（1）詳見解析；（2）.【解析】（1）證明：當時，左邊=右邊=，命題成立；1分假設當時，命題成立，即，則當時， ；4分綜上，由和可得，6分（2），10分5. 【2017年高考原創(chuàng)押題預測卷02（江蘇卷）】已知數(shù)列的通項公式為.（）求的值；（）求證：對任意的自然數(shù)，不等式成立.【解析】（）將代入可得；-（2分） （）證明：由可得：，因此欲證明不等式成立，只需要證明當對一
12、切非零自然數(shù)不等式恒成立即可，- -（4分）顯然左端每個因式都為正數(shù)，因,故只需證明對每個非零自然數(shù)，不等式-（*）恒成立即可.-（5分）下用數(shù)學歸納法證明該不等式成立：（1）顯然當時，不等式（*）恒成立；-（6分）（2）假設當時不等式（*）也成立，即不等式成立，那么當時，即，注意到，所以，這說明當時，不等式不等式（*）也成立.-（9分）因此由數(shù)學歸納法可知：不等式（*）對一切非零自然數(shù)都成立；即恒成立，故欲證不等式對一切非零自然數(shù)都成立.-（10分）6. 【揚州市20162017學年度第一學期期末檢測】（本小題滿分10分）已知，其中 是關(guān)于的函數(shù).（1）若，求，的值；（2）若，求證：.【解析
13、】解：因為，所以，所以， -1分 所以. -3分因為，所以.當時，所以時結(jié)論成立. -4分假設時結(jié)論成立，即，則時，=，所以時，結(jié)論也成立. 綜合可知，. -10分7. 【2017南通揚州泰州蘇北四市高三二?！浚ū拘☆}滿分10分） 設有序數(shù)組經(jīng)m次變換后得到數(shù)組，其中，（1，2，n），例如：有序數(shù)組經(jīng)1次變換后得到數(shù)組，即；經(jīng)第2次變換后得到數(shù)組（1）若，求的值；（2）求證：，其中1，2，n（注：當時，1，2，n，則）解：（1）依題意，經(jīng)1次變換為：，經(jīng)2次變換為：，經(jīng)3次變換為：，所以 3分（2）下面用數(shù)學歸納法證明對，其中 （i）當時，其中，結(jié)論成立； （ii）假設時，其中 5分 則時，
14、，所以結(jié)論對時也成立由（i）（ii）知，其中 10分8. 【蘇錫常鎮(zhèn)四市2016屆高三教學情況調(diào)研（二）】設實數(shù)滿足，且且，令求證：【答案】詳見解析【解析】證明：（1）當時，即，即當時，結(jié)論成立 （2）假設當且時，結(jié)論成立，即當，且時，有則當時，由，且， 又，且，由假設可得， ，即當時，結(jié)論成立綜上，由（1）和（2）可知，結(jié)論成立9【江蘇省蘇中三市2016屆高三第二次調(diào)研測試】設（），其中（）當除以4的余數(shù)是（）時，數(shù)列的個數(shù)記為（1）當時，求的值；（2）求關(guān)于的表達式，并化簡【答案】（1）（2）試題解析：解：（1）當時，數(shù)列中有1個1或5個1，其余為0，所以3分（2）依題意，數(shù)列中有3個1，
15、或7個1，或11個1，或個1 ，其余為0，所以5分同理，得因為，所以又，所以10. 【2016屆山東省濰坊中學高三上學期開學】觀察下列等式 第一個式子 第二個式子 第三個式子 第四個式子照此規(guī)律下去（）寫出第5個等式；（）你能做出什么一般性的猜想？請用數(shù)學歸納法證明猜想 【答案】詳見解析【解析】（）第5個等式 ；（）猜測第個等式為，再用數(shù)學歸納法加以證明試題解析：（）第5個等式 （）猜測第個等式為 證明：（1）當時顯然成立；（2）假設時也成立，即有 那么當時左邊而右邊這就是說時等式也成立根據(jù)（1）（2）知，等式對任何都成立11求證：1(nN*)【答案】詳見解析【解析】證明：(1)當n1時，左邊
16、1，右邊.左邊右邊(2)假設nk時等式成立，即1，則當nk1時，.即當nk1時，等式也成立綜合(1)，(2)可知，對一切nN*，等式成立12設f(n)1(nN*)求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)【答案】詳見解析【解析】證明：(1)當n2時，左邊f(xié)(1)1，右邊21，左邊右邊，等式成立(2)假設nk(k2，kN*)時，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當nk1時，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當nk1時結(jié)論仍然成立由(1)(2)可知：f(1)f(
17、2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*) 【一年原創(chuàng)真預測】1用數(shù)學歸納法證明：1n(nN*)【答案】詳見解析【解析】證明：(1)當n1時，左邊，右邊11，等式成立【入選理由】本題考查用數(shù)學歸納法證明恒等式，（1）用數(shù)學歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項，以及初始值n0的值(2)由nk到nk1時，除考慮等式兩邊變化的項外還要充分利用nk時的式子，即充分利用假設，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明本題難度不大，主要鞏固數(shù)學歸納法的步驟，故選本題2數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*)(1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an；(2)用數(shù)學歸納法證明(1)中的猜想【答案】詳見解析【解析】(1)當n1時，a1S12a1，a11.當n2時，a1a2S222a2，a2.當n3時，a1a2a3S323a3，a3.當n4時，a1a2a3a4S424a4，a4.由此猜想an(nN*)(2)證明：當n1時，左邊a11，右邊1，左邊右邊，結(jié)論成立【入選理由】“歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學歸納法綜合應用的解題模式其一般思路是：通過觀察有限個特例，猜想出一般性的結(jié)論，然后用數(shù)學歸納法證明這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應用其關(guān)鍵是歸納、猜想出公式故選本題- 22 -
（江蘇專用）2018年高考數(shù)學總復習 必做05 數(shù)學歸納法試題（含解析）.doc
