中國石油大學(xué)隨機(jī)數(shù)據(jù)處理方法第三版答案.doc

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1、第一章 隨機(jī)事件與概率習(xí)題參考答案與提示 1 設(shè)為三個(gè)事件，試用表示下列事件，并指出其中哪兩個(gè)事件是互逆事件：（1）僅有一個(gè)事件發(fā)生； （2）至少有兩個(gè)事件發(fā)生；（3）三個(gè)事件都發(fā)生； （4）至多有兩個(gè)事件發(fā)生；（5）三個(gè)事件都不發(fā)生； （6）恰好兩個(gè)事件發(fā)生。 分析：依題意，即利用事件之間的運(yùn)算關(guān)系，將所給事件通過事件表示出來。 解：（1）僅有一個(gè)事件發(fā)生相當(dāng)于事件有一個(gè)發(fā)生，即可表示成；類似地其余事件可分別表為（2）或；（3）；（4）或；（5）；（6）或。 由上討論知，（3）與（4）所表示的事件是互逆的。2如果表示一個(gè)沿著數(shù)軸隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)位置，試說明下列事件的包含、互不相容等關(guān)系： 解：

2、（1）包含關(guān)系： 、 。（2）互不相容關(guān)系：與（也互逆）、與、與。3寫出下列隨機(jī)事件的樣本空間：（1） 將一枚硬幣擲三次，觀察出現(xiàn)（正面）和（反面）的情況；（2）連續(xù)擲三顆骰子，直到6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)停止, 記錄擲骰子的次數(shù)； （3）連續(xù)擲三顆骰子，記錄三顆骰子點(diǎn)數(shù)之和；（4）生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品時(shí)停止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總數(shù)。解：（1）；（2）； （3）；（4）。4設(shè)對于事件有, ，求至少出現(xiàn)一個(gè)的概率。 提示：至少出現(xiàn)一個(gè)的概率即為求，可應(yīng)用性質(zhì)4及性質(zhì)5得 5設(shè)、為隨機(jī)事件，求。 提示：欲求，由概率性質(zhì)3可先計(jì)算。 解：由于，且，從而 即 由概率性質(zhì)3得。6已知事件、滿足且，求。 解法一：由性質(zhì)

3、（5）知 = （性質(zhì)5） = （性質(zhì)3） = （對偶原理）= （已知條件） 解法二：由于 = =從而得，即 7一個(gè)袋中有5個(gè)紅球2個(gè)白球，從中任取一球，看過顏色后就放回袋中，然后再從袋中任取一球。求：（1）第一次和第二次都取到紅球的概率； （2）第一次取到紅球，第二次取到白球的概率。解：設(shè)表示：“第一次和第二次都取到紅球”； 表示：“第一次取到紅球，第二次取到白球“。 （1）由于()=，且()=，故 （2）由于()=，且()=，故 8一批產(chǎn)品有8個(gè)正品2個(gè)次品，從中任取兩次，每次取一個(gè)（不放回）。求：（1）兩次都取到正品的概率；（2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；（3）第二次取到次品的

4、概率；（4）恰有一次取到次品的概率。解：設(shè)表示：“第次取出的是次品”（=1，2），則所求概率依次化為、。由于無放回地從10個(gè)產(chǎn)品中任取兩次，每次取一個(gè)，第一次有10個(gè)可取，第二次有9個(gè)可取，因此(。（1）由于(87，所以 （2）(82，所以 或直接用乘法公式 （3）由于(21，(82，且，所以 ?；蛑苯佑贸朔ü?（4）由于互不相容， 。 9設(shè)有80件產(chǎn)品，其中有3件次品，從中任取5件檢查。求所取5件中至少有3件為正品的概率。解：設(shè)：“所取5件中至少有3件為正品”；則的對立事件為至多有2件為正品，即：“恰有2件為正品”（最多有3件次品）。因此 或： 。 10從5雙不同的鞋子中任取4只，求4只鞋

5、子至少有2只配成一雙的概率。 分析：直接求4只鞋子至少有2只配成一雙的概率不易得到正確的結(jié)果，這是由于所考慮事件比較復(fù)雜，解決此類問題的方法通常是利用概率性質(zhì)3，即先求逆事件的概率。該題的解法較多，現(xiàn)分述如下： 解：設(shè)事件表示：“取出的4只鞋子至少有2只配成一雙”，則事件表示：取出的4只鞋任意兩只均不能配成一雙”。方法一若取鞋子是一只一只地取（不放回），則共有取法10987種，而取出的4只鞋任意兩只均不能配成一雙的取法共有10864種，所以 方法二、從5雙不同的鞋子中任取4只，共有=210種取法。取出的4只鞋任意兩只均不能配成一雙共有=80種取法（先從5雙中任取4雙共種取法，然后從每雙鞋子中任

6、取一只，每雙鞋子有2種取法，故共有種取法）。所以 方法三、為了使取出的4只鞋子任意兩只均不能配成一雙，故可考慮4只鞋子中取左腳（只，右腳只（這只右腳只能從剩余的雙鞋子中任?。┢涔灿蟹N取法，故 方法四、（直接法）設(shè)事件表示：“取出的4只鞋子恰有雙配對”（=1，2），則，且。包含基本事件數(shù)為從5雙鞋子中任取一雙，同時(shí)在另外4雙鞋子中任取不能配對的兩只的不同取法共有種（）；包含基本事件數(shù)為從5雙鞋子中任取2雙，不同取法共有種。故 11假設(shè)每個(gè)人的生日在一年365天都是等可能的，那么隨機(jī)選取個(gè)人，求他們的生日各不相同的概率及這個(gè)人至少有兩個(gè)人生日在同一天的概率；若，求上述兩個(gè)事件的概率。 分析：此問題

7、屬于占位問題。 解：設(shè)表示事件：“個(gè)人的生日各不相同”；表示事件：“這個(gè)人至少有兩個(gè)人生日在同一天”。由于每個(gè)人的生日在一年365天都是等可能的，所以()=，()，從而。 由于事件是事件的對立事件，所以 若取，則 12某進(jìn)出口公司外銷員與外商約談，兩人相約某天8點(diǎn)到9點(diǎn)在預(yù)定地點(diǎn)會面，先到者要等候另一個(gè)人20分鐘，過時(shí)就離去，若每人在這指定的一個(gè)小時(shí)內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)是等可能的，求事件=兩人能會面的概率。 解：設(shè)分別表示兩人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn) 的時(shí)刻，那么兩人到達(dá)時(shí)間的可能結(jié)果 60 對應(yīng)邊長為60的正方形里所有點(diǎn)（見圖1-1）， 這個(gè)正方形就是樣本空間，而兩人能會面 的充要條件是，即且 ，所以，事件對

8、應(yīng)圖中陰影 圖1-1部分里的所有點(diǎn)。因此，所求概率為 13設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡，第一次落下時(shí)被打破的概率為3/10，第二次落下時(shí)被打破的概率為1/2，第三次落下時(shí)被打破的概率為9/10，試求透鏡落下三次未打破的概率。 分析：解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意，弄清概率1/2、9/10的具體含義。依題意“第二次落下時(shí)被打破的概率為1/2”指的是第一次落下未被打破的情況下，第二次落下時(shí)被打破的概率；概率9/10的含義類似。 解：設(shè)表示“第次落下時(shí)未被打破”，表示“落下三次未被打破”，則， 14由長期統(tǒng)計(jì)資料得知，某一地區(qū)在4月份下雨（記作事件）的概率為4/15，刮風(fēng)（記作事件）的概率為7/15，

9、刮風(fēng)又下雨（記作事件）的概率為1/10。求， ，。 解： .15設(shè)、為隨機(jī)事件，若，求：（1）；（2） 。 分析：該題主要是考查條件概率公式、乘法公式及概率性質(zhì)的應(yīng)用。解：（1）； （2）。 16一機(jī)床有1/3的時(shí)間加工零件，其余時(shí)間加工零件，加工零件時(shí)，停機(jī)的概率是3/10，加工零件時(shí)，停機(jī)的概率是4/10，求這臺機(jī)床停機(jī)的概率。分析：依題意，這是一全概率問題。解：設(shè)事件表示：“加工零件”；事件表示：“加工零件；事件表示：“機(jī)床停機(jī)”。 則由全概率公式得 17有兩個(gè)口袋，甲袋中盛有2個(gè)白球1個(gè)黑球；乙袋中盛有1個(gè)白球2個(gè)黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再從乙袋中取出一球，求取到白球的概率。 分

10、析：依題意，這是一全概率問題，因?yàn)閺囊掖腥〕鲆磺蚴前浊蛴袃蓚€(gè)前提，即由甲袋任取一球放入乙袋有兩種可能（由甲袋任取出的球可能是白球，也可能是黑球），并且也只有這兩種可能。因此若把這兩種可能看成兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件的和事件便構(gòu)成了一個(gè)必然事件。 解：設(shè)表示：“由甲袋取出的球是白球”；表示：“由甲袋取出的球是黑球”；表示：“從乙袋取出的球是白球”。則由全概率公式得 18設(shè)有一箱同類產(chǎn)品是由三家工廠生產(chǎn)的，其中是第一家工廠生產(chǎn)的，其余兩家各生產(chǎn)，又知第一、二家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有2%的次品，第三家工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品有4%的次品，現(xiàn)從箱中任取一只，求： （1）取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品，它是

11、第三家工廠生產(chǎn)的概率。 解：設(shè)事件表示：“取到的產(chǎn)品是次品”；事件表示：“取到的產(chǎn)品是第家工廠生產(chǎn)的”（）。則，且。（1）又由于兩兩互不相容，由全概率公式得 （2）由條件概率定義、乘法公式、全概率公式得 =。 19某專門化醫(yī)院平均接待K型病患者50%，L型病患者30%，M型病患者20%，而治愈率分別為7/10、8/10、9/10。今有一患者已治愈，問此患者是K型病的概率是多少？ 分析：依題意，這是一全概率公式及貝葉斯公式的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是找出一組兩兩互斥事件。 解：設(shè)事件表示：“一患者已治愈”；事件（）表示：“患者是K、L 、M型病的”。則，且，兩兩互斥，由全概率公式得 = 20三個(gè)

12、人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為1/5、1/3、1/4，求此密碼被譯出的概率。 解：設(shè)事件表示：“此密碼被譯出”；事件表示：“第個(gè)人破譯出密碼”（），則。 方法一、 方法二、由相互獨(dú)立知，也相互獨(dú)立，所以 。21若，證明事件相互獨(dú)立。 證明：由于，且，所以 從而有 故由定義1-4知，事件相互獨(dú)立。22一個(gè)系統(tǒng)由三個(gè)元件按圖所示方式連接而成，設(shè)每個(gè)元件能正常工作的概率（即元件的可靠性）均為 A；求系統(tǒng)的可靠性。（設(shè)三個(gè)元件能否正常工作是 C相互獨(dú)立的）。 B分析：此問題是考查事件間的關(guān)系及獨(dú)立性的應(yīng)用。解：設(shè)事件、分別表示如圖：“元件、正常工作”； 則問題化為求。23設(shè)事件與相互

13、獨(dú)立，已知，求，。 解： = 解得，；所以 。 24已知，求。 分析：由，因此轉(zhuǎn)化為計(jì)算概率及，而。 解：由條件概率公式知 又，所以 故。25隨機(jī)地向半圓（為正常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，若該點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率。 解：設(shè)事件：“表示擲的點(diǎn)和原點(diǎn)的連線與軸的夾角小于”；這是一個(gè)幾何概型的概率計(jì)算問題。由幾何概率公式（如圖） 而故 26設(shè)有來自三個(gè)地區(qū)的各10名、15名、25名考生的報(bào)名表，其中女生的報(bào)名表分別為3份、7份、5份。隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，從中先后抽出兩份，求：（1）先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求

14、先抽到的一份是女生表的概率。 分析：依題意，所有報(bào)名表來自三個(gè)地區(qū)，因此隨機(jī)地取一個(gè)地區(qū)的報(bào)名表，抽到各個(gè)地區(qū)的報(bào)名表的概率應(yīng)是相等的；若從中先后抽出兩份，則（1）可用全概率公式求得；（2）是一個(gè)條件概率。 解：設(shè)（表示“第次抽到的一份是女生表”； （表示“抽到的報(bào)名表來自第個(gè)地區(qū)”。 （1）) （2） 補(bǔ)充1（修訂版15）甲、乙、丙三商店分別有50、75、100名職工，女職工依此占50%、60%、70%。設(shè)所有職工受顧客表揚(yáng)是等可能的，與性別無關(guān)。現(xiàn)知一女職工受到顧客表揚(yáng)，問此人是丙商店職工的概率是多少？ 分析：依題意，這是一全概率公式及貝葉斯公式的應(yīng)用問題，解決問題的關(guān)鍵是找出一組兩兩互斥

15、事件。 解：設(shè)事件表示：“一女職工受到顧客表揚(yáng)”；事件（）分別表示：“此人是甲、乙、丙商店的職工”。則，且，兩兩互斥，由全概率公式得 = 。補(bǔ)充2（修訂版17）設(shè)A、B是一個(gè)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，假設(shè)，則取何值時(shí)可說明A和B是相互獨(dú)立的。分析：此問題是考查獨(dú)立性概念及加法公式。解：由概率性質(zhì)5及已知條件知 由獨(dú)立性定義及已知條件應(yīng)有 解得。故取0.5時(shí)可說明A和B是相互獨(dú)立的。補(bǔ)充3（修訂版18）已知在制造某一產(chǎn)品時(shí)，出現(xiàn)A類不合格的概率為0.1，出現(xiàn)B類不合格的概率為0.05（假定出現(xiàn)兩類不合格是相互獨(dú)立的）求下列事件的概率： （1）一件產(chǎn)品沒有兩類不合格；（2） 一件產(chǎn)品有不合格。分析：此問題

16、是考查事件間的關(guān)系。解：設(shè)事件表示：“出現(xiàn)A類不合格”； 事件表示：“出現(xiàn)類不合格”；則“一件產(chǎn)品沒有兩類不合格”相當(dāng)于“都不發(fā)生”，即（1）化為求；“一件產(chǎn)品有不合格” 相當(dāng)于“至少有一個(gè)發(fā)生”，即（2）化為求。故（1）（2）。補(bǔ)充4（修訂版21） 設(shè)事件與事件相互獨(dú)立，試證明：事件與事件，事件與事件，事件與事件也相互獨(dú)立。分析：欲證明相互獨(dú)立，只需證；證明：由于，所以 由事件獨(dú)立的定義知，事件與事件相互獨(dú)立。 同理可證，事件與事件相互獨(dú)立。 （3）由于 所以事件與事件相互獨(dú)立。第二章 隨機(jī)變量及其分布 1對某一目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中為止。如果每次射擊命中率為，求射擊次數(shù)的分布律。解：設(shè)表示

17、射擊次數(shù)，由題意知的可能取值為1，2，3，而 所以射擊次數(shù)的分布律為 1 2 3 2一批零件中有9個(gè)合格品與3個(gè)廢品，安裝時(shí)從這批零件中任取一個(gè)，如果每次取出的廢品不再放回，求在取得合格品以前取出的廢品數(shù)的分布律。分析：在取得合格品以前取出的廢品數(shù)是一隨機(jī)變量，要求其分布律，只需確定隨機(jī)變量的一切可能取值及相應(yīng)的概率即可。解：設(shè)表示在取得合格品以前取出的廢品數(shù)，由題意知的可能取值為0，1，2，3，而 （相當(dāng)于第一次取到的是合格品） （相當(dāng)于第二次才取到合格品） 所以，隨機(jī)變量的分布律為 0 1 2 3 3/4 9/44 9/220 1/220 3設(shè)隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 1/5 2

18、/5 3/10 1/10求：（1）的分布函數(shù)；（2）；（3）解：（1）由概率分布與分布函數(shù)的關(guān)系式 得的分布函數(shù) （2）； （3）。4已知的分布函數(shù)為。設(shè)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，求常數(shù)。 解：要使是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，由分布函數(shù)的性質(zhì)知，必有 =1 即，從而解得。 5將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求某杯中有球個(gè)數(shù)的分布律。 分析：某杯中有球個(gè)數(shù)只有4種可能：3個(gè)球都在該杯中；3個(gè)球中的兩個(gè)球放在該杯中；3個(gè)球中的一個(gè)球放入該杯中；3個(gè)球都不在該杯中。因此某杯中有球個(gè)數(shù)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能的取值為0，1，2，3。運(yùn)用第一章的有關(guān)知識可求出取相應(yīng)值的概率。若將每個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯

19、子中，它是否落入某杯中看作一次試驗(yàn)，則它是一貝努利試驗(yàn)。隨機(jī)地將3個(gè)球放入4個(gè)杯子中去，即是三重的貝努利試驗(yàn)，因此某杯中有球個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布。 解法一：設(shè)表示“某杯中有球個(gè)數(shù)”，則可能取值為：0，1，2，3。而將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去共有種放法，即3個(gè)球隨機(jī)地放入其它3個(gè)杯子中去，共有種放法，所以 同理得 故某杯中有球個(gè)數(shù)的概率分布列為 0 1 2 3 27/64 27/64 9/64 1/64 解法二：設(shè)表示“某杯中有球個(gè)數(shù)”，則服從，的二項(xiàng)分布，即，所以的分布律為 或表示為 0 1 2 3 27/64 27/64 9/64 1/64 6自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為，生產(chǎn)過程中

20、出現(xiàn)廢品時(shí)立即調(diào)整。求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品的分布律。解：設(shè)表示在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品的個(gè)數(shù)，由題意知的可能取值為0，1，2，3，而 所以的分布律為 0 1 2 7一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個(gè)信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號燈顯示的時(shí)間相等。以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口個(gè)數(shù)，求的概率分布和分布函數(shù)。 解：由題意知的一切可能取值為0，1，2，3。為計(jì)算方便設(shè)： 表示：“汽車在第個(gè)路口遇到紅燈”，則相互獨(dú)立，且由條件知。所以 ； 即的概率分布列為 0 1 2 3 1/2 1/4 1/8 1/8 的分布函數(shù)為 8 設(shè)隨機(jī)變量

21、的分布函數(shù)為 求：（1）系數(shù)A；（2）隨機(jī)變量落在區(qū)間（0.3，0.7）內(nèi)的概率； （3）隨機(jī)變量的概率密度。 分析：本題是已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)，由分布函數(shù)的性質(zhì)可求出系數(shù)A；再由概率密度函數(shù)性質(zhì)可求得（2）及（3）。解：（1）由分布函數(shù)的連續(xù)性性質(zhì)得，故分布函數(shù)為 （2）由概率密度函數(shù)性質(zhì)知，落在區(qū)間（0.3，0.7）內(nèi)的概率為 （3）由概率密度函數(shù)性質(zhì)知，所求概率密度為 9設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求：（1）系數(shù)；（2）落在區(qū)間內(nèi)的概率；（3）的分布函數(shù)。 分析：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度必須滿足歸一性，因此由歸一性及定義可求出系數(shù)及的分布函數(shù)，至于（2）可由的分布函數(shù)求得。 解：（1）由歸

22、一性， 解得。 （3）由連續(xù)型隨機(jī)變量的定義知的分布函數(shù)為 當(dāng)時(shí)，=0； 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，故的分布函數(shù)為 （2）所求概率為 10 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 求：（1），；（2）的概率密度。解：（1） （2）隨機(jī)變量的概率密度為 11 設(shè)隨機(jī)變量的分布密度 ，求分布函數(shù)。 解：當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 。故隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 12公共汽車站每隔5分鐘有一輛客車通過，乘客到達(dá)汽車站的任一時(shí)刻是等可能的。求乘客侯車時(shí)間不超過3分鐘的概率。解：設(shè)表示乘客侯車時(shí)間，則，乘客侯車時(shí)間不超過3分鐘的概率為 補(bǔ)充1（修訂版11）某城市每天耗電量不超過一百萬千瓦小時(shí)，13設(shè)隨機(jī)變量，求；。解： 14設(shè)

23、測量從某地到某目標(biāo)的距離時(shí)，帶有的隨機(jī)誤差具有分布密度 （1）求測量誤差的絕對值不超過30的概率；（2）如果接連測量三次，各次測量是相互獨(dú)立的，求至少有一次誤差的絕對值不超過30的概率。解：（1） （2）設(shè)表示3次獨(dú)立重復(fù)測量中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則服從二項(xiàng)分布，即,從而問題化為求。 15在電源電壓不超過200、和超過240伏三種情況下，某種電子元件塤壞的概率分別為0.1、0.001和0.2，假定電源電壓，試求：（1）該電子元件被塤壞的概率； （2）電子元件被塤壞時(shí)，電源電壓在伏內(nèi)的概率。 分析：電子元件被塤壞時(shí)，電源電壓只可能是不超過200、和超過240伏三種情況下之一，因此（1）屬于全概率問題

24、；（2）屬于條件概率問題。 解：設(shè)：“電源電壓不超過200伏”；：“電源電壓在伏”； ：“電源電壓超過240伏”； ：“電子元件被塤壞”。由于，所以 或 由題設(shè),，所以由全概率公式 由條件概率公式 16隨機(jī)向量的分布密度為 求（1）系數(shù)；（2）落在圓內(nèi)的概率。解：（1）由歸一性， 得。（2） 17只取下列數(shù)組中的值（0，0），（-1，1），（-1，1/3），（2，0），其相應(yīng)的概率依次為1/6，1/3，1/12，5/12，試列出的概率分布表，并求出關(guān)于的邊緣分布。解：的概率分布表為 -1 0 2 0 0 1/6 5/12 1/3 1/12 0 0 1 1/3 0 0關(guān)于的邊緣分布為 0 1/3

25、 1 7/12 1/12 1/3 18袋中裝有標(biāo)有號碼1，2，2的三只球，從袋中任取一球后不再放回，然后再從袋中任取一球，以、分別表示第一次、第二次取得球上的號碼。求和的聯(lián)合概率分布。解：的所有可能取值為(1，2)、(2，1)、(2，2)，由概率乘法公式得 此外是不可能事件，所以,于是（，）的概率分布表為 1 2 1 0 1/3 2 1/3 1/3 19設(shè)的概率密度為求：（1）常數(shù)；（2）關(guān)于的邊緣概率密度；（3）隨機(jī)變量與是否相互獨(dú)立，為什么？解：（1）由歸一性 解得 （2）所以 所以 （3）由于，故隨機(jī)變量與相互獨(dú)立。20設(shè)隨機(jī)向量（，）的分布函數(shù) 求：（1）系數(shù)、； （2）（，）的分布密

26、度； （3）邊緣分布密度。解：（1）由分布函數(shù)性質(zhì) （1） （2） （3）由（1）得，由（2）得，代入（3）得。故隨機(jī)向量（，）的分布函數(shù)為 （2）由分布函數(shù)性質(zhì)（4）知 （3） 21設(shè)二維隨機(jī)變量（，）的概率分布為 求隨機(jī)變量和的邊緣分布密度、。 分析：二維隨機(jī)變量（，）關(guān)于隨機(jī)變量和的邊緣概率密度，可應(yīng)用（2-10）式和（2-11）式求得。 解：（1）如圖2-4，由（2-10）式知，當(dāng)時(shí) = 其它情形均為零，故的邊緣概率密度為 1 = 圖2-4 同理，當(dāng)時(shí) = 其它情形均為零，故的邊緣分布密度為 22設(shè)的分布密度為 （1）求條件分布密度及；（2）判斷是否獨(dú)立。 分析：條件分布密度及，可由（

27、2-17）及（2-19）式求得，這就需先求關(guān)于、的邊緣概率分布。 解：（1）的非零取值區(qū)域如圖2-5陰影部分，由（2-10）式，當(dāng)時(shí)， =其它情況均為零，故關(guān)于的邊緣分布密度為 由（2-19）式知，當(dāng)時(shí)，的條件分布密度為 1 同理，由（2-11）式 圖2-5 =由（2-17）式，時(shí) 時(shí)， （2）不獨(dú)立，因?yàn)椤?3隨機(jī)向量（）在矩形區(qū)域，內(nèi)服從均勻分布。求（）的分布密度及邊緣分布密度，并判斷是否獨(dú)立。解：由題意知（）的分布密度為 當(dāng)， ，其它均為0，故（）關(guān)于的邊緣分布密度為 同理得（）關(guān)于的邊緣分布密度為 又由于，所以獨(dú)立。補(bǔ)充2（修訂版23）在習(xí)題22中，求及的條件分布密度。解：由上題獨(dú)立的

28、結(jié)論知，當(dāng)時(shí)，有 當(dāng)時(shí)，有 24設(shè)，求的分布密度。解： 25設(shè)的概率分布為 -2 -1 1 2 3/10 1/10 1/5 2/5求；（1）的概率分布；（2）的概率分布。解：（1）的概率分布為 3 6 3/10 7/10 （2）的概率分布為 -7 0 2 9 3/10 1/10 1/5 2/526設(shè)，求：（1）的分布密度；（2）的分布密度。解：（1）由，即解得，故，當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí)，所以的分布密度為 （2）由分布函數(shù)定義，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí) 所以的分布密度為 27. 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為是的分布函數(shù)。求隨機(jī)變量的分布函數(shù)。分析:先求出分布函數(shù)的具體形式，從而可確定 ,然后按定義求的分布函數(shù)即可。注意應(yīng)先確

29、定的值域范圍，再對分段討論.解: 易見，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，。對于，有 。設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù). 顯然，當(dāng)時(shí)，=0；當(dāng)時(shí)，=1. 對于，有 = =。于是，的分布函數(shù)為 注：事實(shí)上，本題為任意連續(xù)型隨機(jī)變量均可，此時(shí)仍服從均勻分布:當(dāng)時(shí)，=0;當(dāng) 時(shí)，=1;當(dāng) 0時(shí)， = =。28已知隨機(jī)變量且與相互獨(dú)立，設(shè)隨機(jī)變量，求的概率分布。 解：本題考查有關(guān)正態(tài)分布的性質(zhì)，由正態(tài)分布的性質(zhì)“若與相互獨(dú)立，且，則仍服從正態(tài)分布，即”，再由正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)也服從正態(tài)分布，即，故 29設(shè)與相互獨(dú)立，都服從0，2上的均勻分布，求。 分析：由條件知、的分布密度分別為 ， ，從而由獨(dú)立性得與的聯(lián)合概率分布為 所

30、以由概率分布的性質(zhì) 。30設(shè)和相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量(，)聯(lián)合分布律及關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律的部分值，試將其余數(shù)值填入表中的空白處。 1/81/81/61解：由聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系知；由和相互獨(dú)立性知，即；同理，依此得表中空白處的其它數(shù)值見下表： 1/241/81/121/41/83/81/43/41/61/21/3131設(shè)相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為 求的概率密度。解：當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，所以 或： 所以 32. 設(shè)的分布密度為 求：（1）關(guān)于的邊緣分布密度，并判斷是否獨(dú)立； （2）的概率分布。 分析：由于的分布密度中包含待定常數(shù)，故應(yīng)首先將其確定。解：由歸一性, 解得。（1）所以

31、關(guān)于的邊緣分布密度為 同理得關(guān)于的邊緣分布密度為 由于,故相互獨(dú)立。 （2）當(dāng)時(shí) ； 當(dāng)時(shí) 故的分布函數(shù)為 的概率分布為 33已知的概率分布 1 0 1 0 1 1/4 1/2 1/4 1/2 1/2而且。求：（1）隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布；（2）問和是否獨(dú)立？為什么？ 分析：隨機(jī)變量與的聯(lián)合分布即為隨機(jī)向量（，）的概率分布。由于和均為離散型隨機(jī)變量，所以（，）為離散型隨機(jī)向量，求其概率分布就是求（，）的所有可能取值及其相應(yīng)的概率。解：（1）依題意，(,)所有可能取值：(-1，0)，(0，0)，(1，0)，（-1，1），（0，1），（1，1），由。易得又由的概率分布與和的聯(lián)合概率分布間的關(guān)系知 因

32、此由歸一性（或由邊緣分布與聯(lián)合概率分布間的關(guān)系），必有 于是得和的聯(lián)合概率分布表如下： 0 1 -1 1/4 0 0 0 1/2 1 1/4 0（2）由聯(lián)合概率分布表得和的分布列分別為 -1 0 1 1/4 1/2 1/4 0 1 1/2 1/2 顯然，故和不獨(dú)立。34假設(shè)一電路裝有三個(gè)同種電子元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為0的指數(shù)分布，當(dāng)三個(gè)電子元件都無故障時(shí)電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作，試求電路正常工作的時(shí)間的概率分布。 分析：電路正常工作的時(shí)間即三個(gè)電子元件無故障工作時(shí)間的最小值。 解：設(shè)表示“第個(gè)元件無故障時(shí)間”，且的分布為 而電路正常工作的時(shí)間，即

33、故電路正常工作的時(shí)間服從指數(shù)分布，其概率分布為。35設(shè)和的聯(lián)合分布是正方形上的均勻分布，試求隨機(jī)變量的概率密度。解：由條件知和的聯(lián)合概率密度為 32 1 1 2 3 以表示隨機(jī)變量的分布函數(shù)。顯然，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)，。設(shè)時(shí)，則 圖2-6 于是，隨機(jī)變量的概率密度為 36設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，其中的概率分布為 0 1 0.3 0.7而的概率密度為，求隨機(jī)變量的概率密度。分析：求二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，一般用分布函數(shù)法轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的概率. 注意只有兩個(gè)可能的取值，求概率時(shí)可用全概率公式進(jìn)行計(jì)算。解： 設(shè)是的分布函數(shù)，則由全概率公式，知的分布函數(shù)為 = =。由于和獨(dú)立，可見 =由此,得的概率密度 =注： 本

34、題屬新題型，求兩個(gè)隨機(jī)變量和的分布，其中一個(gè)是連續(xù)型一個(gè)是離散型，具有一定的難度和綜合性。第 三 章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 1設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為 3 0 1 5 0.1 0.2 0.3 0.4試求。解：。2已知隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 0.1 0.4 0.2求：（1）常數(shù) ；（2）數(shù)學(xué)期望；（3）方差。解：（1）由歸一性，；（2）；（3）由于；所以， 3 已知隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 0.3 0.5 求：（1）數(shù)學(xué)期望；（2）方差。解：（1）由歸一性，；設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列為 0 1 0.2 0.8 所以， ；又；所以， 4已知連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布為 求的數(shù)學(xué)期望。解：

35、5設(shè)隨機(jī)變量服從拉普拉斯分布，其分布密度為，（）。求的數(shù)學(xué)期望。分析：該題要求熟練掌握計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的公式。解：由數(shù)學(xué)期望的定義，有 令，則 =。6設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，求：（1）常數(shù)；（2）數(shù)學(xué)期望；（3）方差 。 解：（1）由歸一性， 從而得，； （2）=；（3）由于=； 于是 。7設(shè)的概率分布為 （）求、。解： 8設(shè)的概率分布為 求的數(shù)學(xué)期望和方差。分析：該題考察計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差的公式。解：由數(shù)學(xué)期望的定義，有，由是奇函數(shù)，故有，令，則有從而可得 。9設(shè)用A、B兩測量儀器測量某一產(chǎn)品的直徑多次，結(jié)果如下表：118 119 120 121 122 0.06

36、 0.14 0.60 0.15 0.05118 119 120 121 122 0.09 0.15 0.52 0.16 0.08試比較兩種儀器的優(yōu)劣。分析：由于題設(shè)中沒有給出所測產(chǎn)品直徑的真實(shí)值，故要比較兩種儀器的優(yōu)劣，就是要比較這兩種儀器哪個(gè)的測量精度更高一些，即要比較兩種儀器測量的方差哪個(gè)更小一些。解：由題設(shè)，得，。而 =1.104。 =0.6552。顯然有，可見A 儀器的測量誤差要比B儀器的測量誤差大，故B儀器要優(yōu)良些。10設(shè)的概率分布為 求：（1）的數(shù)學(xué)期望；（2）的數(shù)學(xué)期望。解： 11試證明事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)的方差不超過。分析：事件在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為，的二

37、項(xiàng)分布，當(dāng)然在一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)應(yīng)服從，即為(0-1)分布。證明：令顯然，其中表示每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率。則，。而，故有，即事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)的方差不超過。 12設(shè)的概率分布分別為 求：和。 分析：由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)知，要計(jì)算和，關(guān)鍵是計(jì)算、。 解：由于均服從指數(shù)分布，故知； =、，因此由數(shù)學(xué)期望性質(zhì)得 13設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率分布分別為 ； 求。 解： 14設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望，方差。試求：（1）的概率密度；（2）的概率密度。 解：由題意知，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，即，其概率密度為 由正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)仍服從正態(tài)分布知，隨機(jī)變量的分布應(yīng)為。又，所以，其概

38、率密度為 。15設(shè)隨機(jī)變量、，且相互獨(dú)立，求：（1）的期望和方差；（2）的期望和方差。分析：由兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性函數(shù)也服從正態(tài)分布即可得到相應(yīng)分布，進(jìn)而求得其期望和方差。解：（1）由、，且相互獨(dú)立知，從而得 （2）同樣由、，且相互獨(dú)立知，從而得 16設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，且已知，求。解： =1即，解得=1。17設(shè)二維隨機(jī)變量(，)的聯(lián)合概率分布律為 0 1 0 0.1 0.2 1 0.3 0.4求：（1），； （2）(，)的協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)，協(xié)方差陣，相關(guān)陣。 解：（1）關(guān)于和的邊緣分布律分別為 0 1 0 1 0.3 0.7 0.4 0.6所以 （2）； Cov 協(xié)方差陣

39、為 相關(guān)陣為 18設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求相關(guān)系數(shù)。 分析：欲求相關(guān)系數(shù)，需先求、Cov。 解： 同理得，進(jìn)而得 Cov 。 19設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量的方差分別為25及36，相關(guān)系數(shù)為0.4，求(及(。解：由方差的性質(zhì)知(20設(shè)與方差分別為4和1，協(xié)方差，求：（1）與的相關(guān)系數(shù)；（2）及。分析：與的相關(guān)系數(shù)可由相關(guān)系數(shù)的定義(3-16)式直接求得。及可由方差的性質(zhì)2、協(xié)方差的性質(zhì)及其關(guān)系求得。解：（1）由題設(shè)知，從而得由方差的性質(zhì)，協(xié)方差的性質(zhì)及其關(guān)系可知2Cov 21設(shè)表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，若每次命中目標(biāo)的概率為0.4，則的數(shù)學(xué)期望 。分析：由題意，由于，所以，而 故 22已知、分別服從正態(tài)分布和，且與的相關(guān)系數(shù)，設(shè)，求： （1）求數(shù)學(xué)期望，方差； （2）與的相關(guān)系數(shù)； 分析：本題要求熟悉數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差的性質(zhì)、計(jì)算及有關(guān)正態(tài)分布的性質(zhì)。 解：（1）由數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)及相關(guān)系數(shù)的定義得 2Cov () ； （2）由協(xié)方差的性質(zhì)3得 CovCovCovCov 從而有與的相關(guān)系數(shù) ；23設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為0.5,求。解： = =4+ 。24假設(shè)一部機(jī)器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)