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1、課后限時(shí)集訓(xùn)12
函數(shù)與方程
建議用時(shí):45分鐘
一、選擇題
1.設(shè)f(x)=ln x+x-2,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
B [∵f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2>0,
∴f(1)·f(2)<0,
∵函數(shù)f(x)=ln x+x-2的圖像是連續(xù)的,且為增函數(shù),
∴f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2).]
2.函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.3 B.2
C.7 D.0
B [法一:(直接法)由f(x)=0得
或
解得x=-2
2、或x=e.
因此函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn).
法二:(圖像法)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,由圖像知函數(shù)f(x)共有2個(gè)零點(diǎn).]
3.已知a是函數(shù)f(x)=2x-logx的零點(diǎn),若0<x0<a,則f(x0)的值滿足( )
A.f(x0)=0 B.f(x0)>0
C.f(x0)<0 D.f(x0)的符號(hào)不確定
C [f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
若0<x0<a,
則f(x0)<f(a)=0.]
4.已知函數(shù)f(x)=x-(x>0),g(x)=x+ex,h(x)=x+ln x的零點(diǎn)分別為x1,x2,x3,則( )
A.x1<x2<x3 B.x2<x1<x3
3、C.x2<x3<x1 D.x3<x1<x2
C [作出y=x與y1=,y2=-ex,y3=-ln x的圖像如圖所示,可知選C.
]
5.(2019·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)=則使方程x+f(x)=m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(1,2) B.(-∞,-2]
C.(-∞,1)∪(2,+∞) D.(-∞,1]∪[2,+∞)
D [當(dāng)x≤0時(shí),x+f(x)=m,即x+1=m,解得m≤1;當(dāng)x>0時(shí),x+f(x)=m,即x+=m,解得m≥2,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,1]∪[2,+∞).故選D.]
二、填空題
6.函數(shù)f(x)=ax+1-2a在區(qū)間(-1,1)
4、上存在一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
[∵函數(shù)f(x)的圖像為直線,
由題意可得f(-1)f(1)<0,
∴(-3a+1)·(1-a)<0,解得<a<1,
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.]
7.若函數(shù)f(x)=x2+ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)是-2和3,則不等式af(-2x)>0的解集是________.
[∵f(x)=x2+ax+b的兩個(gè)零點(diǎn)是-2,3.
∴-2,3是方程x2+ax+b=0的兩根,
由根與系數(shù)的關(guān)系知
∴
∴f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)>0,
即-(4x2+2x-6)>0?2x2+x-3<0,
解集為.]
8.(2019·漳州
5、模擬)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
[作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示.
當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=x2+x=2-≥-,若函數(shù)f(x)與y=m的圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn),則-<m≤0,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.]
三、解答題
9.已知函數(shù)f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
(1)求m的值.
(2)求函數(shù)的零點(diǎn).
[解] (1)因?yàn)閒(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即方程(2x)2+m·2x+1=0僅有一個(gè)實(shí)根.
設(shè)2x=t(t>0),則t2+mt+1=0.
當(dāng)Δ=0時(shí),即m2-4=0,
所以m=
6、±2,
當(dāng)m=-2時(shí),t=1;
當(dāng)m=2時(shí),t=-1(不合題意,舍去).
所以2x=1,x=0符合題意.
當(dāng)Δ>0時(shí),即m>2或m<-2,
t2+mt+1=0有兩正或兩負(fù)根,
即f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)或沒(méi)有零點(diǎn).
所以這種情況不符合題意.
綜上可知:當(dāng)m=-2時(shí),f(x)有唯一零點(diǎn).
(2)由(1)可知,該函數(shù)的零點(diǎn)為0.
10.設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0).
(1)作出函數(shù)f(x)的圖像;
(2)當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時(shí),求+的值;
(3)若方程f(x)=m有兩個(gè)不相等的正根,求m的取值范圍.
[解] (1)如圖所示.
(2)因?yàn)閒(x)==
故f(
7、x)在(0,1]上是減函數(shù),而在(1,+∞)上是增函數(shù).
由0<a<b且f(a)=f(b),得0<a<1<b,
且-1=1-,所以+=2.
(3)由函數(shù)f(x)的圖像可知,當(dāng)0<m<1時(shí),函數(shù)f(x)的圖像與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn),即方程f(x)=m有兩個(gè)不相等的正根.
1.若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,則函數(shù)y=f(x)-log3|x|的零點(diǎn)有( )
A.多于4個(gè) B.4個(gè)
C.3個(gè) D.2個(gè)
B [因?yàn)榕己瘮?shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),故函數(shù)的周期為2.當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)
8、=x,故當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=-x.函數(shù)y=f(x)-log3|x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=log3|x|的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù).在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=log3|x|的圖像,如圖所示.
顯然函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=log3|x|的圖像有4個(gè)交點(diǎn),故選B.]
2.已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí),函數(shù)y=(mx-1)2的圖像與y=+m的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn),則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
A.(0,1]∪[2,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)
C.(0,]∪[2,+∞) D.(0,]∪[3,+∞)
B [在同一直角
9、坐標(biāo)系中,分別作出函數(shù)f(x)=(mx-1)2=m22與g(x)=+m的大致圖像.分兩種情形:
(1)當(dāng)0<m≤1時(shí),≥1,如圖①,當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)與g(x)的圖像有一個(gè)交點(diǎn),符合題意.
① ?、?
(2)當(dāng)m>1時(shí),0<<1,如圖②,要使f(x)與g(x)的圖像在[0,1]上只有一個(gè)交點(diǎn),只需g(1)≤f(1),即1+m≤(m-1)2,解得m≥3或m≤0(舍去).
綜上所述,m∈(0,1]∪[3,+∞).故選B.]
3.已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)λ=________.
- [依
10、題意,方程f(2x2+1)+f(λ-x)=0只有1個(gè)解,故f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ)有1個(gè)解,
∴2x2+1=x-λ,即2x2-x+1+λ=0有唯一解,
故Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-.]
4.已知函數(shù)f(x)=-x2-2x,g(x)=
(1)求g(f(1))的值;
(2)若方程g(f(x))-a=0有4個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
[解] (1)利用解析式直接求解得g(f(1))=g(-3)=-3+1=-2.
(2)令f(x)=t,則原方程化為g(t)=a,易知方程f(x)=t在t∈(-∞,1)內(nèi)有2個(gè)不同的解,
則原方程有4個(gè)解等價(jià)于函數(shù)y=g
11、(t)(t<1)與y=a的圖像有2個(gè)不同的交點(diǎn),作出函數(shù)y=g(t)(t<1)的圖像(圖略),由圖像可知,當(dāng)1≤a<時(shí),函數(shù)y=g(t)(t<1)與y=a有2個(gè)不同的交點(diǎn),即所求a的取值范圍是.
1.已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.
[若關(guān)于x的方程f(x)=kx-恰有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則f(x)的圖像和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)f(x)的圖像,如圖,故點(diǎn)(1,0)在直線y=kx-的下方.所以k·1->0,解得k>.
當(dāng)直線y=kx-和y=ln x相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則k==,所以m=.此時(shí),k==,f(x)的圖像和直線y=kx-有3個(gè)交點(diǎn),不滿足條件,故要求的k的取值范圍是.]
2.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=f(x),且在區(qū)間[0,2]上f(x)=x,若關(guān)于x的方程f(x)=logax有三個(gè)不同的實(shí)根,求a的取值范圍.
[解] 由f(x-4)=f(x)知,函數(shù)的周期為4,又函數(shù)為偶函數(shù),所以f(x-4)=f(x)=f(4-x),
所以函數(shù)圖像關(guān)于x=2對(duì)稱,且f(2)=f(6)=f(10)=2,要使方程f(x)=logax有三個(gè)不同的根,則滿足
解得<a<,故a的取值范圍是(,).
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