2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺創(chuàng)新專題 題型1 選填題 練熟練穩(wěn) 少丟分 第1講 選填題的解法研究練習(xí) 文
《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺創(chuàng)新專題 題型1 選填題 練熟練穩(wěn) 少丟分 第1講 選填題的解法研究練習(xí) 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 沖刺創(chuàng)新專題 題型1 選填題 練熟練穩(wěn) 少丟分 第1講 選填題的解法研究練習(xí) 文(23頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1講 選填題的解法研究 一 選擇題、填空題在高考中的地位 選擇題、填空題在當(dāng)今數(shù)學(xué)高考(全國卷)中,題目數(shù)量多且占分比例高(選擇12題,填空4題,共16題,共計(jì)80分,其中選擇題60分,填空題20分,占全卷總分的53.3%). 二 選擇題、填空題難度及排序規(guī)律 就一套試卷而言,選擇題1~10題相對較簡單,考查知識點(diǎn)明顯,學(xué)生比較容易入手,11,12題對思維要求較高,重視對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查,學(xué)生需要綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想方法才能解決.填空題13~15題難度比較低,很常規(guī),主要考查基礎(chǔ)知識,解題思路清晰,16題難度相對較大,同樣重視對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.今年的高考題設(shè)置了組合型選擇題,為實(shí)現(xiàn)
2、設(shè)置多選題過渡,填空題出現(xiàn)了一題雙空,難度增加,思維量加大. 三 選擇題、填空題特點(diǎn)及考查功能 從解答形式上看,選擇題、填空題都不要過程,形式靈活,選擇題還有選項(xiàng)可以提供額外的信息;從考查知識點(diǎn)上看,選擇題、填空題都能在較大的知識范圍內(nèi),實(shí)現(xiàn)對基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法的考查;從運(yùn)算因素上看,選擇題、填空題都對運(yùn)算要求較低,呈現(xiàn)多想少算的特點(diǎn). 四 選擇題、填空題解答策略 選擇題、填空題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)決定了解答選擇題、填空題的方法,除常規(guī)方法外,還有一些特殊的方法.解答選擇題、填空題的基本原則是:“小題不大做”,要充分利用題目中(包括題干和選項(xiàng))提供的各種信息,排除干擾,利用矛盾
3、,作出正確的判斷. 數(shù)學(xué)選擇題的求解,一般有兩種思路:一是從題干出發(fā)考慮,探求結(jié)果;二是從題干和選項(xiàng)聯(lián)合考慮,或從選項(xiàng)出發(fā)探求是否滿足題干條件,由此得到做選擇題的幾種常用方法:直接法、排除法、構(gòu)造法、特例法、代入驗(yàn)證法、數(shù)形結(jié)合法等.填空題雖然沒有選項(xiàng)提供參考,但依然可以根據(jù)其特點(diǎn),考慮直接法、構(gòu)造法、特例法等. 五 選擇題、填空題答題禁忌 選擇題、填空題答題時(shí),一定要注意認(rèn)真審題,理解清楚題意后再作答.選擇題確定選項(xiàng)后,其余選項(xiàng)也應(yīng)該看一看,弄清楚它們錯(cuò)在哪里.不要一味圖快,還是要以保證正確率為主. 如果某題不太好解答,應(yīng)及時(shí)調(diào)整策略,去解答下一題.切忌在某一道題上花費(fèi)過多時(shí)間.
4、這樣很容易影響答題的心理狀態(tài),產(chǎn)生緊張、焦慮等負(fù)面情緒. 另外涂答題卡時(shí),要注意題號排列規(guī)律,不要出現(xiàn)答串行等低級失誤.選擇題要修改的話,一定要先把原有選項(xiàng)擦除干凈,再用2B鉛筆涂黑新選項(xiàng). 方法匯總 選填通用方法 一 直接法 直接法是指直接從題目條件出發(fā),利用已知的條件、相關(guān)概念、性質(zhì)、公式、公理、定理、法則等基礎(chǔ)知識,通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评怼?zhǔn)確的運(yùn)算、合理的驗(yàn)證,從而直接得出正確結(jié)論的解題方法.解答選擇題、填空題時(shí),此方法一般都會是考生最先考慮的方法,也是解題最常用的方法之一.但是此種方法并沒有充分利用選擇題、填空題的題型特點(diǎn),因此多用于解答一些比較容易的選、填題.
5、 題型一 (2018·全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為( ) A. B. C. D. 思維啟迪 首先利用正方體的棱是3組且每組有互相平行的4條棱,所以與12條棱所成的角相等,只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的3條棱所成的角相等即可,從而判斷出面的位置,截正方體所得的截面為一個(gè)正六邊形,且邊長是面的對角線的一半,應(yīng)用面積公式求得結(jié)果. 解析 根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的,所以在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1D1與線AA1,A
6、1B1,A1D1所成的角是相等的,所以平面AB1D1與正方體的每條棱所在的直線所成的角都是相等的,同理,平面C1BD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成的角都是相等的,要求截面面積最大,則截面的位置為夾在兩個(gè)面AB1D1與C1BD中間的,且過棱的中點(diǎn)的正六邊形,邊長為,所以其面積為S=6×××2=,故選A. 答案 A 該題考查的是有關(guān)正方體被平面所截得的截面多邊形的面積問題,首要任務(wù)是需要先確定截面的位置,之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼,從而得到其為過六條棱的中點(diǎn)的正六邊形,利用六邊形的面積的求法,應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.
7、 題型二 設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=10,a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為________. 思維啟迪 本題以數(shù)列為背景,綜合考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,冪的運(yùn)算性質(zhì),等比數(shù)列求和公式等多個(gè)知識點(diǎn).?dāng)?shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要模塊,對數(shù)列的考查,在歷年全國卷中都能見到.此類問題,多直接利用題目條件,結(jié)合數(shù)列的相關(guān)公式計(jì)算解決. 本題中首先根據(jù)題目的兩個(gè)條件,結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,可以列出方程,解出首項(xiàng)及公比,進(jìn)而可以將a1a2…an表示為關(guān)于n的函數(shù),利用函數(shù)的相關(guān)知識求解其最大值. 解析 解法一:由題可得兩式相除,解得q=,a1=8, 則an=n-
8、4,所以a1a2…an=-3×-2×…×n-4= 由于指數(shù)函數(shù)y=x單調(diào)遞減,因此當(dāng)最小時(shí), a1a2…an最大, 即n=3或n=4時(shí),a1a2…an有最大值26=64. 解法二:同解法一,解得an=n-4. 設(shè)bn=a1a2…an,由得解得3≤n≤4. 所以當(dāng)n=3或4時(shí),bn有最大值b3=b4=64. 答案 64 本題是根據(jù)題目條件,利用數(shù)列的相關(guān)公式,直接解決數(shù)列的最值問題.解法一是從數(shù)列是特殊函數(shù)這個(gè)角度予以求解的,解法二是利用數(shù)列本身的一些特性予以求解.這兩種都是直接解決數(shù)列最值問題的常用方法. 『針對訓(xùn)練』 1.(2019·河南鄭州一模)《張丘建算經(jīng)》卷上第
9、22題為:“今有女善織,日益功疾.初日織五尺,今一月織九匹三丈.”其意思為今有女子善織布,且從第2天起,每天比前一天多織相同量的布,若第一天織5尺布,現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì))共織390尺布.則該女最后一天織多少尺布?( ) A.18 B.20 C.21 D.25 答案 C 解析 由題意知該女每天所織布的尺數(shù)可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an},且a1=5,S30=390,設(shè)該女最后一天織布尺數(shù)為a30,則有=390,解得a30=21.故選C. 2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率為.過F1的直線l交C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長為16,那么C的
10、方程為________. 答案?。? 解析 設(shè)橢圓方程為+=1,由e=知=,故=.由于△ABF2的周長為|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16,故a=4. ∴b2=8.∴橢圓C的方程為+=1. 二 特例法 特例法的原理:如果結(jié)論對一般情況成立,那么對特殊情況一定也成立.因此解選擇、填空題時(shí),可以考慮對題目條件特殊化,用特殊化后的條件解出問題的答案.這種方法主要用來解決選擇和填空題中結(jié)論唯一或其值為“定值”的問題,常常取一個(gè)(或一些)特殊數(shù)值(或特殊位置,特殊函數(shù)、特殊點(diǎn)、特殊方程、特殊數(shù)列、特殊圖形等等)來確定其結(jié)果,從而
11、節(jié)省推理、論證、演算的過程,加快解題速度.特例法是解決選填題的一種很好用的方法.大多數(shù)時(shí)候,都能化繁為簡,快速找到問題的答案.但是,需要指出的是,特例法本身存在一定風(fēng)險(xiǎn),即如果某題答案不唯一,那么用特例法有可能漏解.此時(shí)最好多舉幾個(gè)特例驗(yàn)證.
題型一 已知函數(shù)f(x)=x+xln x,若k∈Z,且k(x-1)
12、為y=的最小值大于k;或者y=f(x)-k(x-1)的最小值大于0等,步驟繁瑣,運(yùn)算量較大;使用特例法更快捷,即原式對x>1恒成立,那么對類似x=2,3等這些特值也成立,從而可以縮小k的范圍.
解析 解法一:(直接法)設(shè)g(x)=x-ln x-2,可得g′(x)=1-=>0,故g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,而g(3)=1-ln 3<0,g(4)=2-ln 4>0,所以g(x)存在唯一一個(gè)零點(diǎn)x0∈(3,4),且當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),g(x)
13、x)同號,即x∈(1,x0)時(shí),h′(x)<0;x∈(x0,+∞)時(shí),h′(x)>0,所以h(x)在(1,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(x0)===x0.
故k
14、g(x)在(1,e)上單調(diào)遞減,在(e,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(e)=3-e>0,于是g(x)>0恒成立,即k=3滿足題意,故選B. 答案 B 解法一是直接法.計(jì)算量較大,對數(shù)學(xué)能力要求較高;解法二巧妙的利用x=2時(shí)的特殊情況,成功得到k=3.當(dāng)然,從嚴(yán)謹(jǐn)性的角度出發(fā),還需要檢驗(yàn)一下k=3是否成立.就算如此,其計(jì)算量、思維量也遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于直接法.解選擇、填空題,用好特例法往往能起到事半功倍的作用. 題型二 (2019·河北一模)已知F1,F(xiàn)2分別為雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn),M為△PF1F2的內(nèi)心,滿足S△MPF1=S△MP
15、F2+λS△MF1F2,若該雙曲線的離心率為3,則λ=________(注:S△MPF1,S△MPF2,S△MF1F2分別為△MPF1,△MPF2,△MF1F2的面積). 思維啟迪 本題以雙曲線為背景,綜合考查了雙曲線定義,三角形內(nèi)心的性質(zhì),三角形面積計(jì)算公式等多個(gè)知識點(diǎn),綜合性較強(qiáng).本題涉及雙曲線焦點(diǎn),一般需要考慮雙曲線定義,由于M是內(nèi)心,因此涉及的三個(gè)三角形如果分別以PF1,PF2,F(xiàn)1F2為底,則高相等,離心率提供了雙曲線a,b的關(guān)系.綜合利用這些條件,可以完成本題求解.另一方面,本題屬于結(jié)論為定值,且題干中未對雙曲線方程及P點(diǎn)位置作過多限制,因此可以考慮特例法,能更高效快捷地解答此題
16、. 解析 解法一:(直接法)設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓半徑為r, 由S△MPF1=S△MPF2+λS△MF1F2得: |PF1|·r=|PF2|·r+λ·|F1F2|·r, ∴|PF1|=|PF2|+λ|F1F2|,∴|PF1|-|PF2|=λ|F1F2|, ∵點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn),∴2a=λ·2c,∴λ=, ∵=3,∴λ=. 解法二:(特例法)設(shè)雙曲線為x2-=1,則F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),取P(3,8),如圖,則此時(shí)△PF1F2為直角三角形,由勾股定理得|PF1|=10;所以S△PMF1=5r,S△PMF2=4r,S△MF1F2=3r,易得λ=. 答案 解
17、法一是直接法.需要用雙曲線定義得到2a=2λc,對數(shù)學(xué)能力有一定要求;解法二巧妙的利用特殊雙曲線和特殊點(diǎn),能快捷的得出λ的值,思維量小于直接法.解選擇、填空題,用好特例法常常能化難為易. 『針對訓(xùn)練』 1.(2019·長春一模)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)M在雙曲線C:x2-y2=λ(λ為正常數(shù))上,過點(diǎn)M作雙曲線C的一條漸近線的垂線,垂足為N,則|ON|·|MN|的值為( ) A. B. C.λ D.無法確定 答案 B 解析 因?yàn)辄c(diǎn)M為雙曲線上任一點(diǎn),所以可取點(diǎn)M為雙曲線的右頂點(diǎn),由漸近線y=x知△OMN為等腰直角三角形,此時(shí)|OM
18、|=,|ON|=|MN|=,所以|ON|·|MN|=. 2.(2019·佛山調(diào)研)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,則△ABC的面積是________. 答案 解析 解法一:當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí),滿足題設(shè)條件, 則c=,C=且a=b=. ∴△ABC的面積S△ABC=absinC=. 解法二:∵c2=(a-b)2+6, ∴c2=a2+b2-2ab+6.① ∵C=,∴c2=a2+b2-2abcos=a2+b2-ab.② 由①②得-ab+6=0,即ab=6. ∴S△ABC=absinC=×6×=. 三 構(gòu)造法 構(gòu)造法
19、是指當(dāng)解決某些數(shù)學(xué)問題使用通常方法按照定向思維難以解決問題時(shí),應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì),從新的角度,用新的觀點(diǎn)去觀察、分析、理解對象,牢牢抓住反映問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,運(yùn)用問題的數(shù)據(jù)、形式、坐標(biāo)等特征,使用題中的已知條件為原材料,運(yùn)用已知數(shù)學(xué)關(guān)系式和理論為工具,在思維中構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對象,從而,使原問題中隱含的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對象中清晰地展現(xiàn)出來,并借助該數(shù)學(xué)對象方便快捷地解決數(shù)學(xué)問題. 題型一 (2019·惠州市高三第一次調(diào)研考試)已知函數(shù)y=f(x)對于任意的x∈滿足f
20、′(x)cosx+f(x)sinx=1+ln x(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),則下列不等式成立的是( )
A.f
21、,選B. 答案 B 本題解法即利用積商函數(shù)求導(dǎo)法則以及三角函數(shù)求導(dǎo)的特點(diǎn)構(gòu)造出函數(shù)g(x)=,然后利用其單調(diào)性比較大?。? 題型二 已知實(shí)數(shù)μ,ν,x,y滿足μ2+ν2=1,則z=μx+νy的最大值是________. 思維啟迪 本題中第一個(gè)方程可以聯(lián)想到圓或同角三角函數(shù)等,第二個(gè)不等式組可以轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域,而z從形式上看,可以看成直線方程或者向量的數(shù)量積等.根據(jù)形式上的特點(diǎn),可以考慮構(gòu)造直線、向量等解決本題.另外,本題也可以直接使用柯西不等式求解. 解析 解法一:(構(gòu)造向量數(shù)量積)設(shè)a=(μ,ν),
22、b=(x,y),則z=a·b=|a||b|cosθ≤|b|,結(jié)合圖象知,當(dāng)x=2,y=2時(shí), |b|max=2,因此zmax=2,此時(shí)a,b同向,即μ=ν=. 解法二:(柯西不等式)(μx+νy)2≤(μ2+ν2)(x2+y2)=x2+y2;又因?yàn)閯t結(jié)合圖形知當(dāng)x=2,y=2時(shí),=2,因此所求最大值為2,此時(shí)μ=ν=. 解法三:(構(gòu)造幾何圖形)z=μx+νy可以看作一條直線,原點(diǎn)到此直線的距離d==|z|,因此|z|的幾何意義是原點(diǎn)到此直線的距離,所以問題轉(zhuǎn)化為何時(shí)原點(diǎn)到直線z=μx+νy的距離最大,結(jié)合圖形知,當(dāng)直線過(2,2)點(diǎn),且斜率為-1時(shí),|z|最大,此時(shí)z=|z|=2
23、. 答案 2 解法一根據(jù)題目所求式子的形式,構(gòu)造向量的數(shù)量積,成功將問題簡化為兩個(gè)向量何時(shí)數(shù)量積最大,結(jié)合圖形,一目了然;如果學(xué)習(xí)過柯西不等式,那么解法二直接利用柯西不等式求解,也比較簡潔.解法三考慮到z的幾何意義,構(gòu)造幾何圖形解決問題.恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造,可以使原問題中隱含的關(guān)系、性質(zhì)等,清晰的展現(xiàn)出來,從而幫助我們簡潔的處理原問題. 『針對訓(xùn)練』 1.(2019·河北石家莊高三一模)已知函數(shù)f(x)=ax+eln x與g(x)=的圖象有三個(gè)不同的公共點(diǎn),其中e為自然對數(shù)的底數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ) A.a<-e B.a(chǎn)>1 C
24、.a<-3或a>1 D.a(chǎn)>e
答案 B
解析 (構(gòu)造方程)由f(x)=g(x)得e22+e(a-1)+1-a=0,令h(x)==t(x>0且x≠e),則
h′(x)=,令h′(x)=0,得x=e,
∴h(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減,又當(dāng)x→+∞時(shí),h(x)→0,作出函數(shù)h(x)的大致圖象,如圖所示.
e2t2+e(a-1)t+1-a=0,因?yàn)樵匠逃腥齻€(gè)解,故此方程兩根滿足0
25、式子成立的是( )
A.f(a)
26、數(shù)解形”就是有些問題直接從“形”上解決起來比較困難,這時(shí)就需要給圖形賦值,如邊長、角度等,借助代數(shù)方法研究并解決問題.“以形助數(shù)”就是有些“數(shù)”的問題直接解決比較困難,這時(shí)就需要結(jié)合代數(shù)式所表達(dá)的幾何意義,從“形”上予以解決.?dāng)?shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合,可以使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的. 題型一 已知a=>1,如果方程ax=logbx,bx=logax,bx=logbx的根
27、分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關(guān)系為( )
A.x3 28、b=,
答案 C
本題無論哪種方法,都必須繞開解方程.?dāng)?shù)形結(jié)合法巧妙的借助了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,簡潔明了的比較出了三個(gè)數(shù)的大?。诙N方法,直接從“數(shù)”的角度比較三者大小,綜合利用了指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,反證法等多種知識、方法.難度較大,而且沒有第一種方法直觀.
題型二 (2018·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系中,記d為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離,當(dāng)θ,m變化時(shí),d的最大值為________.
思維啟迪 本題考查點(diǎn)到直線的距離的最值問題,由于題目涉及兩個(gè)變量θ和m,因此難度較大.可以從代數(shù)角度,直接利用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算d,然后利用不等式 29、放縮等代數(shù)技巧求解d的最大值.也可以數(shù)形結(jié)合地分析問題,將問題轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到某直線的距離的最值問題.
解析 解法一:(直接法)
d==
≤ =1+≤3,
當(dāng)sin(θ+φ)=-1且m=0時(shí),取等號.
解法二:(數(shù)形結(jié)合)如圖,d=PM≤OP+ON≤OP+OA=3,當(dāng)A,N重合,且O,P,N共線時(shí)取等號.
答案 3
本題解法二,利用點(diǎn)到直線之間垂線段最短,及直角三角形中斜邊大于直角邊等簡單的幾何定理,很快的求出了d的最大值,運(yùn)算量非常小.在解決類似問題的過程中,應(yīng)該數(shù)形結(jié)合地分析問題.
『針對訓(xùn)練』
1.設(shè)函數(shù)f(x)=其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[-1.1] 30、=-2,[π]=3等.若方程f(x)=k(x+1)(k>0)恰有三個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 直線y=kx+k(k>0)恒過定點(diǎn)(-1,0),在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象和直線y=kx+k(k>0)的圖象,如圖所示,因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象恰好有三個(gè)不同的交點(diǎn),所以≤k<.
2.(2019·湖北八校高三聯(lián)考)若函數(shù)y=f(x)圖象上不同兩點(diǎn)M,N關(guān)于原點(diǎn)對稱,則稱點(diǎn)對[M,N]是函數(shù)y=f(x)的一對“和諧點(diǎn)對”(點(diǎn)對[M,N]與[N,M]看作同一對“和諧點(diǎn)對”).已知函數(shù)f(x)=則此函數(shù)的“和諧點(diǎn)對”有 31、________對.
答案 2
解析 作出f(x)=的圖象,f(x)的“和諧點(diǎn)對”數(shù)可轉(zhuǎn)化為y=ex(x<0)與y=-x2-4x(x<0)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(如圖).
由圖象知,函數(shù)f(x)有兩對“和諧點(diǎn)對”.
五 極限法
極限法是解選擇題、填空題的一種有效方法,它根據(jù)題干及選項(xiàng)的特征,考慮極端情形,有助于縮小選擇面,迅速找到答案.極限法是一種基本而重要的數(shù)學(xué)方法,通過考察問題的極端狀態(tài),靈活地借助極限思想解題,往往可以避開抽象復(fù)雜運(yùn)算,探索解題思路,優(yōu)化解題過程,降低解題難度.
題型一 (201 32、9·鄭州一模)函數(shù)f(x)=·cosx的圖象大致為( )
思維啟迪 本題考查根據(jù)解析式尋找函數(shù)的圖象,所給函數(shù)學(xué)生較陌生,不好直接得出其圖象.本題用直接法不好解答,可以考慮利用f(x)的性質(zhì),或者特殊點(diǎn)的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值等,排除干擾項(xiàng),從而選出正確答案.觀察A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng),發(fā)現(xiàn)在原點(diǎn)附近的函數(shù)值,四個(gè)選項(xiàng)都不同,因此可以利用極限思想,估算x在原點(diǎn)左側(cè),并且無限接近原點(diǎn)時(shí)的函數(shù)值和x在原點(diǎn)右側(cè),并且無限接近原點(diǎn)時(shí)的函數(shù)值,利用這兩個(gè)極限值,便能一次性排除干擾項(xiàng).
解析 解法一:(極限法)當(dāng)x→0+時(shí),2x>1,所以<0,又cosx>0,所以f(x)<0,排除A,D.
當(dāng)x→0- 33、時(shí),2x<1,所以>0,又cosx>0,所以f(x)>0,排除B,所以選C.
解法二:(排除法)觀察發(fā)現(xiàn)A,B為偶函數(shù),C,D為奇函數(shù),因此可以考慮利用奇偶性排除干擾項(xiàng).
計(jì)算f(-x)=cos(-x)=cosx=-f(x),因此f(x)為奇函數(shù),排除A,B.觀察C,D發(fā)現(xiàn)二者在原點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)符號不同,因此計(jì)算f′(0)的值來排除干擾項(xiàng),但是直接求f′(x)計(jì)算過于繁瑣,設(shè)h(x)==-1,顯然h(x)單調(diào)遞減;設(shè)g(x)=cosx,則f(x)=h(x)g(x),所以f′(0)=h′(0)g(0)+g′(0)h(0)=h′(0)<0,排除D,故選C.
答案 C
兩種解法都是排除法,但是 34、第一種解法是利用極限思想,計(jì)算f(x)在原點(diǎn)左、右兩側(cè)的函數(shù)值,通過其符號排除干擾項(xiàng);第二種解法比較常規(guī),利用奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng),再利用特殊點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值排除一個(gè)選項(xiàng).兩種方法比較,明顯第一種解法更快捷.
題型二 雙曲線x2-y2=1的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為左支下半支上任意一點(diǎn)(異于頂點(diǎn)),則直線PF的斜率的變化范圍是( )
A.(-∞,0) B.(1,+∞)
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
思維啟迪 本題以雙曲線為背景,考查雙曲線的漸近線,直線的傾斜角、斜率等知識要素,以點(diǎn)P在雙曲線的左支下半支上運(yùn)動(dòng)來解決本題.
解析 由題意條件知雙曲線的其中一條漸 35、近線y=x的傾斜角為45°,當(dāng)點(diǎn)P向雙曲線左下方無限移動(dòng)時(shí),直線PF逐漸與漸近線平行,但是永不平行,所以傾斜角大于45°;當(dāng)點(diǎn)P逐漸靠近頂點(diǎn)時(shí),傾斜角逐漸增大,但是小于180°.
所以直線PF的傾斜角的范圍是(45°,180°).
由此可知直線PF的斜率的變化范圍是(-∞,0)∪(1,+∞).
答案 C
本題運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),靈活的用極限思想來思考,避免了復(fù)雜的運(yùn)算,簡化了解題過程,節(jié)省了解題時(shí)間.
『針對訓(xùn)練』
1.(2018·北京高考)若△ABC的面積為(a2+c2-b2),且C為鈍角,則B=________;的取值范圍是________.
答案 (2,+∞)
解析 36、 解法一:(直接法)由余弦定理知
a2+c2-b2=2accosB,
又S△ABC=acsinB,所以acsinB=×2accosB,
化簡得tanB=,因?yàn)?
37、=
=,
所以tanα==tan,因?yàn)棣痢?,β∈,所以α=+,所?α-β=.
方法匯總 選擇獨(dú)用方法
一 排除法
排除法是指通過快捷有效的手段將與題干相矛盾的干擾項(xiàng)逐一排除,從而獲得正確的結(jié)論的解答選擇題的方法.適用于定性型或不易直接求解的選擇題.當(dāng)題目中的條件多于一個(gè)時(shí),先根據(jù)某些條件在選項(xiàng)中找出明顯與之矛盾的,予以否定,再根據(jù)另一些條件在縮小的選項(xiàng)的范圍內(nèi)找出矛盾,這樣逐步排除,直到得出正確的選項(xiàng).它與特例法結(jié)合使用是解答選擇題的常用方法.
題型一 過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)P和Q,則PQ中點(diǎn)軌跡方程是( )
A.y 38、2=2x-1 B.y2=2x-2
C.y2=-2x+1 D.y2=-2x+2
思維啟迪 本題是考查拋物線過焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程,可以設(shè)出直線方程,用參數(shù)法求解,也可以考慮點(diǎn)差法.當(dāng)然,最快捷的應(yīng)該是使用排除法.
解析 解法一:(排除法)當(dāng)弦PQ垂直于x軸時(shí),易知此時(shí)PQ中點(diǎn)為(1,0),而選項(xiàng)A,C所給曲線均不過(1,0),所以排除A,C;又考慮極限位置,當(dāng)xP→0時(shí),顯然xQ→+∞,因此線段PQ中點(diǎn)橫坐標(biāo)趨于無窮大,即拋物線開口必須向右,排除D,綜上選B.
解法二:(直接法一)設(shè)PQ的中點(diǎn)M(x,y),
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x=,y=,
又y=4x 39、1,y=4x2,兩式相減,得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2).
當(dāng)x1≠x2時(shí),有y=2,
所以·y=2,化簡得y2=2(x-1),x≠1,
當(dāng)x1=x2時(shí),有y=0,此時(shí)x=1,綜上y2=2x-2,故選B.
解法三:(直接法二)設(shè)PQ的中點(diǎn)M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的方程為x=ty+1,與拋物線聯(lián)立得化簡得y2-4ty-4=0,所以y1+y2=4t,即y=2t,所以消參得y2=2x-2,故選B.
答案 B
三種解法里,解法一根據(jù)題目特點(diǎn),利用特殊位置排除掉干擾項(xiàng),選出了正確答案.由于本題涉及弦中點(diǎn)問題,因此如解法二那樣采用點(diǎn)差法也可以 40、很好的解決問題;解法三利用參數(shù)t,先解出軌跡的參數(shù)方程,進(jìn)一步得到普通方程.三者比較,就本題而言排除法更快捷.
題型二 定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)記為f′(x),滿足f(x)+f(2-x)=(x-1)2,且當(dāng)x≤1時(shí),恒有f′(x)+2 41、x)+2 42、設(shè)g(x)=f(x)-x2+2x,由題意可知當(dāng)x≤1時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,所以g(1) 43、 )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
答案 B
解析 解法一:(排除法)若x=56,y=5,排除C,D;
若x=57,y=6,排除A,故選B.
解法二:(直接法)設(shè)x=10m+a(0≤a≤9),當(dāng)0≤a≤6時(shí),==m=;當(dāng)61,f(π)=>0,排除B,C.故選D.
二 估算法
由于選擇題提供了唯一正確的選項(xiàng),解答又不需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程,因此一些計(jì)算類的題目 44、并不需要精確的計(jì)算,只需對其數(shù)值特點(diǎn)和取值界限作適當(dāng)?shù)墓烙?jì),便能作出正確的選擇,這就是估算法.估算法往往可以減少運(yùn)算量,但是思維量相應(yīng)的增加了.
題型一 (2019·石家莊新高三摸底考試)實(shí)數(shù)a=0.33,b=log30.3,c=30.3的大小關(guān)系是( )
A.aa>b,故選C.
解法二:(估算法)a=0. 45、33∈(0,1),b=log30.3<0,c=30.3>1,所以c>a>b,故選C.
答案 C
解法一利用指對函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象直觀的得出了a,b,c的大小關(guān)系;解法二僅僅對a,b,c的值作了一個(gè)大概的估計(jì).兩種方法都比較快捷的解決了本題.
題型二 如圖,多面體ABCDEF中,已知面ABCD是邊長為3的正方形,EF∥AB,EF=,EF與面ABCD的距離為2,則該多面體的體積為( )
A.4.5 B.5
C.6 D.7.5
思維啟迪 本題中多面體的體積不易求得,可先求出四棱錐E-ABCD的體積,利用多面體ABCDEF的體積大于四棱錐E-ABCD的體積可得出正確選項(xiàng) 46、.
解析 解法一:(估算法)顯然VE-ABCD=×2×9=6,所以多面體的體積必大于6,故選D.
解法二:(直接法)
如圖,作面EMN⊥面ABCD,作面FGH⊥面ABCD,則原多面體的體積被分割為四棱錐VE-AMND,三棱柱VEMN-FHG,四棱錐VF-HBCG,
所以原多面體的體積V=×2×+×3×2×=7.5.故選D.
答案 D
解法一通過估算,避免了對多面體ABCDEF體積的運(yùn)算,解題更為快捷.
『針對訓(xùn)練』
1.(2019·山東濟(jì)南部分學(xué)校聯(lián)考)設(shè)a=2-,b=log35,c=log45,則a,b,c的大小關(guān)系是( )
A.a
47、b 48、度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例,且腿長為105 cm,頭頂至脖子下端的長度為26 cm,則其身高可能是( )
A.165 cm B.175 cm
C.185 cm D.190 cm
答案 B
解析 設(shè)某人身高為m cm,脖子下端至肚臍的長度為n cm,則由腿長為105 cm,可得>≈0.618,解得m>169.890.
由頭頂至脖子下端的長度為26 cm,
可得>≈0.618,解得n<42.071.
由已知可得=≈0.618,
解得m<178.218.
綜上,此人身高m滿足169.890
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