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專題三 閱讀理解型問題
閱讀理解題通常是給出一段文字,或陳述某個數(shù)學(xué)命題的解題過程,或設(shè)計一個新的數(shù)學(xué)情境,要求學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上,進(jìn)行判斷概括或遷移運(yùn)用,從而解決題目中提出的問題.這類問題的考查目標(biāo)既有基礎(chǔ)知識,又涉及閱讀理解能力、自習(xí)能力、書面表達(dá)能力、隨機(jī)應(yīng)變能力和知識遷移運(yùn)用能力等.2016年貴陽中考首次考查了閱讀理解幾何綜合應(yīng)用問題.預(yù)計2017貴陽中考還會考查此類型題目,復(fù)習(xí)時應(yīng)加大訓(xùn)練力度.
,中考重難點(diǎn)突破)
閱讀解題過程,模仿解題策略
【經(jīng)典導(dǎo)例】
【例1】(2016貴陽中考)
(1)閱讀理解:
如圖①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.解決此問題可以用如下方法:延長AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷.
中線AD的取值范圍是________;
(2)問題解決:
如圖②,在△ABC中,D是BC邊上的中點(diǎn),DE⊥DF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證:BE+CF>EF;
(3)問題拓展:
如圖③,在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180,CB=CD,∠BCD=140,以C為頂點(diǎn)作一個70角,角的兩邊分別交AB,AD于E,F(xiàn)兩點(diǎn),連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
【解析】本題屬于閱讀理解題,解題方法主要是數(shù)學(xué)中“轉(zhuǎn)化”思想的運(yùn)用.對于(2)延長FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接EM,BM,利用全等三角形性質(zhì)和線段垂直平分線性質(zhì)把線段BE,CF,EF轉(zhuǎn)化到△BEM中來研究;對于(3)要延長AB至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN,先證明△NBC≌△FDC,得CN=CF,∠NCB=∠FCD.再根據(jù)已知條件證明△NCE≌△FCE,得EN=EF,則有BE+BN=EN,所以有BE+DF=EF.
【學(xué)生解答】解:(1)2
EM,∴BE+CF>EF;(3)BE+DF=EF.理由:延長AB至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN.在△NBC和△FDC中,CB=CD,BN=DF.∵∠NBC+∠ABC=180,∠D+∠ABC=180,∴∠NBC=∠D,∴△NBC≌△FDC,∴CN=CF,∠NCB=∠FCD.∵∠BCD=140,∠ECF=70,∴∠BCE+∠FCD=70,∴∠NCE=70,在△NCE和△FCE中,CN=CF,∠ECF=∠NCE=70,CE=CE,∴△NCE≌△FCE,∴EN=EF.∵BE+BN=EN,∴BE+DF=EF.
1.(張家界中考)閱讀材料:解分式不等式<0,解:根據(jù)實(shí)數(shù)的除法法則:同號兩數(shù)相除得正數(shù),異號兩數(shù)相除得負(fù)數(shù),因此,原不等式可轉(zhuǎn)化為:①或②解①得:無解,解②得:-20.
解:(1)根據(jù)實(shí)數(shù)的除法法則:同號兩數(shù)相除得正數(shù),異號兩數(shù)相除得負(fù)數(shù),因此原不等式可轉(zhuǎn)化為:①或②解①得:無解,解②得:-2.53,解②得:x<-2,所以原不等式的解集是:x>3或x<-2.
2.(2016蘭州中考)在數(shù)學(xué)課上,老師請同學(xué)們思考如下問題:如圖1,我們把一個四邊形ABCD的四邊中點(diǎn)E,F(xiàn),G,H依次連接起來得到的四邊形EFGH是平行四邊形嗎?
小敏在思考問題時,有如下思路:連接AC.
結(jié)合小敏的思路作答:
(1)若只改變圖1中四邊形ABCD的形狀(如圖2),則四邊形EFGH還是平行四邊形嗎?說明理由;
參考小敏思考問題的方法解決以下問題:
(2)如圖2,在(1)的條件下,若連接AC,BD.
①當(dāng)AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是菱形,寫出結(jié)論并證明;
②當(dāng)AC與BD滿足什么條件時,四邊形EFGH是矩形,直接寫出結(jié)論.
解:(1)四邊形EFGH還是平行四邊形,理由如下:連接AC.∵E,F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn),∴EF∥AC,EF=AC.∵G,H分別是CD,AD的中點(diǎn),∴GH∥AC,GH=AC,∴EF∥GH,EF=GH,∴四邊形EFGH是平行四邊形;(2)①當(dāng)AC=BD時,四邊形EFGH是菱形,理由如下:由(1)可知四邊形EFGH是平行四邊形,當(dāng)AC=BD時,F(xiàn)G=BD,EF=AC,∴FG=EF,∴四邊形EFGH是菱形;②當(dāng)AC⊥BD時,四邊形EFGH是矩形.
3.(2016郴州中考)設(shè)a,b是任意兩個實(shí)數(shù),規(guī)定a與b之間的一種運(yùn)算“⊕”為:a⊕b=
例如:1⊕(-3)==-3,(-3)⊕2=(-3)-2=-5,
(x2+1)⊕(x-1)=.(因?yàn)閤2+1>0)
參照上面材料,解答下列問題:
(1)2⊕4=__2__,(-2)⊕4=__-6__;
(2)若x>,且滿足(2x-1)⊕(4x2-1)=(-4)⊕(1-4x),求x的值.
解:∵x>,∴2x-1>0,∴(2x-1)⊕(4x2-1)==2x+1.又-4<0,∴(-4)⊕(1-4x)=-4-(1-4x)=-5+4x,∴(2x-1)⊕(4x2-1)=(-4)⊕(1-4x)化為:2x+1=-5+4x,解得x=3,∴x的值為3.
閱讀新定義,新定理,解決新問題
【經(jīng)典導(dǎo)例】
【例2】(2014蘭州中考)給出定義,若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方,則稱該四邊形為勾股四邊形.
(1)在你學(xué)過的特殊四邊形中,寫出兩種勾股四邊形的名稱;
(2)如圖,將△ABC繞頂點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60得到△DBE,連接AD,DC,CE,已知∠DCB=30.
①求證:△BCE是等邊三角形;
②求證:DC2+BC2=AC2,即四邊形ABCD是勾股四邊形.
【解析】(1)根據(jù)定義和特殊四邊形的性質(zhì),則有矩形或正方形或直角梯形;
(2)①首先證明△ABC≌△DBE,得出AC=DE,BC=BE,進(jìn)一步得出△BCE為等邊三角形;②利用等邊三角形的性質(zhì),進(jìn)一步得出△DCE是直角三角形,問題得解.
【學(xué)生解答】解:(1)學(xué)習(xí)過的特殊四邊形中,符合條件的四邊形有:矩形、正方形或直角梯形;(2)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△ABC≌△DBE,∴AC=DE,BC=BE,∵∠CBE=60,∴△BCE是等邊三角形;②∵△BCE是等邊三角形,∴∠BCE=60,CE=BC.∵∠DCB=30,∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=30+60=90.∴△DCE是直角三角形,∴DC2+CE2=DE2,又∵AC=DE,CE=BC,∴DC2+BC2=AC2.即四邊形ABCD是勾股四邊形.
4.(2016衢州中考)如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.
(1)概念理解:如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,CB=CD,問四邊形ABCD是垂美四邊形嗎?請說明理由;
(2)性質(zhì)探究:試探索垂美四邊形ABCD兩組對邊AB,CD與BC,AD之間的數(shù)量關(guān)系.猜想結(jié)論(要求用文字語言敘述),寫出證明過程;(先畫出圖形,寫出已知、求證)
(3)問題解決:如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE的長.
解:(1)四邊形ABCD是垂美四邊形.證明:∵AB=AD,∴點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上,∵CB=CD,∴點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上,∴直線AC是線段BD的垂直平分線,∴AC⊥BD,即四邊形ABCD是垂美四邊形;(2)猜想結(jié)論:垂美四邊形的兩組對邊的平方和相等.如圖2,已知四邊形ABCD中,AC⊥BD,垂足為E,求證:AD2+BC2=AB2+CD2,證明:∵AC⊥BD,∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90,由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,∴AD2+BC2=AB2+CD2;(3)連接CG,BE,∵∠CAG=∠BAE=90,∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC,即∠GAB=∠CAE,在△GAB和△CAE中,∴△GAB≌△CAE,∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90,∴∠ABG+∠BMC=90,即CE⊥BG,∴四邊形CGEB是垂美四邊形,由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2,∵AC=4,AB=5,∴BC=3,CG=4,BE=5,∴GE2=CG2+BE2-CB2=73,∴GE=.
5.(2016寧波中考)從三角形(不是等腰三角形)一個頂點(diǎn)引出一條射線于對邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.
(1)如圖1,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40,∠B=60,求證:CD為△ABC的完美分割線;
(2)在△ABC中,∠A=48,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù);
(3)如圖2,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長.
解:(1)∵∠A=40,∠B=60,∴∠ACB=80,∴△ABC不是等腰三角形,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40,∴∠ACD=∠A=40,∴△ACD為等腰三角形,∵∠DCB=∠A=40,∠CBD=∠ABC,∴△BCD∽△BAC,∴CD是△ABC的完美分割線;(2)①當(dāng)AD=CD時(如圖①),∠ACD=∠A=48,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96;②當(dāng)AD=AC時(如圖②),∠ACD=∠ADC==66,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114;③當(dāng)AC=CD時(如圖③),∠ADC=∠A=48,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48,∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍去,∴∠ACB=96或114;
(3)由已知得AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,∴=,設(shè)BD=x,∴()2=x(x+2),解得x=-1,∵x>0,∴x=-1,∵△BCD∽△BAC,∴==,∴CD=2=(-1)=-.
6.(2016咸寧中考)閱讀理解:
我們知道,四邊形具有不穩(wěn)定性,容易變形. 如圖1,一個矩形發(fā)生變形后成為一個平行四邊形. 設(shè)這個平行四邊形相鄰兩個內(nèi)角中較小的一個內(nèi)角為α,我們把的值叫做這個平行四邊形的變形度.
(1)若矩形發(fā)生變形后的平行四邊形有一個內(nèi)角是120,則這個平行四邊形的變形度是________;
猜想證明:
(2)設(shè)矩形的面積為S1,其變形后的平行四邊形面積為S2,試猜想S1, S2,之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
拓展探究:
(3)如圖2,在矩形ABCD中,E是AD邊上的一點(diǎn),且AB2=AEAD,這個矩形發(fā)生變形后為平行四邊形A1B1C1D1,E1為E的對應(yīng)點(diǎn),連接B1E1,B1D1,若矩形ABCD的面積為4(m>0),平行四邊形A1B1C1D1的面積為2(m>0),試求∠A1E1B1+∠A1D1B1的度數(shù).
解:(1);(2)=,理由如下:如圖1,設(shè)矩形的長和寬分別為a,b,其變形后的平行四邊形高為h,則S1=ab,S2=ah,sinα=,∴==,=,∴=;(3)由AB2=AEAD,可得A1B=A1E1A1D1,即=.又∠B1A1E1=∠D1A1B1,∴△B1A1E1∽△D1A1B1,∴∠A1B1E1=∠A1D1B1.∵A1D1∥B1C1,∴∠A1E1B1=∠C1B1E1,∴∠A1E1B1+∠A1D1B1=∠C1B1E1+∠A1B1E1=∠A1B1C1,由(2)=,可知==2,∴sin∠A1B1C1=,∠A1B1C1=30,∴∠A1E1B1+∠A1D1B1=30.
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