九年級數學上學期期末試卷（含解析） 新人教版 (7)

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四川省成都市崇州市2015-2016學年九年級（上）期末數學試卷 一、選擇題（本題10小題，每小題3分，共30分） 1．反比例函數y=﹣的圖象在（　?。? A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．如果兩個相似三角形對應邊的比為2：3，那么這兩個相似三角形面積的比是（　?。? A．2：3 B．： C．4：9 D．8：27 3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的形狀可能是（　　） A． B． C． D． 4．已知反比例函數y=的圖象經過點（3，2），那么下列四個點中，也在這個函數圖象上的是（　?。? A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（1，﹣6） D．（﹣6，1） 5．下列一元二次方程中，有兩個相等實數根的是（　?。? A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2﹣6x+1=0 D．5x+2=3x2 6．已知兩點A（4，6），B（6，2），以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，則點A的對應點C的坐標為（　?。? A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3） 7．若ab＜0，則正比例函數y=ax與反比例函數y=在同一坐標系中的大致圖象可能是（　　） A． B． C． D． 8．如圖，點P是?ABCD邊AB上的一點，射線CP交DA的延長線于點E，則圖中相似的三角形有（　　） A．0對 B．1對 C．2對 D．3對 9．某商品經過連續(xù)兩次降價，銷售單價由原來200元降到162元．設平均每次降價的百分率為x，根據題意可列方程為（　?。? A．200（1﹣x）2=162 B．200（1+x）2=162 C．162（1+x）2=200 D．162（1﹣x）2=200 10．將拋物線y=x2+1先向左平移2個單位，再向下平移4個單位，那么所得到的拋物線的函數關系式是（　?。? A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3 　 二、填空題（本題4個小題，每小題4分，共16分） 11．如果=，那么的值等于______． 12．在Rt△ABC中，若∠C=90，BC=1，AC=2，tanB=______． 13．如圖，點P是反比例函數y=﹣圖象上一點，PM⊥x軸于M，則△POM的面積為______． 14．如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，則EC=______． 　 三、解答題（15題每小題12分，16題6分，共18分） 15．（12分）（2015秋?崇州市期末）（1）解方程：x2﹣2x﹣3=0 （2）計算：（π﹣）0+（）﹣1﹣﹣tan60． 16．已知：如圖，△ABC中，AD=DB，∠1=∠2．求證：△ABC∽△EAD． 　 四、解答題 17．如圖，某建筑物BC頂部有一旗桿AB，且點A，B，C在同一條直線上，小紅在D處觀測旗桿頂部A的仰角為47，觀測旗桿底部B的仰角為42已知點D到地面的距離DE為1.56m，EC=21m，求旗桿AB的高度和建筑物BC的高度（結果保留小數后一位）．參考數據：tan47≈1.07，tan42≈0.90． 18．有兩個構造完全相同（除所標數字外）的轉盤A、B，游戲規(guī)定：轉動兩個轉盤各一次，指向大的數字獲勝． （1）用樹狀圖或列表格列出兩個轉盤轉出的所有可能出現(xiàn)的結果； （2）如果由你和小明各選擇一個轉盤游戲，你會選擇哪一個，為什么？ 　 五、解答題（19題10分，20題10分，共20分） 19．（10分）（2015秋?崇州市期末）如圖，已知反比例函數y=與一次函數y=x+b的圖形在第一象限相交于點A（1，﹣k+4）． （1）試確定這兩函數的表達式； （2）求出這兩個函數圖象的另一個交點B的坐標，并求△AOB的面積； （3）根據圖象直接寫出反比例函數值大于一次函數值的x的取值范圍． 20．（10分）（2015秋?崇州市期末）如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點B運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向A點運動．設運動時間為x（s）． （1）當x為何值時，PQ∥BC； （2）當△APQ與△CQB相似時，AP的長為______； （3）當S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值． 　 一、填空題（本題共5個小題，每小題4分，共20分） 21．已知a、b是方程x2﹣2015x+1=0的兩根，則a2﹣2014a+b的值為______． 22．甲乙兩人玩猜數字游戲，規(guī)則如下：有四個數分別為1，2，3，4，先由甲在心中任想其中一個數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為b．若|a﹣b|≤1，則稱甲乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，得出他們“心有靈犀”的概率為______． 23．如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出以下四個結論：①abc=0；②a+b+c＞0；③a＞b；④4ac﹣b2＜0．其中正確結論有______． 24．如圖，點A（m，2），B（5，n）在函數y=（k＞0，x＞0）的圖象上，將該函數圖象向上平移2個單位長度得到一條新的曲線，點A、B的對應點分別為A′、B′．圖中陰影部分的面積為8，則k的值為______． 25．如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE=3，點F是邊BC上不與點B，C重合的一個動點，把△EBF沿EF折疊，點B落在B′處．若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為______． 　 二、解答題 26．某蔬菜經銷商去蔬菜生產基地批發(fā)某種蔬菜，已知這種蔬菜的批發(fā)量在20千克～60千克之間（含20千克和60千克）時，每千克批發(fā)價是5元；若超過60千克時，批發(fā)的這種蔬菜全部打八折，但批發(fā)總金額不得少于300元． （1）根據題意，填寫如表： 蔬菜的批發(fā)量（千克） … 25 60 75 90 … 所付的金額（元） … 125 ______ 300 ______ … （2）經調查，該蔬菜經銷商銷售該種蔬菜的日銷售量y（千克）與零售價x（元/千克）是一次函數關系，其圖象如圖，求出y與x之間的函數關系式； （3）若該蔬菜經銷商每日銷售此種蔬菜不低于75千克，且當日零售價不變，那么零售價定為多少時，該經銷商銷售此種蔬菜的當日利潤最大？最大利潤為多少元？ 27．（10分）（2015?天津）將一個直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標系中，點A（，0），點B（0，1），點0（0，0）．過邊OA上的動點M（點M不與點O，A重合）作MN丄AB于點N，沿著MN折疊該紙片，得頂點A的對應點A′，設OM=m，折疊后的△AM′N與四邊形OMNB重疊部分的面積為S． （Ⅰ）如圖①，當點A′與頂點B重合時，求點M的坐標； （Ⅱ）如圖②，當點A′，落在第二象限時，A′M與OB相交于點C，試用含m的式子表示S； （Ⅲ）當S=時，求點M的坐標（直接寫出結果即可）． 28．（12分）（2015?通遼）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為B（2，1），且過點A（0，2），直線y=x與拋物線交于點D，E（點E在對稱軸的右側），拋物線的對稱軸交直線y=x于點C，交x軸于點G，EF⊥x軸，垂足為F，點P在拋物線上，且位于對稱軸的右側，PQ⊥x軸，垂足為點Q，△PCQ為等邊三角形 （1）求該拋物線的解析式； （2）求點P的坐標； （3）求證：CE=EF； （4）連接PE，在x軸上點Q的右側是否存在一點M，使△CQM與△CPE全等？若存在，試求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．[注：3+2=（+1）2]． 　  2015-2016學年四川省成都市崇州市九年級（上）期末數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本題10小題，每小題3分，共30分） 1．反比例函數y=﹣的圖象在（　?。? A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【考點】反比例函數的性質． 【分析】根據反比例函數y=（k≠0）的圖象是雙曲線；當k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內y隨x的增大而減?。划攌＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內y隨x的增大而增大進行解答． 【解答】解：∵k=﹣1， ∴圖象在第二、四象限， 故選：C． 【點評】此題主要考查了反比例函數的性質，關鍵是掌握反比例函數圖象的性質． 　 2．如果兩個相似三角形對應邊的比為2：3，那么這兩個相似三角形面積的比是（　?。? A．2：3 B．： C．4：9 D．8：27 【考點】相似三角形的性質． 【分析】根據相似三角形的面積的比等于相似比的平方，據此即可求解． 【解答】解：兩個相似三角形面積的比是（2：3）2=4：9． 故選C． 【點評】本題考查對相似三角形性質的理解． （1）相似三角形周長的比等于相似比； （2）相似三角形面積的比等于相似比的平方； （3）相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比． 　 3．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的形狀可能是（　?。? A． B． C． D． 【考點】由三視圖判斷幾何體． 【分析】主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形． 【解答】解：由主視圖和左視圖可得此幾何體上面為臺，下面為柱體， 由俯視圖為圓環(huán)可得幾何體為． 故選D． 【點評】此題主要考查了學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查． 　 4．已知反比例函數y=的圖象經過點（3，2），那么下列四個點中，也在這個函數圖象上的是（　?。? A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（1，﹣6） D．（﹣6，1） 【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征． 【分析】把已知點坐標代入反比例解析式求出k的值，即可做出判斷． 【解答】解：把（2，3）代入反比例解析式得：k=6， ∴反比例解析式為y=， 則（﹣2，﹣3）在這個函數圖象上， 故選B． 【點評】此題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵． 　 5．下列一元二次方程中，有兩個相等實數根的是（　?。? A．x2﹣8=0 B．2x2﹣4x+3=0 C．9x2﹣6x+1=0 D．5x+2=3x2 【考點】根的判別式． 【分析】分別求出各個選項中一元二次方程的根的判別式，進而作出判斷． 【解答】解：A、x2﹣8=0，△=32＞0，方程有兩個不相等的實數根，此選項錯誤； B、2x2﹣4x+3=0，△=42﹣423=﹣8＜0，方程沒有實數根，此選項錯誤； C、9x2﹣6x+1=0，△=（﹣6）2﹣491=0，方程有兩個相等的實數根，此選項正確； D、5x+2=3x2=，△（﹣5）2﹣43（﹣2）=49＞0，方程有兩個不相等的實數根，此選項錯誤； 故選C． 【點評】本題考查了根的判別式．一元二次方程根的情況與判別式△的關系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數根； （3）△＜0?方程沒有實數根． 　 6．已知兩點A（4，6），B（6，2），以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，則點A的對應點C的坐標為（　?。? A．（2，3） B．（3，1） C．（2，1） D．（3，3） 【考點】位似變換；坐標與圖形性質． 【分析】由兩點A（4，6），B（6，2），以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，根據位似的性質，即可求得答案． 【解答】解：∵A（4，6），以原點O為位似中心，在第一象限內將線段AB縮小為原來的后得到線段CD， ∴點A的對應點C的坐標為：（2，3）． 故選A． 【點評】此題考查了位似變換的性質．注意在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或﹣k． 　 7．若ab＜0，則正比例函數y=ax與反比例函數y=在同一坐標系中的大致圖象可能是（　　） A． B． C． D． 【考點】反比例函數的圖象；正比例函數的圖象． 【分析】根據ab＜0及正比例函數與反比例函數圖象的特點，可以從a＞0，b＜0和a＜0，b＞0兩方面分類討論得出答案． 【解答】解：∵ab＜0，∴分兩種情況： （1）當a＞0，b＜0時，正比例函數y=ax數的圖象過原點、第一、三象限，反比例函數圖象在第二、四象限，無此選項； （2）當a＜0，b＞0時，正比例函數的圖象過原點、第二、四象限，反比例函數圖象在第一、三象限，選項B符合． 故選B． 【點評】本題主要考查了反比例函數的圖象性質和正比例函數的圖象性質，要掌握它們的性質才能靈活解題． 　 8．如圖，點P是?ABCD邊AB上的一點，射線CP交DA的延長線于點E，則圖中相似的三角形有（　?。? A．0對 B．1對 C．2對 D．3對 【考點】相似三角形的判定；平行四邊形的性質． 【分析】利用相似三角形的判定方法以及平行四邊形的性質得出即可． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥DC，AD∥BC， ∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CBP， ∴△EDC∽△CBP， 故有3對相似三角形． 故選：D． 【點評】此題主要考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵． 　 9．某商品經過連續(xù)兩次降價，銷售單價由原來200元降到162元．設平均每次降價的百分率為x，根據題意可列方程為（　?。? A．200（1﹣x）2=162 B．200（1+x）2=162 C．162（1+x）2=200 D．162（1﹣x）2=200 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】此題利用基本數量關系：商品原價（1﹣平均每次降價的百分率）=現(xiàn)在的價格，列方程即可． 【解答】解：由題意可列方程是：200（1﹣x）2=168． 故選A． 【點評】此題考查一元二次方程的應用最基本數量關系：商品原價（1﹣平均每次降價的百分率）=現(xiàn)在的價格． 　 10．將拋物線y=x2+1先向左平移2個單位，再向下平移4個單位，那么所得到的拋物線的函數關系式是（　?。? A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3 【考點】二次函數圖象與幾何變換． 【分析】根據平移規(guī)律：“左加右減，上加下減”，直接代入函數解析式求得平移后的函數解析式． 【解答】解：拋物線y=x2+1先向左平移2個單位，再向下平移4個單位，得 y=（x+2）2﹣3， 故選：B． 【點評】本題考查了二次函數圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數解析式． 　 二、填空題（本題4個小題，每小題4分，共16分） 11．如果=，那么的值等于　?。? 【考點】比例的性質． 【分析】根據比例的性質，可用b表示a，根據分式的性質，可得答案． 【解答】解：由=，得a=． 當a=時， ===， 故答案為：． 【點評】本題考查了比例的性質，利用了比例的性質，分式的性質． 　 12．在Rt△ABC中，若∠C=90，BC=1，AC=2，tanB=　2　． 【考點】銳角三角函數的定義． 【分析】由正切的定義可知tanB=，代入計算即可． 【解答】解：∵∠C=90，AC=4，BC=2， ∴tanB===2， 故答案為：2． 【點評】本題主要考查三角函數的定義，掌握正切的定義是解題的關鍵． 　 13．如圖，點P是反比例函數y=﹣圖象上一點，PM⊥x軸于M，則△POM的面積為　1?。? 【考點】反比例函數系數k的幾何意義． 【分析】因為過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個定值|k|，△POD的面積為矩形面積的一半，即|k|． 【解答】解：由于點P是反比例函數y=﹣圖象上的一點， 所以△POD的面積S=|k|=|﹣2|=1． 故答案為：1． 【點評】主要考查了反比例函數y=中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經常考查的一個知識點．這里體現(xiàn)了數形結合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義． 　 14．如圖，△ABC中，點D、E分別在邊AB、BC上，DE∥AC．若BD=4，DA=2，BE=3，則EC=　?。? 【考點】平行線分線段成比例． 【分析】根據平行線分線段成比例定理即可直接求解． 【解答】解：∵DE∥AC， ∴， 即， 解得：EC=． 故答案為：． 【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，理解定理內容是解題的關鍵． 　 三、解答題（15題每小題12分，16題6分，共18分） 15．（12分）（2015秋?崇州市期末）（1）解方程：x2﹣2x﹣3=0 （2）計算：（π﹣）0+（）﹣1﹣﹣tan60． 【考點】實數的運算；解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）方程利用因式分解法求出解即可； （2）原式利用零指數冪、負整數指數冪，以及特殊角的三角函數值計算即可得到結果． 【解答】解：（1）分解得：（x﹣3）（x+1）=0， 可得x﹣3=0或x+1=0， 解得：x1=3，x2=﹣1； （2）原式=1+2﹣3﹣=3﹣4． 【點評】此題考查了實數的運算，以及解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 　 16．已知：如圖，△ABC中，AD=DB，∠1=∠2．求證：△ABC∽△EAD． 【考點】相似三角形的判定． 【分析】根據相似三角形的判定，解題時要認真審題，選擇適宜的判定方法． 【解答】證明：∵AD=DB， ∴∠B=∠BAD． ∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE， 又∵∠1=∠2， ∴∠C=∠ADE． ∴△ABC∽△EAD． 【點評】此題考查了相似三角形的判定： ①有兩個對應角相等的三角形相似； ②有兩個對應邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似； ③三組對應邊的比相等，則兩個三角形相似． 　 四、解答題 17．如圖，某建筑物BC頂部有一旗桿AB，且點A，B，C在同一條直線上，小紅在D處觀測旗桿頂部A的仰角為47，觀測旗桿底部B的仰角為42已知點D到地面的距離DE為1.56m，EC=21m，求旗桿AB的高度和建筑物BC的高度（結果保留小數后一位）．參考數據：tan47≈1.07，tan42≈0.90． 【考點】解直角三角形的應用-仰角俯角問題． 【分析】根據題意分別在兩個直角三角形中求得AF和BF的長后求差即可得到旗桿的高度，進而求得BC的高度． 【解答】解：根據題意得DE=1.56，EC=21，∠ACE=90，∠DEC=90． 過點D作DF⊥AC于點F． 則∠DFC=90∠ADF=47，∠BDF=42． ∵四邊形DECF是矩形． ∴DF=EC=21，F(xiàn)C=DE=1.56， 在直角△DFA中，tan∠ADF=， ∴AF=DF?tan47≈211.07=22.47（m）． 在直角△DFB中，tan∠BDF=， ∴BF=DF?tan42≈210.90=18.90（m）， 則AB=AF﹣BF=22.47﹣18.90=3.57≈3.6（m）． BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5（m）． 答：旗桿AB的高度約是3.6m，建筑物BC的高度約是20.5米． 【點評】此題考查的知識點是解直角三角形的應用，解題的關鍵是把實際問題轉化為解直角三角形問題，先得到等腰直角三角形，再根據三角函數求解． 　 18．有兩個構造完全相同（除所標數字外）的轉盤A、B，游戲規(guī)定：轉動兩個轉盤各一次，指向大的數字獲勝． （1）用樹狀圖或列表格列出兩個轉盤轉出的所有可能出現(xiàn)的結果； （2）如果由你和小明各選擇一個轉盤游戲，你會選擇哪一個，為什么？ 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果； （2）由轉盤A獲勝的有5種情況，轉盤B獲勝的有4種情況，即可求得其概率，繼而求得答案． 【解答】解：（1）畫樹狀圖得： 則共有9種等可能的結果； （2）選擇轉盤A． 理由：∵轉盤A獲勝的有5種情況，轉盤B獲勝的有4種情況， ∴P（轉盤A）=，P（轉盤B）=， ∴選擇轉盤A． 【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比． 　 五、解答題（19題10分，20題10分，共20分） 19．（10分）（2015秋?崇州市期末）如圖，已知反比例函數y=與一次函數y=x+b的圖形在第一象限相交于點A（1，﹣k+4）． （1）試確定這兩函數的表達式； （2）求出這兩個函數圖象的另一個交點B的坐標，并求△AOB的面積； （3）根據圖象直接寫出反比例函數值大于一次函數值的x的取值范圍． 【考點】反比例函數與一次函數的交點問題． 【分析】（1）根據反比例函數y=與一次函數y=x+b的圖形在第一象限相交于點A（1，﹣k+4），可以求得k的值，從而可以求得點A的坐標，從而可以求出一次函數y=x+b中b的值，本題得以解決； （2）將第一問中求得的兩個解析式聯(lián)立方程組可以求得點B的坐標，進而可以求得△AOB的面積； （3）根據函數圖象可以解答本題． 【解答】解；（1）∵反比例函數y=與一次函數y=x+b的圖形在第一象限相交于點A（1，﹣k+4）， ∴， 解得，k=2， ∴點A（1，2）， ∴2=1+b，得b=1， 即這兩個函數的表達式分別是：，y=x+1； （2） 解得，或， 即這兩個函數圖象的另一個交點B的坐標是（﹣2，﹣1）； 將y=0代入y=x+1，得x=﹣1， ∴OC=|﹣1|=1， ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=， 即△AOB的面積是； （3）根據圖象可得反比例函數值大于一次函數值的x的取值范圍是x＜﹣2或0＜x＜1． 【點評】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答問題． 　 20．（10分）（2015秋?崇州市期末）如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點B運動；同時點Q從C點出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向A點運動．設運動時間為x（s）． （1）當x為何值時，PQ∥BC； （2）當△APQ與△CQB相似時，AP的長為　cm或20cm?。? （3）當S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值． 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】（1）當PQ∥BC時，根據平行線分線段成比例定理，可得出關于AP，PQ，AB，AC的比例關系式，我們可根據P，Q的速度，用時間x表示出AP，AQ，然后根據得出的關系式求出x的值． （2）本題要分兩種情況進行討論．已知了∠A和∠C對應相等，那么就要分成AP和CQ對應成比例以及AP和BC對應成比例兩種情況來求x的值； （3）當S△BCQ：S△ABC=1：3時， =，于是得到，通過相似三角形的性質得到，即可得到結論． 【解答】解：（1）由題意得，PQ平行于BC，則AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x ∴= ∴x=； （2）假設兩三角形可以相似， 情況1：當△APQ∽△CQB時，CQ：AP=BC：AQ， 即有=解得x=， 經檢驗，x=是原分式方程的解． 此時AP=cm， 情況2：當△APQ∽△CBQ時，CQ：AQ=BC：AP， 即有=解得x=5， 經檢驗，x=5是原分式方程的解． 此時AP=20cm． 綜上所述，AP=cm或AP=20cm； 故答案為： cm或20cm； （3）當S△BCQ：S△ABC=1：3時， =， ∴， 由（1）知，PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴， ∴S△APQ：S△ABQ=2． 【點評】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，根據三角形相似得出線段比或面積比是解題的關鍵． 　 一、填空題（本題共5個小題，每小題4分，共20分） 21．已知a、b是方程x2﹣2015x+1=0的兩根，則a2﹣2014a+b的值為　2014?。? 【考點】根與系數的關系． 【分析】根據一元二次方程的解的定義得到a2﹣2015a=﹣1，a2=2015a﹣1，再根據根與系數的關系得到a+b=2015，然后把要求的式子進行變形，再代入計算即可． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2015x+1=0的根， ∴a2﹣2015a+1=0， ∴a2﹣2015a=﹣1，a2=2015a﹣1， ∵a，b是方程x2﹣2015x+1=0的兩根， ∴a+b=2015， ∴a2﹣2014a+b=a2﹣2015a+a+b=﹣1+2015=2014； 故答案為：2014． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=．也考查了一元二次方程的解． 　 22．甲乙兩人玩猜數字游戲，規(guī)則如下：有四個數分別為1，2，3，4，先由甲在心中任想其中一個數字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數字，把乙猜的數字記為b．若|a﹣b|≤1，則稱甲乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，得出他們“心有靈犀”的概率為　　． 【考點】列表法與樹狀圖法． 【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與得出他們“心有靈犀”的情況，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：畫樹狀圖得： ∵共有16種等可能的結果，得出他們“心有靈犀”的有10種情況， ∴得出他們“心有靈犀”的概率為： =． 故答案為：． 【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比． 　 23．如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出以下四個結論：①abc=0；②a+b+c＞0；③a＞b；④4ac﹣b2＜0．其中正確結論有?、佗邰堋。? 【考點】二次函數圖象與系數的關系． 【分析】首先根據二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過原點，可得c=0，所以abc=0；然后根據x=1時，y＜0，可得a+b+c＜0；再根據圖象開口向下，可得a＜0，圖象的對稱軸為x=﹣=﹣，所以b=3a，a＞b；最后根據二次函數y=ax2+bx+c圖象與x軸有兩個交點，可得△＞0，所以b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，據此解答即可． 【解答】解：∵二次函數y=ax2+bx+c圖象經過原點， ∴c=0， ∴abc=0，故①正確； ∵x=1時，y＜0， ∴a+b+c＜0，故②不正確； ∵拋物線開口向下， ∴a＜0， ∵拋物線的對稱軸是x=﹣， ∴﹣=﹣， ∴b=3a， 又∵a＜0，b＜0， ∴a＞b，故③正確； ∵二次函數y=ax2+bx+c圖象與x軸有兩個交點， ∴△＞0， ∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，故④正確； 綜上，可得正確結論有3個：①③④． 故答案為①③④． 【點評】此題主要考查了二次函數的圖象與系數的關系，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大?。寒攁＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）． 　 24．如圖，點A（m，2），B（5，n）在函數y=（k＞0，x＞0）的圖象上，將該函數圖象向上平移2個單位長度得到一條新的曲線，點A、B的對應點分別為A′、B′．圖中陰影部分的面積為8，則k的值為　2?。? 【考點】反比例函數系數k的幾何意義；平移的性質． 【分析】利用平行四邊形的面積公式得出M的值，進而利用反比例函數圖象上點的性質得出k的值． 【解答】解：∵將該函數圖象向上平移2個單位長度得到一條新的曲線，點A、B的對應點分別為A′、B′，圖中陰影部分的面積為8， ∴5﹣m=4， ∴m=1， ∴A（1，2）， ∴k=12=2． 故答案為：2． 【點評】此題主要考查了平移的性質和反比例函數系數k的幾何意義，得出A點坐標是解題關鍵． 　 25．如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE=3，點F是邊BC上不與點B，C重合的一個動點，把△EBF沿EF折疊，點B落在B′處．若△CDB′恰為等腰三角形，則DB′的長為　16或4　． 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】根據翻折的性質，可得B′E的長，根據勾股定理，可得CE的長，根據等腰三角形的判定，可得答案． 【解答】解：（i）當B′D=B′C時， 過B′點作GH∥AD，則∠B′GE=90， 當B′C=B′D時，AG=DH=DC=8， 由AE=3，AB=16，得BE=13． 由翻折的性質，得B′E=BE=13． ∴EG=AG﹣AE=8﹣3=5， ∴B′G===12， ∴B′H=GH﹣B′G=16﹣12=4， ∴DB′===4 （ii）當DB′=CD時，則DB′=16（易知點F在BC上且不與點C、B重合）． （iii）當CB′=CD時， ∵EB=EB′，CB=CB′， ∴點E、C在BB′的垂直平分線上， ∴EC垂直平分BB′， 由折疊可知點F與點C重合，不符合題意，舍去． 綜上所述，DB′的長為16或4． 故答案為：16或4． 【點評】本題考查了翻折變換，利用了翻折的性質，勾股定理，等腰三角形的判定． 　 二、解答題 26．某蔬菜經銷商去蔬菜生產基地批發(fā)某種蔬菜，已知這種蔬菜的批發(fā)量在20千克～60千克之間（含20千克和60千克）時，每千克批發(fā)價是5元；若超過60千克時，批發(fā)的這種蔬菜全部打八折，但批發(fā)總金額不得少于300元． （1）根據題意，填寫如表： 蔬菜的批發(fā)量（千克） … 25 60 75 90 … 所付的金額（元） … 125 　300　 300 　360　 … （2）經調查，該蔬菜經銷商銷售該種蔬菜的日銷售量y（千克）與零售價x（元/千克）是一次函數關系，其圖象如圖，求出y與x之間的函數關系式； （3）若該蔬菜經銷商每日銷售此種蔬菜不低于75千克，且當日零售價不變，那么零售價定為多少時，該經銷商銷售此種蔬菜的當日利潤最大？最大利潤為多少元？ 【考點】二次函數的應用；一次函數的應用． 【分析】（1）根據這種蔬菜的批發(fā)量在20千克～60千克之間（含20千克和60千克）時，每千克批發(fā)價是5元，可得605=300元；若超過60千克時，批發(fā)的這種蔬菜全部打八折，則9050.8=360元； （2）把點（5，90），（6，60）代入函數解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0），列出方程組，通過解方程組求得函數關系式； （3）利用最大利潤=y（x﹣4），進而利用配方法求出函數最值即可． 【解答】解：（1）由題意知： 當蔬菜批發(fā)量為60千克時：605=300（元）， 當蔬菜批發(fā)量為90千克時：9050.8=360（元）． 故答案為：300，360； （2）設該一次函數解析式為y=kx+b（k≠0），把點（5，90），（6，60）代入，得 ， 解得． 故該一次函數解析式為：y=﹣30x+240； （3）設當日可獲利潤w（元），日零售價為x元，由（2）知， w=（﹣30x+240）（x﹣50.8）=﹣30（x﹣6）2+120，﹣30x+240≥75，即x≤5.5， 當x=5.5時，當日可獲得利潤最大，最大利潤為112.5元． 【點評】此題主要考查了一次函數的應用以及二次函數的應用，得出y與x的函數關系式是解題關鍵． 　 27．（10分）（2015?天津）將一個直角三角形紙片ABO，放置在平面直角坐標系中，點A（，0），點B（0，1），點0（0，0）．過邊OA上的動點M（點M不與點O，A重合）作MN丄AB于點N，沿著MN折疊該紙片，得頂點A的對應點A′，設OM=m，折疊后的△AM′N與四邊形OMNB重疊部分的面積為S． （Ⅰ）如圖①，當點A′與頂點B重合時，求點M的坐標； （Ⅱ）如圖②，當點A′，落在第二象限時，A′M與OB相交于點C，試用含m的式子表示S； （Ⅲ）當S=時，求點M的坐標（直接寫出結果即可）． 【考點】一次函數綜合題． 【分析】（Ⅰ）根據折疊的性質得出BM=AM，再由勾股定理進行解答即可； （Ⅱ）根據勾股定理和三角形的面積得出△AMN，△COM和△ABO的面積，進而表示出S的代數式即可； （Ⅲ）把S=代入解答即可． 【解答】解：（Ⅰ）在Rt△ABO中，點A（，0），點B（0，1），點O（0，0）， ∴OA=，OB=1， 由OM=m，可得：AM=OA﹣OM=﹣m， 根據題意，由折疊可知△BMN≌△AMN， ∴BM=AM=﹣m， 在Rt△MOB中，由勾股定理，BM2=OB2+OM2， 可得：，解得m=， ∴點M的坐標為（，0）； （Ⅱ）在Rt△ABO中，tan∠OAB=， ∴∠OAB=30， 由MN⊥AB，可得：∠MNA=90， ∴在Rt△AMN中，MN=AN?sin∠OAB=， AN=AN?cos∠OAB=， ∴， 由折疊可知△AMN≌△AMN，則∠A=∠OAB=30， ∴∠AMO=∠A+∠OAB=60， ∴在Rt△COM中，可得CO=OM?tan∠AMO=m， ∴， ∵， ∴， 即； （Ⅲ）①當點A′落在第二象限時，把S的值代入（2）中的函數關系式中，解方程求得m，根據m的取值范圍判斷取舍，兩個根都舍去了； ②當點A′落在第一象限時，則S=SRt△AMN，根據（2）中Rt△AMN的面積列方程求解，根據此時m的取值范圍，把S=代入，可得點M的坐標為（，0）． 【點評】此題考查了一次函數的綜合問題，關鍵是利用勾股定理、三角形的面積，三角函數的運用進行分析． 　 28．（12分）（2015?通遼）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點為B（2，1），且過點A（0，2），直線y=x與拋物線交于點D，E（點E在對稱軸的右側），拋物線的對稱軸交直線y=x于點C，交x軸于點G，EF⊥x軸，垂足為F，點P在拋物線上，且位于對稱軸的右側，PQ⊥x軸，垂足為點Q，△PCQ為等邊三角形 （1）求該拋物線的解析式； （2）求點P的坐標； （3）求證：CE=EF； （4）連接PE，在x軸上點Q的右側是否存在一點M，使△CQM與△CPE全等？若存在，試求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．[注：3+2=（+1）2]． 【考點】二次函數綜合題． 【分析】（1）根據拋物線的頂點是（2，1），因而設拋物線的表達式為y=a（x﹣2）2+1，把A的坐標代入即可求得函數的解析式； （2）根據△PCQ為等邊三角形，則△CGQ中，∠CQD=30，CG的長度可以求得，利用直角三角形的性質，即可求得CQ，即等邊△CQP的邊長，則P的縱坐標代入二次函數的解析式，即可求得P的坐標； （3）解方程組即可求得E的坐標，則EF的長等于E的縱坐標，OE的長度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的長度可以求得，則CE的長度即可求解； （4）可以利用反證法，假設x軸上存在一點，使△CQM≌△CPE，可以證得EM=EF，即M與F重合，與點E為直線y=x上的點，∠CEF=45即點M與點F不重合相矛盾，故M不存在． 【解答】解：（1）設拋物線的表達式為y=a（x﹣2）2+1，將點A（0，2）代入，得a（0﹣2）2+1=2， 解這個方程，得a=， ∴拋物線的表達式為y=（x﹣2）2+1=x2﹣x+2； （2）將x=2代入y=x，得y=2 ∴點C的坐標為（2，2）即CG=2， ∵△PCQ為等邊三角形 ∴∠CQP=60，CQ=PQ， ∵PQ⊥x軸， ∴∠CQG=30， ∴CQ=4，GQ=2． ∴OQ=2+2，PQ=4， 將y=4代入y=（x﹣2）2+1，得4=（x﹣2）2+1 解這個方程，得x1=2+2=OQ，x2=2﹣2＜0（不合題意，舍去）． ∴點P的坐標為（2+2，4）； （3）把y=x代入y=x2﹣x+2，得x=x2﹣x+2 解這個方程，得x1=4+2，x2=4﹣2＜2（不合題意，舍去） ∴y=4+2=EF ∴點E的坐標為（4+2，4+2） ∴OE==4+4， 又∵OC==2， ∴CE=OE﹣OC=4+2， ∴CE=EF； （4）不存在． 如圖，假設x軸上存在一點，使△CQM≌△CPE，則CM=CE，∠QCM=∠PCE ∵∠QCP=60， ∴∠MCE=60 又∵CE=EF， ∴EM=EF， 又∵點E為直線y=x上的點， ∴∠CEF=45， ∴點M與點F不重合． ∵EF⊥x軸，這與“垂線段最短”矛盾， ∴原假設錯誤，滿足條件的點M不存在． 【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，以及等邊三角形的性質，解直角三角形，反證法，正確求得E的坐標是關鍵．