九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試卷（含解析） 新人教版4

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2015-2016學(xué)年山東省臨沂市沂水縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本題14個小題，每小題3分，共42分，每題中只有一個答案符合要求） 1．下列說法中正確的是（　　） A．“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖象”是隨機事件 B．任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的一定是5次 C．“概率為0.0001的事件”是不可能事件 D．“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形”是必然事件 2．如同，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，下列條件中不能判斷△ABC∽△AED的是（　?。? A． = B． = C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B 3．從2，3，4，5中任意選兩個數(shù)，記作a和b，那么點（a，b）在函數(shù)y=圖象上的概率是（　?。? A． B． C． D． 4．在平面直角坐標(biāo)系中，若點P（m，m﹣n）與點Q（2，3）關(guān)于原點對稱，則點M（m，n）在（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠OBC=40，則∠A的度數(shù)為（　?。? A．80 B．100 C．110 D．130 6．二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3的圖象如圖所示，下列說法中錯誤的是（　?。? A．函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)是（0，﹣3） B．頂點坐標(biāo)是（1，﹣3） C．函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)是（3，0）、（﹣1，0） D．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小 7．如圖，已知直線a∥b∥c，直線m，n與a，b，c分別交于點A，C，E，B，D，F(xiàn)，若AC=4，CE=6，BD=3，則DF的值是（　?。? A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 8．對于函數(shù)y=，下列說法錯誤的是（　?。? A．這個函數(shù)的圖象位于第一、第三象限 B．這個函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 C．當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大 D．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小 9．已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，則該三角形的周長可以是（　　） A．5 B．7 C．5或7 D．10 10．已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（2，3），那么下列四個點中，也在這個函數(shù)圖象上的是（　?。? A．（﹣6，1） B．（1，6） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 11．已知正三角形的邊心距為1，則這個三角形的面積為（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 12．如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（　?。? A． B． C． D． 13．如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4m時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，當(dāng)水面下降1m時，水面的寬度為（　?。? A．3 B．2 C．3 D．2 14．如圖，△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，則△ABC的面積是（　?。? A． B．12 C．14 D．21 　 二、填空題（本題5個小題，每小題3分，共15分） 15．某校去年投資2萬元購買實驗器材，預(yù)計今明2年的投資總額為8萬元．若該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為x，則可列方程為　　　　　?。? 16．如圖，將弧長為6π，圓心角為120的圓形紙片AOB圍成圓錐形紙帽，使扇形的兩條半徑OA與OB重合（粘連部分忽略不計）則圓錐形紙帽的高是　　　　　?。? 17．如圖，在△ABC中，DE∥BC， =，△ADE的面積是8，則△ABC的面積為　　　　　?。? 18．如圖，在建筑平臺CD的頂部C處，測得大樹AB的頂部A的仰角為45，測得大樹AB的底部B的俯角為30，已知平臺CD的高度為5m，則大樹的高度為　　　　　　m（結(jié)果保留根號） 19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點M（﹣3，2）分別作x軸、y軸的垂線與反比例函數(shù)y=的圖象交于A，B兩點，則四邊形MAOB的面積為　　　　　?。? 　 三、解答題（本題共7小題，共63分） 20．育才中學(xué)計劃召開“誠信在我心中”主題教育活動，需要選拔活動主持人，經(jīng)過全校學(xué)生投票推薦，有2名男生和1名女生被推薦為候選主持人． （1）小明認(rèn)為，如果從3名候選主持人中隨機選拔1名主持人，不是男生就是女生，因此選出的主持人是男生和女生的可能性相同，你同意他的說法嗎？為什么？ （2）如果從3名候選主持人中隨機選拔2名主持人，請通過列表或樹狀圖求選拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率． 21．如圖，某漁船在海面上朝正西方向以20海里/時勻速航行，在A處觀測到燈塔C在北偏西60方向上，航行1小時到達B處，此時觀察到燈塔C在北偏西30方向上，若該船繼續(xù)向西航行至離燈塔距離最近的位置，求此時漁船到燈塔的距離（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：≈1.732） 22．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E在對角線AC上，EC=BC=DC． （1）若∠CBD=39，求∠BAD的度數(shù)； （2）求證：∠1=∠2． 23．如圖，點B、C、D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延長線于點A，連接BC，∠B=∠A=30，BD=2． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留π） 24．如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N． （1）求證：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的長． 25．如圖，直線y=2x與反比例函數(shù)y=（k≠0，x＞0）的圖象交于點A（1，a），B是反比例函數(shù)圖象上一點，直線OB與x軸的夾角為α，tanα=． （1）求k的值． （2）求點B的坐標(biāo)． （3）設(shè)點P（m，0），使△PAB的面積為2，求m的值． 26．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）． （1）求拋物線的函數(shù)表達式； （2）若點P在拋物線上，且S△AOP=4SBOC，求點P的坐標(biāo)； （3）如圖b，設(shè)點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值． 　  2015-2016學(xué)年山東省臨沂市沂水縣九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本題14個小題，每小題3分，共42分，每題中只有一個答案符合要求） 1．下列說法中正確的是（　?。? A．“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖象”是隨機事件 B．任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的一定是5次 C．“概率為0.0001的事件”是不可能事件 D．“任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形”是必然事件 【考點】隨機事件． 【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型． 【解答】解：“任意畫出一個等邊三角形，它是軸對稱圖象”是必然事件，A錯誤； 任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，正面向上的不一定是5次，B錯誤； “概率為0.0001的事件”是隨機事件，C錯誤； “任意畫出一個平行四邊形，它是中心對稱圖形”是必然事件，D正確， 故選：D． 　 2．如同，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，下列條件中不能判斷△ABC∽△AED的是（　?。? A． = B． = C．∠ADE=∠C D．∠AED=∠B 【考點】相似三角形的判定． 【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理進行判定即可． 【解答】解：∵∠DAE=∠CAB， ∴當(dāng)∠AED=∠B或∠ADE=∠C時，△ABC∽△AED； 當(dāng)=即=時，△ABC∽△AED． 故選：A． 　 3．從2，3，4，5中任意選兩個數(shù)，記作a和b，那么點（a，b）在函數(shù)y=圖象上的概率是（　?。? A． B． C． D． 【考點】列表法與樹狀圖法；反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征． 【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與點（a，b）在函數(shù)y=圖象上的情況，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：畫樹狀圖得： ∵共有12種等可能的結(jié)果，點（a，b）在函數(shù)y=圖象上的有（3，4），（4，3）； ∴點（a，b）在函數(shù)y=圖象上的概率是： =． 故選D． 　 4．在平面直角坐標(biāo)系中，若點P（m，m﹣n）與點Q（2，3）關(guān)于原點對稱，則點M（m，n）在（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考點】關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)． 【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點關(guān)于原點的對稱點時，橫、縱坐標(biāo)都變成原數(shù)的相反數(shù)求出m和n的值，即可得出答案． 【解答】解：根據(jù)兩個點關(guān)于原點對稱，則橫、縱坐標(biāo)都是原數(shù)的相反數(shù)， 得m=﹣2，m﹣n=﹣3， ∴n=1． ∴點M（m，n）在第二象限； 故選：B． 　 5．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠OBC=40，則∠A的度數(shù)為（　?。? A．80 B．100 C．110 D．130 【考點】圓周角定理． 【分析】連接OC，然后根據(jù)等邊對等角可得：∠OCB=∠OBC=40，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠BOC=100，然后根據(jù)周角的定義可求：∠1=260，然后根據(jù)圓周角定理即可求出∠A的度數(shù)． 【解答】解：連接OC，如圖所示， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠OBC=40， ∴∠BOC=100， ∵∠1+∠BOC=360， ∴∠1=260， ∵∠A=∠1， ∴∠A=130． 故選：D． 　 6．二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3的圖象如圖所示，下列說法中錯誤的是（　　） A．函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)是（0，﹣3） B．頂點坐標(biāo)是（1，﹣3） C．函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)是（3，0）、（﹣1，0） D．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小 【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象． 【分析】A、將x=0代入y=x2﹣2x﹣3，求出y=﹣3，得出函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)，即可判斷； B、將一般式化為頂點式，求出頂點坐標(biāo)，即可判斷； C、將y=0代入y=x2﹣2x﹣3，求出x的值，得到函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)，即可判斷； D、利用二次函數(shù)的增減性即可判斷． 【解答】解：A、∵y=x2﹣2x﹣3， ∴x=0時，y=﹣3， ∴函數(shù)圖象與y軸的交點坐標(biāo)是（0，﹣3），故本選項說法正確； B、∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴頂點坐標(biāo)是（1，﹣4），故本選項說法錯誤； C、∵y=x2﹣2x﹣3， ∴y=0時，x2﹣2x﹣3=0， 解得x=3或﹣1， ∴函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)是（3，0）、（﹣1，0），故本選項說法正確； D、∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴對稱軸為直線x=1， 又∵a=1＞0，開口向上， ∴x＜1時，y隨x的增大而減小， ∴x＜0時，y隨x的增大而減小，故本選項說法正確； 故選B． 　 7．如圖，已知直線a∥b∥c，直線m，n與a，b，c分別交于點A，C，E，B，D，F(xiàn)，若AC=4，CE=6，BD=3，則DF的值是（　?。? A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【考點】平行線分線段成比例． 【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵直線a∥b∥c，AC=4，CE=6，BD=3， ∴=，即=，解得DF=4.5． 故選B． 　 8．對于函數(shù)y=，下列說法錯誤的是（　?。? A．這個函數(shù)的圖象位于第一、第三象限 B．這個函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 C．當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大 D．當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小 【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：對于反比例函數(shù)y=，當(dāng)k＞0時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小；當(dāng)k＜0時，在每一個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大解答即可． 【解答】解：函數(shù)y=的圖象位于第一、第三象限，A正確； 圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，B正確； 當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小，C錯誤； 當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小，D正確， 由于該題選擇錯誤的，故選：C． 　 9．已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，則該三角形的周長可以是（　?。? A．5 B．7 C．5或7 D．10 【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】先通過解方程求出等腰三角形兩邊的長，然后利用三角形三邊關(guān)系確定等腰三角形的腰和底的長，進而求出三角形的周長． 【解答】解：解方程x2﹣4x+3=0， （x﹣1）（x﹣3）=0 解得x1=3，x2=1； ∵當(dāng)?shù)诪?，腰為1時，由于3＞1+1，不符合三角形三邊關(guān)系，不能構(gòu)成三角形； ∴等腰三角形的底為1，腰為3； ∴三角形的周長為1+3+3=7． 故選：B． 　 10．已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（2，3），那么下列四個點中，也在這個函數(shù)圖象上的是（　?。? A．（﹣6，1） B．（1，6） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2） 【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征． 【分析】先根據(jù)點（2，3），在反比例函數(shù)y=的圖象上求出k的值，再根據(jù)k=xy的特點對各選項進行逐一判斷． 【解答】解：∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（2，3）， ∴k=23=6， A、∵（﹣6）1=﹣6≠6，∴此點不在反比例函數(shù)圖象上； B、∵16=6，∴此點在反比例函數(shù)圖象上； C、∵2（﹣3）=﹣6≠6，∴此點不在反比例函數(shù)圖象上； D、∵3（﹣2）=﹣6≠6，∴此點不在反比例函數(shù)圖象上． 故選：B． 　 11．已知正三角形的邊心距為1，則這個三角形的面積為（　?。? A．6 B．4 C．3 D．2 【考點】正多邊形和圓． 【分析】作AD⊥BC與D，連接OB，則AD經(jīng)過圓心O，∠ODB=90，OD=1，由等邊三角形的性質(zhì)得出BD=CD，∠OBD=∠ABC=30，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面積=BC?AD，即可得出結(jié)果． 【解答】解：如圖所示： 作AD⊥BC與D，連接OB， 則AD經(jīng)過圓心O，∠ODB=90，OD=1， ∵△ABC是等邊三角形， ∴BD=CD，∠OBD=∠ABC=30， ∴OA=OB=2OD=2， ∴AD=3，BD=， ∴AB==2， ∴BC=2， ∴△ABC的面積=BC?AD=23=3； 故選：C． 　 12．如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理；勾股定理的逆定理． 【分析】過B點作BD⊥AC，得AB的長，AD的長，利用銳角三角函數(shù)得結(jié)果． 【解答】解：過B點作BD⊥AC，如圖， 由勾股定理得， AB==， AD==2 cosA===， 故選：D． 　 13．如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4m時，拱頂（拱橋洞的最高點）離水面2m，當(dāng)水面下降1m時，水面的寬度為（　?。? A．3 B．2 C．3 D．2 【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)已知得出直角坐標(biāo)系，進而求出二次函數(shù)解析式，再通過把y=﹣1代入拋物線解析式得出水面寬度，即可得出答案． 【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點， 拋物線以y軸為對稱軸，且經(jīng)過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標(biāo)為（0，2）， 設(shè)頂點式y(tǒng)=ax2+2，代入A點坐標(biāo)（﹣2，0）， 得出：a=﹣0.5， 所以拋物線解析式為y=﹣0.5x2+2， 當(dāng)水面下降1米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為： 當(dāng)y=﹣1時，對應(yīng)的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y=﹣1與拋物線相交的兩點之間的距離， 可以通過把y=﹣1代入拋物線解析式得出： ﹣1=﹣0.5x2+2， 解得：x=， 所以水面寬度增加到2米， 故選：B． 　 14．如圖，△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5，則△ABC的面積是（　?。? A． B．12 C．14 D．21 【考點】解直角三角形． 【分析】根據(jù)已知作出三角形的高線AD，進而得出AD，BD，CD，的長，即可得出三角形的面積． 【解答】解：過點A作AD⊥BC， ∵△ABC中，cosB=，sinC=，AC=5， ∴cosB==， ∴∠B=45， ∵sinC===， ∴AD=3， ∴CD==4， ∴BD=3， 則△ABC的面積是：ADBC=3（3+4）=． 故選A． 　 二、填空題（本題5個小題，每小題3分，共15分） 15．某校去年投資2萬元購買實驗器材，預(yù)計今明2年的投資總額為8萬元．若該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為x，則可列方程為　2（1+x）+2（1+x）2=8?。? 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量（1+增長率），如果該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為x，根據(jù)題意可得出的方程． 【解答】解：設(shè)該校這兩年購買的實驗器材的投資年平均增長率為x， 今年的投資金額為：2（1+x）； 明年的投資金額為：2（1+x）2； 所以根據(jù)題意可得出的方程：2（1+x）+2（1+x）2=8． 故答案為：2（1+x）+2（1+x）2=8． 　 16．如圖，將弧長為6π，圓心角為120的圓形紙片AOB圍成圓錐形紙帽，使扇形的兩條半徑OA與OB重合（粘連部分忽略不計）則圓錐形紙帽的高是　6?。? 【考點】圓錐的計算． 【分析】根據(jù)弧長求得圓錐的底面半徑和扇形的半徑，利用勾股定理求得圓錐的高即可． 【解答】解：∵弧長為6π， ∴底面半徑為6π2π=3， ∵圓心角為120， ∴=6π， 解得：R=9， ∴圓錐的高為=6， 故答案為：6． 　 17．如圖，在△ABC中，DE∥BC， =，△ADE的面積是8，則△ABC的面積為　18?。? 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案． 【解答】解；∵在△ABC中，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． ∵=， ∴=（）2=， ， ∴S△ABC=18， 故答案為：18． 　 18．如圖，在建筑平臺CD的頂部C處，測得大樹AB的頂部A的仰角為45，測得大樹AB的底部B的俯角為30，已知平臺CD的高度為5m，則大樹的高度為　（5+5）　m（結(jié)果保留根號） 【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題． 【分析】作CE⊥AB于點E，則△BCE和△BCD都是直角三角形，即可求得CE，BE的長，然后在Rt△ACE中利用三角函數(shù)求得AE的長，進而求得AB的長，即為大樹的高度． 【解答】解：作CE⊥AB于點E， 在Rt△BCE中， BE=CD=5m， CE==5m， 在Rt△ACE中， AE=CE?tan45=5m， AB=BE+AE=（5+5）m． 故答案為：（5+5）． 　 19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點M（﹣3，2）分別作x軸、y軸的垂線與反比例函數(shù)y=的圖象交于A，B兩點，則四邊形MAOB的面積為　10　． 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義． 【分析】設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，b），點B的坐標(biāo)為（c，d），根據(jù)反比例函數(shù)y=的圖象過A，B兩點，所以ab=4，cd=4，進而得到S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2， S矩形MCDO=32=6，根據(jù)四邊形MAOB的面積=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO，即可解答． 【解答】解：如圖， 設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，b），點B的坐標(biāo)為（c，d）， ∵反比例函數(shù)y=的圖象過A，B兩點， ∴ab=4，cd=4， ∴S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2， ∵點M（﹣3，2）， ∴S矩形MCDO=32=6， ∴四邊形MAOB的面積=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10， 故答案為：10． 　 三、解答題（本題共7小題，共63分） 20．育才中學(xué)計劃召開“誠信在我心中”主題教育活動，需要選拔活動主持人，經(jīng)過全校學(xué)生投票推薦，有2名男生和1名女生被推薦為候選主持人． （1）小明認(rèn)為，如果從3名候選主持人中隨機選拔1名主持人，不是男生就是女生，因此選出的主持人是男生和女生的可能性相同，你同意他的說法嗎？為什么？ （2）如果從3名候選主持人中隨機選拔2名主持人，請通過列表或樹狀圖求選拔出的2名主持人恰好是1名男生和1名女生的概率． 【考點】列表法與樹狀圖法；可能性的大小． 【分析】（1）根據(jù)概率的意義解答即可； （2）畫出樹狀圖，然后根據(jù)概率的意義列式計算即可得解． 【解答】解：（1）不同意他的說法．理由如下： ∵有2名男生和1名女生， ∴主持人是男生的概率=， 主持人是女生的概率=； （2）畫出樹狀圖如下： 一共有6種情況，恰好是1名男生和1名女生的有4種情況， 所以，P（恰好是1名男生和1名女生）==． 　 21．如圖，某漁船在海面上朝正西方向以20海里/時勻速航行，在A處觀測到燈塔C在北偏西60方向上，航行1小時到達B處，此時觀察到燈塔C在北偏西30方向上，若該船繼續(xù)向西航行至離燈塔距離最近的位置，求此時漁船到燈塔的距離（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：≈1.732） 【考點】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題． 【分析】過點C作CD⊥AB于點D，則若該船繼續(xù)向西航行至離燈塔距離最近的位置為CD的長度，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系進行求解即可． 【解答】解：如圖，過點C作CD⊥AB于點D， AB=201=20（海里）， ∵∠CAF=60，∠CBE=30， ∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120，∠CAB=90﹣∠CAF=30， ∴∠C=180﹣∠CBA﹣∠CAB=30， ∴∠C=∠CAB， ∴BC=BA=20（海里）， ∠CBD=90﹣∠CBE=60， ∴CD=BC?sin∠CBD=≈17（海里）． 　 22．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點E在對角線AC上，EC=BC=DC． （1）若∠CBD=39，求∠BAD的度數(shù)； （2）求證：∠1=∠2． 【考點】圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系． 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由BC=DC得到∠CBD=∠CDB=39，再根據(jù)圓周角定理得∠BAC=∠CDB=39，∠CAD=∠CBD=39，所以∠BAD=∠BAC+∠CAD=78； （2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由EC=BC得∠CEB=∠CBE，再利用三角形外角性質(zhì)得∠CEB=∠2+∠BAE，則∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，加上∠BAE=∠CBD，所以∠1=∠2． 【解答】（1）解：∵BC=DC， ∴∠CBD=∠CDB=39， ∵∠BAC=∠CDB=39，∠CAD=∠CBD=39， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39+39=78； （2）證明：∵EC=BC， ∴∠CEB=∠CBE， 而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD， ∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD， ∵∠BAE=∠BDC=∠CBD， ∴∠1=∠2． 　 23．如圖，點B、C、D都在⊙O上，過C點作CA∥BD交OD的延長線于點A，連接BC，∠B=∠A=30，BD=2． （1）求證：AC是⊙O的切線； （2）求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影部分的面積．（結(jié)果保留π） 【考點】切線的判定；扇形面積的計算． 【分析】（1）連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠COA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OCA，根據(jù)切線的判定推出即可； （2）求出DE，解直角三角形求出OC，分別求出△ACO的面積和扇形COD的面積，即可得出答案． 【解答】（1）證明：連接OC，交BD于E， ∵∠B=30，∠B=∠COD， ∴∠COD=60， ∵∠A=30， ∴∠OCA=90， 即OC⊥AC， ∴AC是⊙O的切線； （2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90， ∴∠OED=∠OCA=90， ∴DE=BD=， ∵sin∠COD=， ∴OD=2， 在Rt△ACO中，tan∠COA=， ∴AC=2， ∴S陰影=22﹣=2﹣． 　 24．如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F(xiàn)是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N． （1）求證：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的長． 【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AB=AD，∠B=90，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出結(jié)論； （2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的長． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=90，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）解：∵∠B=90，AB=12，BM=5， ∴AM==13，AD=12， ∵F是AM的中點， ∴AF=AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴， 即， ∴AE=16.9， ∴DE=AE﹣AD=4.9． 　 25．如圖，直線y=2x與反比例函數(shù)y=（k≠0，x＞0）的圖象交于點A（1，a），B是反比例函數(shù)圖象上一點，直線OB與x軸的夾角為α，tanα=． （1）求k的值． （2）求點B的坐標(biāo)． （3）設(shè)點P（m，0），使△PAB的面積為2，求m的值． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題． 【分析】（1）把點A（1，a）代入y=2x，求出a=2，再把A（1，2）代入y=，即可求出k的值； （2）過B作BC⊥x軸于點C．在Rt△BOC中，由tanα=，可設(shè)B（2h，h）．將B（2h，h）代入y=，求出h的值，即可得到點B的坐標(biāo)； （3）由A（1，2），B（2，1），利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=﹣x+3，那么直線AB與x軸交點D的坐標(biāo)為（3，0）．根據(jù)△PAB的面積為2列出方程|3﹣m|（2﹣1）=2，解方程即可求出m的值． 【解答】解：（1）把點A（1，a）代入y=2x， 得a=2， 則A（1，2）． 把A（1，2）代入y=，得k=12=2； （2）過B作BC⊥x軸于點C． ∵在Rt△BOC中，tanα=， ∴可設(shè)B（2h，h）． ∵B（2h，h）在反比例函數(shù)y=的圖象上， ∴2h2=2，解得h=1， ∵h(yuǎn)＞0，∴h=1， ∴B（2，1）； （3）∵A（1，2），B（2，1）， ∴直線AB的解析式為y=﹣x+3， 設(shè)直線AB與x軸交于點D，則D（3，0）． ∵S△PAB=S△PAD﹣S△PBD=2，點P（m，0）， ∴|3﹣m|（2﹣1）=2， 解得m1=﹣1，m2=7． 　 26．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于點A（﹣3，0）和點B，交y軸于點C（0，3）． （1）求拋物線的函數(shù)表達式； （2）若點P在拋物線上，且S△AOP=4SBOC，求點P的坐標(biāo)； （3）如圖b，設(shè)點Q是線段AC上的一動點，作DQ⊥x軸，交拋物線于點D，求線段DQ長度的最大值． 【考點】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）把點A、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過解方程組求得系數(shù)的值； （2）設(shè)P點坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3），根據(jù)S△AOP=4S△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標(biāo)； （3）先運用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=x+3，再設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，x+3），則D點坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代數(shù)式表示QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段QD長度的最大值． 【解答】解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得 ， 解得． 故該拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3． （2）由（1）知，該拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3，則易得B（1，0）． ∵S△AOP=4S△BOC， ∴3|﹣x2﹣2x+3|=413． 整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0， 解得x=﹣1或x=﹣12． 則符合條件的點P的坐標(biāo)為：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）； （3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+t，將A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得， 解得． 即直線AC的解析式為y=x+3． 設(shè)Q點坐標(biāo)為（x，x+3），（﹣3≤x≤0），則D點坐標(biāo)為（x，﹣x2﹣2x+3）， QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+， ∴當(dāng)x=﹣時，QD有最大值．