1013 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布

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1、一、選擇題 1.已知隨機(jī)變量d的分布列為 d 1 2 3 p 0.5 X y 若 E(d) =15 A 33 A-64 D.32 1 x = 8， y = < 解得 x1 x2 5一3 2一 3 X] = 1, < Xc = 2. I 2 ，則D(d)等于() "5 7 B-64 C-32 解析：由分布列的性質(zhì)得x + y = 0.5,又E(d) = "8，所以2x + 3y = #，解得 所以D?=(】-號(hào)列+(2 -加8+(3 -即8=畫. 答案： B 2.已知隨機(jī)變量d服從二項(xiàng)分布，即d?B(n, p

2、),且E(d) = 7, D(d) = 6，貝V p等于 () 1111 A7 B.6 C.5 D.4 解析：根據(jù)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算公式，可得np = 7, np(1 -p)= 6,解之得p =7，故選A. 答案： A 2 1 4 3.若X是離散型隨機(jī)變量，P(X=X[)=3，P(X=X2)=3‘且"1<“2，又已知E(X)=3, X, = 1， 又Tx’

3、3 = 3， xo = 2. 2 ? X1+ X2= 3. 答案： C 4. 某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為 f(x)=,'2n10e~ 2oo (x^R)，則下列命題不正確的是() A. 該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分 B. 分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同 C. 分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同 D. 該市這次考試的數(shù)學(xué)成績標(biāo)準(zhǔn)差為10 解析：由密度函數(shù)知，均值(期望加= 80,標(biāo)準(zhǔn)差o=10，又曲線關(guān)于直線x=80對稱, 故分?jǐn)?shù)在100以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同，所以B

4、是錯(cuò)誤的. 答案： B 5. —個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a得2分的概率為b不得分的概率為 21 c(a、b、cW(0,1)),已知他投籃一次得分的均值為2,貝岳+筋的最小值為() A.32 B.28 囲 D.￡ 解析：由已知，得3a + 2b + 0Xc = 2, 2 即 3a + 2b = 2，其中 0

5、b 3 答案： D 6.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間(－3,3)內(nèi)取值的概率為( ) A. 0.998 B. 0.997 C. 0.944 D. 0.841 解析：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，o=1,區(qū)間(-3,3), 即(-3o, 3o),概率 P = 0.997. 答案： B 二、填空題 7.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，若E(X) = 0, D(X)=1,則a= b= . 解析： < 由題意知 X -1 0 1 2 P a b c 丄 12 a= a+b+c=H， 1 -a+c+6 = 0， < 解得 1- 3 5 12'

6、 =1 =4 1- 4 一一 c 答案：n 8. 有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中任取3件，若d表示取到次品的 個(gè)數(shù)，貝y E(d)= . 解析：d的取值為0,1,2,3,則 3 4. p(d=0)=|r=2i； p(d=1)=CC2F=70； p(d = 2) =皆=70 p(d=3) = CC4 =擊? 11 33 9 1 ?-E(d)= 0X28 + 1X70 + 2X70 + 3X^ = 3 答案：4 9. 在某項(xiàng)測量中，測量結(jié)果d服從正態(tài)分布N(1，。2)@>0).若d在(0,1)內(nèi)取值的概 率為0.4，則d在(0,2)內(nèi)取值的

7、概率為 . 解析：Td服從正態(tài)分布(1,爐)， ???d在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同均為0.4. d在(0, 2)內(nèi)取值概率為0.4 + 0.4 = 0.8. 答案：0.8 三、解答題 10. (2013?重慶卷)某商場舉行的“三色球”購物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定：在一次摸獎(jiǎng)中，摸獎(jiǎng) 者先從裝有 3 個(gè)紅球與 4 個(gè)白球的袋中任意摸出 3 個(gè)球，再從裝有 1 個(gè)藍(lán)球與 2 個(gè)白球的 袋中任意摸出1個(gè)球，根據(jù)摸出4個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù)，設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)如下： 獎(jiǎng)級(jí) 摸出紅、藍(lán)球個(gè)數(shù) 獲獎(jiǎng)金額 一等獎(jiǎng) 3紅1藍(lán) 200元 二等獎(jiǎng) 3紅0藍(lán) 50元 三等獎(jiǎng) 2紅1藍(lán)

8、 10元 其余情況無獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí). (1) 求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到 1 個(gè)紅球的概率； (2) 求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額X的分布列與期望E(X). 解析：設(shè)A.表示摸到i?個(gè)紅球，B.表示摸到j(luò)個(gè)藍(lán)球，則A.(2 0,1,2,3)與BV = 0,1)相互 i j i j 獨(dú)立． (1) 恰好摸到 1 個(gè)紅球的概率為 CC 18 P(A ) =— P(A1) C7 35. (2) X的所有可能值為0,10,50,200,且 P(X = 200) = P (A3B1) = P(A3)P(B1) = c3^| = ^， C3 2 2 P(X = 50)

9、 = p(A3B0)= p(A3)p(B0)= C7亍而， C2 C1 1 12 P(X = 10) = P(A2B1) = P(A2)P(B1) = -c3t4^3 =而 / …- 1 2 4 6 7 p(X = 0) = (2013?浙江卷)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅 球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分. (1) 當(dāng)a = 3, b=2, c=1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球, 記隨機(jī)變量d為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求d的分布列； (2) 從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量n為取出此球

10、所得分 數(shù).若 E(n)=3, D(n)=9，求 a b c. 解析：(1)由題意得d= 2,3,4,56 _ 2X3X2 P(d=3) = - 105-105-35 = 7. _4 35' 故 P(d = 2)= 3X3 6X6 綜上知X的分布列為 X 0 10 50 200 P 6 4 2 1 7 35 105 105 從而有 E(X) = 0x7+10x35+50X^+200X^=4(元). 2X3X1+2X2 P(d=4)―6XX^— 5 18' _ 2X2X1 1 P(d = 5) = = 9, 1X1

11、1 P(d = 6) = 6^ = 36. ???d的分布列為 2 3 4 5 6 1 1 5 1 1 P 1 4 3 18 9 36 ⑵由題意知n的分布列為 n 1 2 3 P a b c a+b+c a+b+c a+b+c 2b 3c + a＋b＋c a＋b＋c 5 3 ?E(n) = a a＋b＋c D(n) = 2-|> b a＋b＋c |-|> c a＋b＋c 5 9, f 2a - b - 4c = 0, 化簡得｛ a + 4b - 11c

12、= 0. 解得 a = 3c, b = 2c,故 a b c = 3 2 1. 12. (2013.新課標(biāo)全國卷丨)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品 中任取4件檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件 作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢 驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn). 假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為 50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為 50%，且各件產(chǎn) 品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立. (1) 求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率； (2) 已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為 10

13、0 元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì) 量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望. 解析：設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A,第一次取出的4件產(chǎn)品 全是優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C,第二次取出的1件產(chǎn) 品是優(yōu)質(zhì)品為事件D,這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件E,依題意有E = (AB)U(CD), 且 AB與 CD 互斥, ? P(E) = P(AB) + P(CD) = P(A)P(BA) + P(C)P(DIC) = ?址 X2X(D4 + (D4X2 = 64. (2)X 的可能取值為 400,500,800,并且 P(X = 400) = 1 - C4(!)3 X* - (|)4 = 16, p(x = 500) 七 p(x = 800) = c3(S3x1=1, ?X的分布列為 X 400 500 800 P 11 丄 1 16 16 4 E(X) = 400 X j6 + 500 X 盒 + 800 X 4 = 506.25.