高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理（二） 習(xí)題 蘇教版選修2-2

2.1.1合情推理(二)明目標(biāo)、知重點(diǎn)1.通過具體實(shí)例理解類比推理的意義.2.會(huì)用類比推理對(duì)具體問題作出判斷1類比推理(1)類比推理的定義根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤襁@樣的推理通常稱為類比推理，簡(jiǎn)稱類比法(2)類比推理的思維過程2合情推理合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)、正確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過程歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理情境導(dǎo)學(xué)春秋時(shí)代魯班受到路邊的齒形草能割破行人的腿的啟發(fā)，發(fā)明了鋸子，他的思維過程為：齒形草能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們?cè)诠δ苌鲜穷愃频模虼?，它們形狀上也?yīng)該類似，“鋸子”應(yīng)該是齒形的這就是類比推理探究點(diǎn)一類比推理閱讀下面的推理，回答后面提出的思考：1科學(xué)家對(duì)火星進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征：(1)火星也是繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)的行星；(2)有大氣層，在一年中也有季節(jié)變更；(3)火星上大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存，等等由此科學(xué)家猜想：火星上也可能有生命存在2對(duì)比圓和球，有類似特征：(1)完美對(duì)稱；(2)都是到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；(3)形狀相近根據(jù)“圓的圓心到其切線的距離等于半徑”，我們猜想“球的球心到其切面的距離等于半徑”思考1這兩個(gè)推理實(shí)例在思維方式上有什么共同特點(diǎn)？答兩個(gè)實(shí)例均是根據(jù)兩個(gè)(或兩類)對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌矫嬉蚕嗨苹蛳嗤?，像這樣的推理通常稱為類比推理，簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理思考2猜想正確嗎？答不一定正確思考3類比圓的特征，填寫下表中球的有關(guān)特征圓的概念和性質(zhì)球的類似概念和性質(zhì)圓的周長(zhǎng)球的表面積圓的面積球的體積圓心與弦(非直徑)中點(diǎn)的連線垂直于弦球心與截面圓(不經(jīng)過球心的截面圓)圓心的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長(zhǎng)與球心距離相等的兩個(gè)截面圓面積相等；與球心距離不等的兩個(gè)截面圓面積不等，距球心較近的截面圓面積較大以點(diǎn)P(x0，y0)為圓心，r為半徑的圓的方程為(xx0)2(yy0)2r2以點(diǎn)P(x0，y0，z0)為球心，r為半徑的球的方程為(xx0)2(yy0)2(zz0)2r2小結(jié)在進(jìn)行類比推理時(shí)要注意對(duì)應(yīng)關(guān)系：平面圖形中的“線”對(duì)應(yīng)空間圖形中的“面”；平面圖形中的“面”對(duì)應(yīng)空間圖形中的“體”；平面圖形中的“邊長(zhǎng)”對(duì)應(yīng)空間圖形中的“面積”；平面圖形中的“面積”對(duì)應(yīng)空間圖形中的“體積”探究點(diǎn)二平面圖形與立體圖形間的類比例1在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB2AC2BC2”拓展到空間(如圖)，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的結(jié)論是_答案設(shè)三棱錐ABCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則SSSS解析類比條件：兩邊AB、AC互相垂直側(cè)面ABC、ACD、ADB互相垂直結(jié)論：AB2AC2BC2SSSS.反思與感悟類比推理的一般步驟：找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性(或一致性)；用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)明確的命題(猜想)跟蹤訓(xùn)練 1(1)如圖所示，在ABC中，射影定理可表示為abcos Cccos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，類比上述定理，寫出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想(2)已知在RtABC中，ABAC，ADBC于D，有成立那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，說明猜想是否正確并給出理由解(1)如圖所示，在四面體PABC中，設(shè)S1，S2，S3，S分別表示PAB，PBC，PCA，ABC的面積，依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大小我們猜想射影定理類比推理到三維空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為：SS1cos S2cos S3cos .(2)類比ABAC，ADBC，可以猜想四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE平面BCD.則.猜想正確如圖所示，連結(jié)BE，并延長(zhǎng)交CD于F，連結(jié)AF.ABAC，ABAD，AB平面ACD.而AF平面ACD，ABAF.在RtABF中，AEBF，.在RtACD中，AFCD，.，故猜想正確探究點(diǎn)三定義、定理或性質(zhì)中的類比例2在等差數(shù)列an中，若a100，證明等式a1a2ana1a2a19n(n<19，nN*)成立，并類比上述性質(zhì)相應(yīng)的在等比數(shù)列bn中，若b91，則有等式_成立答案b1 b2bnb1b2b17n(n<17，nN*)解析在等差數(shù)列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana19a18an1a1a2a19n.若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n.相應(yīng)地，類比此性質(zhì)在等比數(shù)列bn中，可得b1b2bnb1b2b17n，(n17，nN*)反思與感悟(1)運(yùn)用類比思想找出項(xiàng)與項(xiàng)的聯(lián)系，應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解題是解決該題的關(guān)鍵(2)等差數(shù)列和等比數(shù)列有非常類似的運(yùn)算和性質(zhì)，一般情況下等差數(shù)列中的和(或差)對(duì)應(yīng)著等比數(shù)列中的積(或商)跟蹤訓(xùn)練2設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，_，_， 成等比數(shù)列答案1把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間，結(jié)論仍然正確的是_(填序號(hào))如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則也與另一條相交；如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則也與另一條垂直；如果兩條直線同時(shí)與第三條直線相交，則這兩條直線相交或平行；如果兩條直線同時(shí)與第三條直線垂直，則這兩條直線平行答案解析推廣到空間以后，對(duì)于均有可能異面2在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為12，則它們的面積比為14.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為12，則它們的體積比為_答案18解析兩個(gè)正三角形是相似的三角形，它們的面積之比是相似比的平方同理，兩個(gè)正四面體是相似的幾何體，體積之比為相似比的立方，它們的體積比為18.3若數(shù)列cn是等差數(shù)列，則當(dāng)dn時(shí)，數(shù)列dn也是等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，若數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，則當(dāng)bn_時(shí)，數(shù)列bn也是等比數(shù)列答案4對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面各正三角形的_答案中心 呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律1合情推理主要包括歸納推理和類比推理數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2合情推理的過程概括為一、基礎(chǔ)過關(guān)1已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式：S，可推知扇形面積公式S扇_.答案lr2下列推理正確的是_(填序號(hào))把a(bǔ)(bc)與loga(xy)類比，則有l(wèi)oga(xy)logaxlogay；把a(bǔ)(bc)與sin(xy)類比，則有sin(xy)sin xsin y；把a(bǔ)(bc)與axy類比，則有axyaxay；把a(bǔ)(bc)與a(bc)類比，則有a(bc)abac.答案3下面幾種推理是合情推理的是_(填序號(hào))由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180；張軍某次考試成績(jī)是100分，由此推出全班同學(xué)的成績(jī)都是100分；三角形內(nèi)角和是180，四邊形內(nèi)角和是360，五邊形內(nèi)角和是540，由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n2)180.答案解析是類比推理；是歸納推理；是歸納推理所以、是合情推理4把一個(gè)直角三角形以兩直角邊為鄰邊補(bǔ)成一個(gè)矩形，則矩形的對(duì)角線長(zhǎng)即為直角三角形外接圓直徑，以此可求得外接圓半徑r(其中a，b為直角三角形兩直角邊長(zhǎng))類比此方法可得三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為a，b，c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R_.答案解析由平面類比到空間，把矩形類比為長(zhǎng)方體，從而得出外接球半徑. 5設(shè)ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r，類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體SABC的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體SABC的體積為V，則R_.答案解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和則四面體的體積為V四面體SABC(S1S2S3S4)R，R.6在等差數(shù)列an中，若an>0，公差d>0，則有a4a6>a3a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列bn中，若bn>0，q>1，則下列有關(guān)b4，b5，b7，b8的不等關(guān)系正確的是_b4b8>b5b7；b5b7>b4b8；b4b7>b5b8；b4b5>b7b8.答案7在ABC中，若C90，則cos2Acos2B1，用類比的方法，猜想三棱錐的類似性質(zhì)，并證明你的猜想解由平面類比到空間，有如下猜想：“在三棱錐PABC中，三個(gè)側(cè)面PAB，PBC，PCA兩兩垂直，且與底面所成的角分別為，則cos2cos2cos21”證明：設(shè)P在平面ABC的射影為O，延長(zhǎng)CO交AB于M，記POh，由PCPA，PCPB，得PC面PAB，從而PCPM，又PMC，cos sinPCO，cos ，cos .VPABCPAPBPC(PAPBcos PBPCcos PCPA cos )h，()h1，即cos2cos2cos21.二、能力提升8類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列性質(zhì)中，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖莀(填序號(hào))各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的兩條棱的夾角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等答案解析因?yàn)檎切蔚倪吅徒强梢耘c正四面體的面(或棱)和相鄰的兩面所成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱夾角)類比，所以都恰當(dāng)9類比平面直角坐標(biāo)系中ABC的重心G(，)的坐標(biāo)公式(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，猜想以A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4，y4，z4)為頂點(diǎn)的四面體ABCD的重心G(，)的公式為_答案10公差為d(d0)的等差數(shù)列an中，Sn是an的前n項(xiàng)和，則數(shù)列S20S10，S30S20，S40S30也成等差數(shù)列，且公差為100d，類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公比為q(q1)的等比數(shù)列bn中，若Tn是數(shù)列bn的前n項(xiàng)積，則有_答案，也成等比數(shù)列，且公比為q10011如圖(1)，在平面內(nèi)有面積關(guān)系，寫出圖(2)中類似的體積關(guān)系，并證明你的結(jié)論解類比，有證明：如圖：設(shè)C，C到平面PAB的距離分別為h，h.則，故.12.如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線AC與兩鄰邊所成的角分別為、，則cos2cos21，則在立體幾何中，給出類比猜想解在長(zhǎng)方形ABCD中，cos2cos2()2()21.于是類比到長(zhǎng)方體中，猜想其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為、，如圖則cos2cos2cos21.證明如下：cos2cos2cos2()2()2()21.三、探究與拓展13.橢圓C：1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：為定值b2a2.(2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線1(a>0，b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：為定值，請(qǐng)寫出這個(gè)定值(不要求寫出解題過程)(1)證明設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，(x0a)依題意，得A(a,0)，B(a,0)，所以直線PA的方程為y(xa)，令x0，得yM.同理得yN.所以yMyN.又點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓上，所以1，因此y(a2x)所以yMyNb2.因?yàn)閍，yN，(a，yM)，所以a2yMyNb2a2.(2)解定值為(a2b2)