高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理(二) 習(xí)題 蘇教版選修2-2
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2.1.1 合情推理(二) 明目標(biāo)、知重點 1.通過具體實例理解類比推理的意義.2.會用類比推理對具體問題作出判斷. 1.類比推理 (1)類比推理的定義 根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同,推演出它們在其他方面也相似或相同,像這樣的推理通常稱為類比推理,簡稱類比法. (2)類比推理的思維過程 →→ 2.合情推理 合情推理是根據(jù)已有的事實、正確的結(jié)論、實驗和實踐的結(jié)果,以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程.歸納推理和類比推理都是數(shù)學(xué)活動中常用的合情推理. [情境導(dǎo)學(xué)] 春秋時代魯班受到路邊的齒形草能割破行人的腿的啟發(fā),發(fā)明了鋸子,他的思維過程為:齒形草能割破行人的腿,“鋸子”能“鋸”開木材,它們在功能上是類似的,因此,它們形狀上也應(yīng)該類似,“鋸子”應(yīng)該是齒形的.這就是類比推理. 探究點一 類比推理 閱讀下面的推理,回答后面提出的思考: 1.科學(xué)家對火星進行研究,發(fā)現(xiàn)火星與地球有許多類似的特征: (1)火星也是繞太陽運行、繞軸自轉(zhuǎn)的行星; (2)有大氣層,在一年中也有季節(jié)變更; (3)火星上大部分時間的溫度適合地球上某些已知生物的生存,等等. 由此科學(xué)家猜想:火星上也可能有生命存在. 2.對比圓和球,有類似特征: (1)完美對稱; (2)都是到定點距離等于定長的點的集合; (3)形狀相近. 根據(jù)“圓的圓心到其切線的距離等于半徑”,我們猜想“球的球心到其切面的距離等于半徑”. 思考1 這兩個推理實例在思維方式上有什么共同特點? 答 兩個實例均是根據(jù)兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同,推演出它們在其他方面也相似或相同,像這樣的推理通常稱為類比推理,簡言之,類比推理是由特殊到特殊的推理. 思考2 猜想正確嗎? 答 不一定正確. 思考3 類比圓的特征,填寫下表中球的有關(guān)特征 圓的概念和性質(zhì) 球的類似概念和性質(zhì) 圓的周長 球的表面積 圓的面積 球的體積 圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦 球心與截面圓(不經(jīng)過球心的截面圓)圓心的連線垂直于截面圓 與圓心距離相等的兩弦相等;與圓心距離不等的兩弦不等,距圓心較近的弦較長 與球心距離相等的兩個截面圓面積相等;與球心距離不等的兩個截面圓面積不等,距球心較近的截面圓面積較大 以點P(x0,y0)為圓心,r為半徑的圓的方程為(x-x0)2+(y-y0)2=r2 以點P(x0,y0,z0)為球心,r為半徑的球的方程為(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2 小結(jié) 在進行類比推理時要注意對應(yīng)關(guān)系:平面圖形中的“線”對應(yīng)空間圖形中的“面”;平面圖形中的“面”對應(yīng)空間圖形中的“體”;平面圖形中的“邊長”對應(yīng)空間圖形中的“面積”;平面圖形中的“面積”對應(yīng)空間圖形中的“體積”. 探究點二 平面圖形與立體圖形間的類比 例1 在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直,則AB2+AC2=BC2”.拓展到空間(如圖),類比平面幾何的勾股定理,研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系,可以得出的結(jié)論是_________________________. 答案 設(shè)三棱錐A—BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直,則S+S+S=S 解析 類比條件: 兩邊AB、AC互相垂直側(cè)面ABC、ACD、ADB互相垂直. 結(jié)論:AB2+AC2=BC2S+S+S=S. 反思與感悟 類比推理的一般步驟:①找出兩類對象之間可以確切表述的相似性(或一致性);②用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì),從而得出一個明確的命題(猜想). 跟蹤訓(xùn)練 1 (1)如圖所示,在△ABC中,射影定理可表示為a=bcos C+ccos B,其中a,b,c分別為角A,B,C的對邊,類比上述定理,寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想. (2)已知在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于D,有=+成立.那么在四面體A-BCD中,類比上述結(jié)論,你能得到怎樣的猜想,說明猜想是否正確并給出理由. 解 (1)如圖所示,在四面體P-ABC中,設(shè)S1,S2,S3,S分別表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面積,α,β,γ依次表示面PAB,面PB C,面PCA與底面ABC所成二面角的大?。? 我們猜想射影定理類比推理到三維空間,其表現(xiàn)形式應(yīng)為:S=S1cos α+S2cos β+S3cos γ. (2) 類比AB⊥AC,AD⊥BC,可以猜想四面體A-BCD中,AB,AC,AD兩兩垂直,AE⊥平面BCD.則=++.猜想正確. 如圖所示,連結(jié)BE,并延長交CD于F,連結(jié)AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD, ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD,∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中,AE⊥BF,∴=+. 在Rt△ACD中,AF⊥CD,∴=+. ∴=++,故猜想正確. 探究點三 定義、定理或性質(zhì)中的類比 例2 在等差數(shù)列{an}中,若a10=0,證明等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,并類比上述性質(zhì)相應(yīng)的在等比數(shù)列{bn}中,若b9=1,則有等式__________成立. 答案 b1 b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*) 解析 在等差數(shù)列{an}中,由a10=0, 得a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0, ∴a1+a2+…+an+…+a19=0, 即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1, 又∵a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1, ∴a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1=a1+a2+…+a19-n. 若a9=0,同理可得a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n. 相應(yīng)地,類比此性質(zhì)在等比數(shù)列{bn}中, 可得b1b2…bn=b1b2…b17-n,(n≤17,n∈N*). 反思與感悟 (1)運用類比思想找出項與項的聯(lián)系,應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解題是解決該題的關(guān)鍵. (2)等差數(shù)列和等比數(shù)列有非常類似的運算和性質(zhì),一般情況下等差數(shù)列中的和(或差)對應(yīng)著等比數(shù)列中的積(或商). 跟蹤訓(xùn)練2 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有:設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn,則T4,________,________, 成等比數(shù)列. 答案 1.把下面在平面內(nèi)成立的結(jié)論類比地推廣到空間,結(jié)論仍然正確的是________.(填序號) ①如果一條直線與兩條平行線中的一條相交,則也與另一條相交; ②如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直,則也與另一條垂直; ③如果兩條直線同時與第三條直線相交,則這兩條直線相交或平行; ④如果兩條直線同時與第三條直線垂直,則這兩條直線平行. 答案 ② 解析 推廣到空間以后,對于①③④均有可能異面. 2.在平面上,若兩個正三角形的邊長比為1∶2,則它們的面積比為1∶4.類似地,在空間中,若兩個正四面體的棱長比為1∶2,則它們的體積比為________. 答案 1∶8 解析 ∵兩個正三角形是相似的三角形,∴它們的面積之比是相似比的平方.同理,兩個正四面體是相似的幾何體,體積之比為相似比的立方,∴它們的體積比為1∶8. 3.若數(shù)列{cn}是等差數(shù)列,則當(dāng)dn=時,數(shù)列{dn}也是等差數(shù)列,類比上述性質(zhì),若數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,則當(dāng)bn=________時,數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列. 答案 4.對命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點”可類比猜想:正四面體的內(nèi)切球切于四面各正三角形的________. 答案 中心 [呈重點、現(xiàn)規(guī)律] 1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理.?dāng)?shù)學(xué)研究中,在得到一個新結(jié)論前,合情推理能幫助猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,在證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為證明提供思路與方向. 2.合情推理的過程概括為 ―→―→―→ 一、基礎(chǔ)過關(guān) 1.已知扇形的弧長為l,半徑為r,類比三角形的面積公式:S=,可推知扇形面積公式S扇=________. 答案 lr 2.下列推理正確的是________.(填序號) ①把a(b+c)與loga(x+y)類比,則有l(wèi)oga(x+y)=logax+logay; ②把a(b+c)與sin(x+y)類比,則有sin(x+y)=sin x+sin y; ③把a(b+c)與ax+y類比,則有ax+y=ax+ay; ④把a(b+c)與a(b+c)類比,則有a(b+c)=ab+ac. 答案?、? 3.下面幾種推理是合情推理的是________.(填序號) ①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì); ②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180,歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180; ③張軍某次考試成績是100分,由此推出全班同學(xué)的成績都是100分; ④三角形內(nèi)角和是180,四邊形內(nèi)角和是360,五邊形內(nèi)角和是540,由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n-2)180. 答案?、佗冖? 解析 ①是類比推理;②是歸納推理;④是歸納推理.所以①、②、④是合情推理. 4.把一個直角三角形以兩直角邊為鄰邊補成一個矩形,則矩形的對角線長即為直角三角形外接圓直徑,以此可求得外接圓半徑r=(其中a,b為直角三角形兩直角邊長).類比此方法可得三條側(cè)棱長分別為a,b,c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R=________. 答案 解析 由平面類比到空間,把矩形類比為長方體,從而得出外接球半徑. 5.設(shè)△ABC的三邊長分別為a,b,c,△ABC的面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則r=,類比這個結(jié)論可知:四面體S—ABC的四個面的面積分別為S1,S2,S3,S4,內(nèi)切球半徑為R,四面體S—ABC的體積為V,則R=________. 答案 解析 設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O, 則球心O到四個面的距離都是R, 所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點, 分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和. 則四面體的體積為V四面體S—ABC=(S1+S2+S3+S4)R, ∴R=. 6.在等差數(shù)列{an}中,若an>0,公差d>0,則有a4a6>a3a7,類比上述性質(zhì),在等比數(shù)列{bn}中,若bn>0,q>1,則下列有關(guān)b4,b5,b7,b8的不等關(guān)系正確的是________. ①b4+b8>b5+b7; ②b5+b7>b4+b8; ③b4+b7>b5+b8; ④b4+b5>b7+b8. 答案?、? 7.在△ABC中,若∠C=90,則cos2A+cos2B=1,用類比的方法,猜想三棱錐的類似性質(zhì),并證明你的猜想. 解 由平面類比到空間,有如下猜想:“在三棱錐P-ABC中,三個側(cè)面PAB,PBC,PCA兩兩垂直,且與底面所成的角分別為α,β,γ,則cos2α+cos2β+cos2γ=1”. 證明:設(shè)P在平面ABC的射影為O,延長CO交AB于M,記PO=h, 由PC⊥PA,PC⊥PB,得PC⊥面PAB,從而PC⊥PM,又∠PMC=α, cos α=sin∠PCO=,cos β=,cos γ=. ∵VP-ABC=PAPBPC=(PAPBcos α+ PBPCcos β+PCPA cos γ)h, ∴(++)h=1,即cos2α+cos2β+cos2γ=1. 二、能力提升 8.類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等,三內(nèi)角相等”的性質(zhì),可推知正四面體的下列性質(zhì)中,你認為比較恰當(dāng)?shù)氖莀_______.(填序號) ①各棱長相等,同一頂點上的兩條棱的夾角都相等; ②各個面都是全等的正三角形,相鄰兩個面所成的二面角都相等; ③各個面都是全等的正三角形,同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等. 答案?、佗冖? 解析 因為正三角形的邊和角可以與正四面體的面(或棱)和相鄰的兩面所成的二面角(或共頂點的兩棱夾角)類比,所以①②③都恰當(dāng). 9.類比平面直角坐標(biāo)系中△ABC的重心G(,)的坐標(biāo)公式(其中A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)),猜想以A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3)、D(x4,y4,z4)為頂點的四面體A—BCD的重心G(,,)的公式為________________. 答案 10.公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}中,Sn是{an}的前n項和,則數(shù)列S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等差數(shù)列,且公差為100d,類比上述結(jié)論,相應(yīng)地在公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{bn}中,若Tn是數(shù)列{bn}的前n項積,則有__________________________. 答案 ,,也成等比數(shù)列,且公比為q100 11.如圖(1),在平面內(nèi)有面積關(guān)系=,寫出圖(2)中類似的體積關(guān)系,并證明你的結(jié)論. 解 類比=, 有= 證明:如圖:設(shè)C′,C到平面PAB的距離分別為h′,h. 則=,故= ==. 12. 如圖,在長方形ABCD中,對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α、β,則cos2α+cos2β=1,則在立體幾何中,給出類比猜想. 解 在長方形ABCD中,cos2α+cos2β=()2+()2===1. 于是類比到長方體中,猜想其體對角線與共頂點的三條棱所成的角分別為α、β、γ,如圖. 則cos2α+cos2β+cos2γ=1. 證明如下:cos2α+cos2β+cos2γ=()2+()2+()2===1. 三、探究與拓展 13.橢圓C:+=1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點,點P是橢圓C上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別與y軸交于點M、N,求證:為定值b2-a2. (2)類比(1)可得如下真命題:雙曲線-=1(a>0,b>0)與x軸交于A、B兩點,點P是雙曲線C上異于A、B的任意一點,直線PA、PB分別與y軸交于點M、N,求證:為定值,請寫出這個定值(不要求寫出解題過程). (1)證明 設(shè)點P(x0,y0),(x0≠a). 依題意,得A(-a,0),B(a,0), 所以直線PA的方程為y=(x+a), 令x=0,得yM=.同理得yN=-. 所以yMyN=. 又點P(x0,y0)在橢圓上,所以+=1, 因此y=(a2-x). 所以yMyN==b2. 因為={a,yN},=(-a,yM), 所以=-a2+yMyN=b2-a2. (2)解 定值為-(a2+b2).- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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