高二數(shù)學上學期期中試題 理2 (4)
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海南中學2016-2017學年第一學期期中考試 高二理科數(shù)學試題卷 考試時間:120分鐘 滿分:150分 第Ⅰ卷(選擇題 共60分) 一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題所給的四個答案中有且只有一個答案是正確的.) 1. 已知命題,則為( ) A. B. C. D. 2. 空間直角坐標系中,點關(guān)于坐標平面對稱的點的坐標是( ) A. B. C. D. 3. 已知三點不共線,點為平面外的一點,則下列條件中,能得到平面的是( ) A. B. C. D. 4. 已知,則方程與的曲線在同一坐標系中大致是( ) 5. 下列命題中為真命題的是( ) A.命題“若且,則” B.命題“若,則”的逆命題 C.命題“若,則或”的否命題 D.命題“若,則”的逆否命題 6. 已知雙曲線的一條漸近線的斜率是,則此雙曲線的離心率等于( ) A. B. C.2 D. 7. 已知是空間的一個基底,是空間的另一個基底.若向量在基底下的坐標為,則在基底下的坐標是( ) A. B. C. D. 8. 直線與圓有兩個不同交點的一個充分不必要條件是( ) A. B. C. D. 9. 設(shè)直線經(jīng)過橢圓的右焦點且傾斜角為,若直線與橢圓相交于兩點,則( ) A. B. C. D. 10. 已知正四面體的棱長為,點分別是的中點,則的值為( ) A. B. C. D. 11. 已知的三頂點分別為,,.則邊上的高等于( ) A. B. C.2 D. 12. 已知為坐標原點,是橢圓的左焦點,、分別為橢圓的左、右頂點,為橢圓上一點,且軸.過頂點的直線與線段交于點,與軸交于點.若直線經(jīng)過的中點,則橢圓的離心率為( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 (非選擇題 共90分) 二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.) 13. 已知向量與向量分別是直線與直線的方向向量,則直線與直線所成角的余弦值為_______. 14. 已知平面的一個法向量為,點在平面內(nèi),則點到平面的距離等于_________. 15. 已知過點且斜率為的直線與拋物線有且只有一個交點,則的值等于____________. 16. 已知點和分別為雙曲線的中心和左焦點,點為雙曲線右支上的任意一點,則的取值范圍是___________. 三.解答題(本大題共6個小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.) 17. (本小題滿分10分)如圖,在平行六面體中,分別在面對角線上且.記向量,用表示. 18. (本小題滿分12分)設(shè)條件;條件.若是的必要不充分條件,求的取值范圍. 19. (本小題滿分12分)如圖,在長方體中,、分別是、的中點.、分別是、的中點,. (1)求證:平面; (2)求直線與平面所成角的正弦值. 20. (本小題滿分12分)如圖,四棱錐中,,,側(cè)面為等腰直角三角形,,平面平面,為棱上的一點. (1)求證:; (2)在棱上是否存在一點,使得二面角的余弦值為,若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由. 21. (本小題滿分12分)設(shè)橢圓過點,且離心率為,直線過點,且與橢圓交于不同的兩點. (1)求橢圓的方程; (2)求的取值范圍. 22. (本小題滿分12分)已知動圓過定點,且在軸上截得弦長為4. (1)求動圓圓心的軌跡的方程; (2)已知點為一個定點,過點分別作斜率為、的兩條直線、,直線交軌跡于、兩點,直線交軌跡于、兩點,線段、的中點分別是、.若,求證:直線恒過定點,并求出該定點的坐標. 海南中學2016-2017學年第一學期期中考試 高二理科數(shù)學參考答案 考試時間:120分鐘 滿分:150分 第Ⅰ卷(選擇題 共60分) 一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題所給的四個答案中有且只有一個答案是正確的.) 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B D C C B A D C A A 第Ⅱ卷 (非選擇題 共90分) 二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.) 13. 14. 15. 0或或 16. 三.解答題(本大題共6個小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.) 23. (本小題滿分10分)如圖,在平行六面體中,分別在面對角線上且.記向量,用表示. 解析:∵ 24. (本小題滿分12分)設(shè)條件;條件.若是的必要不充分條件,求的取值范圍. 解析1:設(shè)A={x|},B={x|}, 2分 化簡得A={x|},B={x|}. 6分 由于是的必要不充分條件, 故是的充分不必要條件,即, 8分 ∴ 10分 解得, 故所求實數(shù)a的取值范圍是. 12分 解析2:, 2分 記, 4分 化簡得, 6分 由于是的必要不充分條件, 故是的充分不必要條件,即, 8分 10分 解得 . 故所求實數(shù)a的取值范圍是. 12分 25. (本小題滿分12分)如圖,在長方體中,、分別是、的中點.、分別是、的中點,. (1)求證:平面; (2)求直線與平面所成角的正弦值. 解析:以為原點,的方向分別作為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,則故. 因為、分別是、的中點,所以. 因為、分別是、的中點,所以. (1). 因為軸平面,所以是平面的一個法向量. 由于,故. 又平面,故平面. (2). 設(shè)平面的一個法向量為,則 ,即. 取,得. 設(shè)直線與平面所成的角為,則 因此直線與平面所成角的正弦值為. 26. (本小題滿分12分)如圖,四棱錐中,,,側(cè)面為等腰直角三角形,,平面平面,為棱上的一點. (1)求證:; (2)在棱上是否存在一點,使得二面角的余弦值為,若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由. 解法1:(1)∵平面底面, 平面底面, ∴平面(面面垂直的性質(zhì)定理) 2分 ∴(線面垂直的定義) 3分 又∵,, ∴平面(線面垂直的判定定理) ∴(線面垂直的定義) 6分 (2)如圖,取的中點,連接,,設(shè)與交于點. 等腰直角三角形中,, ∵平面底面,平面底面, ∴平面(面面垂直的性質(zhì)定理). ∴,(線面垂直的定義) 易知四邊形是正方形,,∴平面(線面垂直的判定定理), ∴(線面垂直的定義),∴是二面角的平面角, 8分 ∴,∴,易知,,∴ 注意到直角△中,, ∴,即 10分 ∴,∴,即. 12分 故棱上存在一點,使得二面角的余弦值為,并且. 解法2:(1)取的中點,連接, ∵平面底面,平面底面, ∴平面(面面垂直的性質(zhì)定理), 由題意易知四邊形是正方形, ∴可如圖建立空間直角坐標系 2分 ,,, ,, ∵為棱上的一點,∴可設(shè). ∴ ∴, 4分 ∴,即. 6分 (2)易知平面的一個法向量為, 7分 設(shè)平面的法向量為,由(1), ∴, 令,則,, 即面的一個法向量 9分 ∴, 10分 整理得,解得或. ∵,∴. 12分 故棱上存在一點,使得二面角的余弦值為,并且. 27. (本小題滿分12分)設(shè)橢圓過點,且離心率為,直線過點,且與橢圓交于不同的兩點. (1)求橢圓的方程; (2)求的取值范圍. 解析:(1)由題意得:,解得. ∴橢圓的方程為 (2)當直線的斜率不存在時,直線的方程為x=3與橢圓無交點. 故直線的斜率存在,設(shè)其方程為:y=k(x-3). 由得(3k2+2)x2-18k2x+27k2-12=0, 因為直線與橢圓交于不同的兩點, 所以△=(18k2)2-4(3k2+2)(27k2-12)>0,即. 設(shè)A(x1, y1), B(x2, y2),則x1+x2=,x1x2=, ∵=(x1-3, y1), =(x2-3, y2), ∴=(x1―3)(x2―3)+y1y2=(x1―3)(x2―3)+k2(x1―3)(x2―3) =(k2+1)[x1x2-3(x1+x2)+9] =(k2+1)( -+9) = =2+ ∵, ∴<, ∴<2+3, ∴的取值范圍是 28. (本小題滿分12分)已知動圓過定點,且在軸上截得弦長為4. (1)求動圓圓心的軌跡的方程; (2)已知點為一個定點,過點分別作斜率為、的兩條直線、,直線交軌跡于、兩點,直線交軌跡于、兩點,線段、的中點分別是、.若,求證:直線恒過定點,并求出該定點的坐標. 解析:(1)設(shè)動圓圓心為O1(x,y),動圓與y軸交于R,S兩點. 由題意,得|O1P|=|O1S|. 當O1不在y軸上時,過O1作O1H⊥RS交RS于H,則H是RS的中點. ∴|O1S|=. 又|O1P|=, ∴,化簡得y2=4x(x≠0). 又當O1在y軸上時,O1與O重合,點O1的坐標為(0,0)也滿足方程y2=4x. ∴動圓圓心的軌跡Q的方程為y2=4x. (2)由,得. 設(shè),則. 因為AB中點,所以. 同理,點. ∴ ∴直線:,即 ∴直線MN恒過定點.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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