高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理2 (2)

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博野中學(xué)高二2016-2017學(xué)年第一學(xué)期期中考試 數(shù)學(xué)（理科）試題 一、選擇題（共12道小題，每小題5分，共60分） 1、用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為 （A）24 （B）48 （C）60 （D）72 2、下列命題正確的個(gè)數(shù)是（ ） ①已知,方程有正實(shí)根, 則,方程有負(fù)實(shí)根 ②若,則成立的一個(gè)必要不充分條件是 ③若與的相關(guān)系數(shù),則與有線性相關(guān)關(guān)系, 且正相關(guān) A、0 B、1 C、2 D、3 3、如圖是某居民小區(qū)年齡在歲到歲的居民上網(wǎng)情況的頻率分布直方圖，現(xiàn)已知年齡在的上網(wǎng)人數(shù)呈現(xiàn)遞減的等差數(shù)列,則年齡在的頻率是（ ） A． B． C． D． 4、某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表： 若y關(guān)于t的線性回歸方程為＝0.5t＋a,則據(jù)此該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入約為（ ) A.6.6千元 B.6.5千元 C.6.7千元 D.6.8千元 5、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為2，則輸出的值為（ ） A． B． C． D． 6、對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊，已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率為（ ） A． B． C． D． 7、如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=60，且A1A=3，則A1C的長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D． 8、已知直線：（）是圓：的對(duì)稱軸，過點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則線段的長(zhǎng)為（ ） A． B． C． D． 9、如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魚缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無(wú)底圓錐形容器，圓錐的上底圓周與魚缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚缸的缸底上，現(xiàn)在向魚缸內(nèi)隨機(jī)投入一粒魚食，則“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率是（ ） A． B． C． D． 10、橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，過中點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率為，則的值為（ ） A． B． C．1 D．2 11、已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點(diǎn)為（5,0），則雙曲線的方程為（ ） A． B． C． D． 12、過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線在第一、四象限分別交于兩點(diǎn)，則的值等于（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空題（每小題5分，共20分） 13、在的二項(xiàng)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則常數(shù)項(xiàng)等于_________ 14、已知，，，若，則實(shí)數(shù)的值為 . 15、已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是，，正三角形的一邊與雙曲線左支交于點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為 ． 16、設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率是 . 三、解答題(共70分) 17、端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個(gè)． （1）求三種粽子各取到1個(gè)的概率； （2）設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望． 18、已知橢圓C： （）的離心率為 ，，，，的面積為1. （1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)的橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)M，直線PB與軸交于點(diǎn)N.求證：為定值. 19、我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖. （I）求直方圖中a的值； （II）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由； （III）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說(shuō)明理由. A D B C 20、如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn) （1）求證：ACBC；（2）求證：AC//平面CDB；（3）求二面角B-DC-B1的余弦值． 21、已知橢圓過點(diǎn)，兩點(diǎn)． （Ⅰ）求橢圓的方程及離心率； （Ⅱ）設(shè)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：四邊形的面積為定值． 22、如圖，在四棱錐中，平面平面，，，， ，，. （1）求證：平面； （2）求直線與平面所成角的正弦值； （3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由. 博野中學(xué)第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理科）答案 一、單項(xiàng)選擇 1.【答案】D 2、【答案】D 【解析】命題“方程有正實(shí)根”的否定是“方程無(wú)正實(shí)根”，故A錯(cuò)； 由，得解得a=1或2,故a=2是成立的一個(gè)充分不必要條件,B錯(cuò);若f（x）在R上是減函數(shù)，則在R上恒成立，則解得，C錯(cuò);D正確. 【考點(diǎn)】命題真假的判斷． 3、【答案】C 【解析】的概率和為，又的概率依次成等差數(shù)列，所以的頻率為選C. 考點(diǎn)：頻率分布直方圖 4、【答案】D 【解析】，所以中心點(diǎn)為，代入回歸方程得，代入得 考點(diǎn)：線性回歸方程 5、【答案】C 【解析】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：；結(jié)束循環(huán)，輸出，選C． 考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖 【名師點(diǎn)睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查．先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng)． 6、【答案】B 【解析】設(shè)命中率為,四次都不命中的概率為,即,故,所以,故應(yīng)選B. 考點(diǎn)：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)事件的概率公式及對(duì)立事件的概率公式的運(yùn)用. 7、【答案】A 【解析】 考點(diǎn)：1、空間向量；2、向量的運(yùn)算法則；3、向量的數(shù)量積． 8、【答案】D 【解析】由題意直線：過點(diǎn)，所以，所以切線的長(zhǎng)為，選D． 考點(diǎn)：直線與圓位置關(guān)系 9、【答案】C 【解析】“魚食能被魚缸內(nèi)在圓錐外面的魚吃到”的概率,故選C. 【考點(diǎn)】幾何概型． 【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查幾何概型，綜合性較強(qiáng)，屬于中等難題.解本題時(shí)應(yīng)注意吃透題意，否則容易誤認(rèn)為所求概率值為圓錐體積與正方體的體積之比，即：，而誤選D.其實(shí)本題的正解應(yīng)該是圓錐底面積與正方體的底面積之比，即：.解此類題型應(yīng)注意克服思維定勢(shì)，誤讀題意. 10、【答案】A 【解析】設(shè)，可得，，由的中點(diǎn)為，可得，由在橢圓上，可得，兩式相減可得，整理得，故選A． 考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)． 【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了直線與橢圓相交的位置關(guān)系，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，當(dāng)與弦的斜率及中點(diǎn)有關(guān)時(shí)，可以利用“點(diǎn)差法”，同時(shí)此類問題注意直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，運(yùn)用判別式與韋達(dá)定理解決是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生的推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題． 11、【答案】B 【解析】由題意得，，所以，，所求雙曲線方程為． 考點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì). 12、【答案】C 【解析】因?yàn)閽佄锞€, 所以它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€的傾斜角為所以直線的方程為:,即,設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為 ，,聯(lián)立方程組,消去并整理,得 ,解得， 的值為,故選C. 考點(diǎn)：1、拋物線的性質(zhì)；2、拋物線的定義及直線的方程. 【方法點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的性質(zhì)、拋物線的定義及直線的方程，屬于難題.與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；（2）將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，使問題得到解決．本題解答過程中就是把、轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)距離后求解的． 二、填空題 13.略 14、【答案】-4 【解析】，因?yàn)?，所以，解得? 考點(diǎn)：空間向量的運(yùn)算 15、【答案】 【解析】設(shè)，則，所以 考點(diǎn)：雙曲線定義及其離心率 【思路點(diǎn)睛】（1）對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，雙曲線的定義中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與準(zhǔn)線的距離相等的轉(zhuǎn)化．（2）注意數(shù)形結(jié)合，畫出合理草圖．解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等． 16、【答案】 【解析】設(shè),則.由橢圓的定義可得, ，即,在中運(yùn)用勾股定理可得,解之得(舍去).所以,在中,,應(yīng)用余弦定理可得,即,也即,故應(yīng)填. 考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及運(yùn)用． 【易錯(cuò)點(diǎn)晴】橢圓是圓錐曲線的重要代表曲線之一,也高考和各級(jí)各類考試的重要內(nèi)容和考點(diǎn).解答本題時(shí)要充分利用題設(shè)中提供的有關(guān)信息,運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)和題設(shè)中的條件將問題轉(zhuǎn)化為解三角形的問題.解答時(shí)充分運(yùn)用題設(shè)條件,進(jìn)而運(yùn)用橢圓的定義得到,再次運(yùn)用勾股定理和余弦定理,解得,從而求得橢圓的離心率.借助橢圓的定義建立方程是解答好本題的關(guān)鍵. 三、解答題 17、【答案】（1）（2） 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可；（Ⅱ）隨機(jī)變量X的取值為：0，1，2，別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列和期望 試題解析：（1）令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，由古典概型的概率計(jì)算公式有 P（A）＝＝. （2）X的可能取值為0,1,2，且 P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝ 綜上知，X的分布列為： X 0 1 2 P 故E（X）＝0＋1＋2＝（個(gè)） 考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；古典概型及其概率計(jì)算公式 18、 【解析】⑴由已知，，又， 解得 ∴橢圓的方程為. ⑵方法一： 設(shè)橢圓上一點(diǎn)，則. 直線：,令，得. ∴ 直線：,令，得. ∴ 將代入上式得 故為定值. 方法二： 設(shè)橢圓 上一點(diǎn)， 直線PA:,令，得. ∴ 直線:,令，得. ∴ 故為定值. 19.【解析】（I）由概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)，各組頻率之和的值為1 ∵頻率=(頻率/組距)*組距 ∴ 得 （II）由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為 ∴全市月均用水量不低于3噸的人數(shù)為：(萬(wàn)) （III）由圖可知，月均用水量小于2.5噸的居民人數(shù)所占百分比為： 即的居民月均用水量小于2.5噸, 同理，88%的居民月均用水量小于3噸，故 假設(shè)月均用水量平均分布，則（噸）. 注：本次估計(jì)默認(rèn)組間是平均分布，與實(shí)際可能會(huì)產(chǎn)生一定誤差。 20、【答案】（1）ACBC； （2）AC//平面CDB； （3）二面角B-DC-B1的余弦值為 試題分析：（1）考慮到第三問要求二面角的大小，故需要在空間直角坐標(biāo)系中用法向量的方法求解，因此可提前建系，（1）（2）問也可方便證明，因?yàn)槭侵比庵梢砸訡為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA,CB,CC1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明即可得證；（2）要證明線面平行，必須證明線線平行；（3）分別求出平面BDC和平面DCB1的法向量，求出法向量的夾角的余弦值即為二面角B-DC-B1的余弦值（注意值的正負(fù)判斷） 試題解析： 因?yàn)橹比庵牡酌嫒呴L(zhǎng)分別為3、4、5所以兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA,CB,CC1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系 （1）因?yàn)椋?，? （2）設(shè),則,故 所以,即 因?yàn)槠矫?平面,所以AC//平面CDB （3）可求得平面的一個(gè)法向量為，取平面CDB的一個(gè)法向量為 ，則，由圖可知，二面角B-DC-B1的余弦值為 考點(diǎn)：1.直線與平面平行的判定及性質(zhì)；2.利用空間直角坐標(biāo)系求二面角的求法； 21、【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；（Ⅱ）四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，分別求出對(duì)角線，的值求乘積為定值即可． 試題解析：（Ⅰ）由題意得，． 所以橢圓的方程． 又， 所以離心率． （Ⅱ）設(shè)，則． 又，，所以， 直線的方程為． 令，得，從而． 直線的方程為． 令，得，從而 所以四邊形的面積 ． 從而四邊形的面積為定值． 考點(diǎn)：1、橢圓方程；2、直線和橢圓的關(guān)系． 【方法點(diǎn)晴】本題考查橢圓的方程與幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，以及考查邏輯思維能力、分析與解決問題的綜合能力、運(yùn)算求解能力、方程思想與分類討論的思想．第一小題根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知，的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；第二小題四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，分別求出對(duì)角線，的值求乘積為定值即可． 22.【解】⑴∵面面 面面 ∵，面 ∴面 ∵面 ∴ 又 ∴面 ⑵取中點(diǎn)為，連結(jié)， ∵ ∴ ∵ ∴ 以為原點(diǎn)，如圖建系 易知，，，， 則，，， 設(shè)為面的法向量，令 ，則與面夾角有 ⑶假設(shè)存在點(diǎn)使得面 設(shè)， 由（2）知，，，， 有 ∴ ∵面，為的法向量 ∴ 即 ∴ ∴綜上，存在點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)即為所求.