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專題02 不等式與線性規(guī)劃
1. 【2016高考新課標1卷】若,則( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
2.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為（ ）
（A） （B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【解析】可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點B時取最小值6，選B.
3.【2016高考山東理數(shù)】若變量x，y滿足則的最大值是（ ）
（A）4 （B）9 （C）10 （D）12
【答案】C
【解析】不等式組表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)為頂點的三角形區(qū)域,表示點（x,y）到原點距離的平方,最大值必在頂點處取到,經(jīng)驗證最大值為,故選C.
4.【2016高考浙江理數(shù)】在平面上，過點P作直線l的垂線所得的垂足稱為點P在直線l上的投影．由區(qū)域
中的點在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則│AB│=（ ）
A．2 B．4 C．3 D．
【答案】C
5.【2016年高考北京理數(shù)】若，滿足，則的最大值為（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如圖可行域，則當經(jīng)過點時，取最大值，而，∴所求最大值為4，故選C.
6.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)p：實數(shù)x，y滿足，q：實數(shù)x，y滿足 則p是q的( )
（A）必要不充分條件 （B）充分不必要條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】畫出可行域（如圖所示），可知命題中不等式組表示的平面區(qū)域在命題中不等式表示的圓盤內(nèi)，故選A.
7.【2016高考新課標3理數(shù)】若滿足約束條件 則的最大值為_____________.
【答案】
8.【2016高考新課標1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個工時的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為 元．
【答案】
【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利潤之和為元,那么
①
目標函數(shù).
二元一次不等式組①等價于
②
作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.
將變形,得,平行直線,當直線經(jīng)過點時, 取得最大值.
解方程組,得的坐標.
所以當,時,.
故生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤之和的最大值為元.
9.【2016高考江蘇卷】 已知實數(shù)滿足 ，則的取值范圍是 ▲ .
【答案】
【解析】由圖知原點到直線距離平方為最小值，為，原點到點距離平方為最大值，為，因此取值范圍為
易錯起源1、不等式的解法
例1、(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b (a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)
0的解集為( )
A．{x|x<－1或x>－lg2}
B．{x|－1－lg2}
D．{x|x<－lg2}
答案 (1)9 (2)D
【變式探究】(1)關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝________.
(2)不等式2＜4的解集為________．
答案 (1) (2)(－1,2)
解析 (1)由x2－2ax－8a2<0，得(x＋2a)(x－4a)<0，因為a>0，所以不等式的解集為(－2a,4a)，即x2＝4a，x1＝－2a，由x2－x1＝15，得4a－(－2a)＝15，解得a＝.
(2)∵2＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－10(a≠0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集．
2．簡單分式不等式的解法
(1)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．指數(shù)不等式、對數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解．
易錯起源2、基本不等式的應(yīng)用
例2、(1)已知向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，若a⊥b，則2m＋4n的最小值為( )
A．2 B．2
C．4 D．8
(2)設(shè)實數(shù)m，n滿足m>0，n<0，且＋＝1，則4m＋n( )
A．有最小值9 B．有最大值9
C．有最大值1 D．有最小值1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)因為向量a＝(m,2)，b＝(1，n－1)，a⊥b，
所以m＋2(n－1)＝0，即m＋2n＝2.
所以2m＋4n≥2＝2＝2＝4(當且僅當即時，等號成立)，
所以2m＋4n的最小值為4，故選C.
【變式探究】(1)若正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則＋的最大值為________．
(2)若圓(x－2)2＋(y－2)2＝9上存在兩點關(guān)于直線ax＋by－2＝0(a>0，b>0)對稱，則＋的最小值為__________．
答案 (1) (2)16
解析 (1)∵正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，
∴＋＝
＝
＝＝＝2－
≤2－＝2－＝，
當且僅當a＝b＝時取等號，
∴＋的最大值為.
(2)圓(x－2)2＋(y－2)2＝9的圓心坐標為(2,2)，
由已知得直線ax＋by－2＝0必經(jīng)過圓心(2,2)，即a＋b＝1.
所以＋＝(＋)(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16(當且僅當＝，即a＝，b＝時等號成立)，所以＋的最小值為16.
【名師點睛】
在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤．
【錦囊妙計，戰(zhàn)勝自我】
利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法則是：(1)如果x>0，y>0，xy＝p(定值)，當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2(簡記為：積定，和有最小值)；(2)如果x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，當x＝y(tǒng)時，xy有最大值s2(簡記為：和定，積有最大值)．
易錯起源3、簡單的線性規(guī)劃問題
例3、(1)已知實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝x＋2y的最大值與最小值之和為( )
A．－2 B．14
C．－6 D．2
(2)若變量x，y滿足約束條件且目標函數(shù)z＝－kx＋y當且僅當時取得最小值，則實數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (1)A (2)
解析 (1)根據(jù)x，y的約束條件畫出可行域，如圖陰影部分所示，其中A，B(6,0)，C(0,4)．
由z＝x＋2y可知，當直線y＝－x＋過點A時，z取最小值，即zmin＝－＋2＝－10；當直線y＝－x＋過點C時，z取最大值，即zmax＝0＋24＝8，∴zmin＋zmax＝－2.故選A.
(2)由題意知不等式組所表示的可行域為如圖所示的△ABC及其內(nèi)部，其中A(3,1)，B(4,2)，C(1,2)．將目標函數(shù)變形得y＝kx＋z，當z取得最小值時，直線的縱截距最?。捎谥本€當且僅當經(jīng)過點(3,1)時縱截距最小，結(jié)合動直線y＝kx＋z繞定點A旋轉(zhuǎn)進行分析，知－b，則下列不等式中恒成立的是( )
A．lna>lnb B.<
C．a(chǎn)2>ab D．a(chǎn)2＋b2>2ab
答案 D
解析 只有當a>b>0時A成立；只有當a，b同號時B成立；只有當a>0時C成立；因為a≠b，所以D恒成立，故選D.
2．若函數(shù)f(x)＝則“00時，由log3x≥1可得x≥3，
當x≤0時，由()x≥1可得x≤0，
∴不等式f(x)≥1的解集為(－∞，0]∪[3，＋∞)．
8．要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是________元．
答案 160
9．已知x>0，y>0，若＋>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
答案 (－4,2)
解析 由題意可得m2＋2m應(yīng)小于＋的最小值，所以由基本不等式可得＋≥2＝8，
所以m2＋2m<8?－40}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B，求集合D.(用區(qū)間表示)
解 令g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，
其對稱軸方程為x＝(1＋a)，
Δ＝9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)．
①當00，g(0)＝6a>0，
方程g(x)＝0的兩個根分別為
00恒成立，
所以D＝A∩B＝(0，＋∞)．
綜上所述，當0
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高考數(shù)學四海八荒易錯集專題02
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